Trigonometric Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

$\underset{\mathrm{x}\to \frac{\pi }{2}}{lim}(\sec \theta -\tan \theta )$

= $\underset{\mathrm{x}\to \frac{\pi }{2}}{lim}\frac{1-\sin \theta }{\cos \theta }[\frac{0}{0}$ रूप]

= $\underset{\mathrm{x}\to \frac{\pi }{2}}{lim}(\frac{-\cos \theta }{-\sin \theta })=0$ (L' हॉस्पिटल नियम का उपयोग करके)

इसलिए विकल्प (b) सही है।

गणना:

$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\left(\frac{1}{x-\frac{\pi }{2}}{\int }_{x^3}^{{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^3}cos\left(t^{\frac{1}{3}}\right)dt\right)$

L'Hôpital नियम का उपयोग करने पर,

$\Rightarrow \underset{x\to \frac{{\pi }^{-}}{2}}{lim}\frac{0-\cos x\times 3x^2}{2(x-\frac{\pi }{2})}$

$\Rightarrow \underset{x\to \frac{{\pi }^{-}}{2}}{lim}\frac{\sin (x-\frac{\pi }{2})}{2(x-\frac{\pi }{2})}\times \frac{3{\pi }^2}{4}$

$\Rightarrow \frac{3{\pi }^2}{8}$

अतः विकल्प 3 सही है। 

गणना:

दिया गया है:

$\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{{\cos }^7(1-{\cos }^7(1-{\cos }^7(\cdots \cos (\theta )))))}{\sin (\pi \frac{\sqrt{\theta +4}-2}{\theta })}$

$\Rightarrow \underset{\theta \to 0}{lim}\frac{{\cos }^7({\sin }^7({\sin }^7(\cdots ({\sin }^7\theta )\cdots )))}{\sin (\frac{(\pi (\sqrt{\theta +4}-2))(\sqrt{\theta +4}+2)}{\theta (\sqrt{\theta +4}+2)})}$

$\Rightarrow \underset{\theta \to 0}{lim}\frac{{\cos }^7({\sin }^7({\sin }^7(\cdots ({\sin }^7\theta )\cdots )))}{\sin (\frac{\pi (\theta +4-4)}{\theta (\sqrt{\theta +4}+2)})}$

$\Rightarrow \underset{\theta \to 0}{lim}\frac{{\cos }^7({\sin }^7({\sin }^7(\cdots ({\sin }^7\theta )\cdots )))}{\sin (\frac{\pi }{\sqrt{\theta +4}+2})}$

$\Rightarrow \frac{{\cos }^7(0)}{\sin (\frac{\pi }{2+2})}=\frac{{\cos }^7(0)}{\sin (\frac{\pi }{4})}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$

∴ $\underset{\theta \to 0}{lim}\frac{{\cos }^7(1-{\cos }^7(1-{\cos }^7(\cdots \cos (\theta )))))}{\sin (\pi \frac{\sqrt{\theta +4}-2}{\theta })}=\sqrt{2}$ = 1.414

गणना:

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{x(\tan 4x)}}(3+\cos x)$

⇒ $\underset{x\to 0}{lim}2{\left({\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\right)}^2.{\displaystyle \frac{1}{4}}\left({\displaystyle \frac{4x}{\tan 4x}}\right)(3+\cos x)$ 

⇒ $2\times 1\times {\displaystyle \frac{1}{4}}\times 1\times (3+1)=2$

इसलिए विकल्प 3 सही है। 

गणना:

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(1-\cos 2x)(3+\cos x)}{x\tan 4x}}$

⇒ $4\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(1-\cos 2x)}{x\tan 4x}}$

⇒ $4\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(2{\sin }^{2}x)}{x\tan 4x}}$

⇒ $8\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{(\sin x)}{x}}\times {\displaystyle \frac{(\sin x)}{\tan 4x}}$

⇒ $8\times 1\times {\displaystyle \frac{1}{4}}=2$

अतः विकल्प 3 सही है। 

प्रयुक्त सूत्र:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right)=1}$

गणना:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\left(\frac{\sqrt{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathrm{x}}^2}}{(1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x})}\right)}$

चूँकि, 1 - cos 2θ = sin²θ

⇒ ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\left(\frac{\surd 2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}}{(2\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\frac{\mathrm{x}}{2})}\right)}$

⇒ $\frac{1}{\surd 2}{\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\left(\frac{\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}}{(\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^2\frac{\mathrm{x}}{2})\times \frac{{\mathrm{x}}^2}{2}}\right)}$

∴  $\frac{2}{\surd 2}{\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}}{\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}}\right)\times {\left(\frac{\frac{\mathrm{x}}{2}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{x}}{2}}\right)}^2}$ = √2

संकल्पना:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=1}$

त्रिकोणमितीय सूत्र:

1 - cos 2x = 2sin² x

1 + cos 2x = 2cos² x

गणना:

यहाँ, हमें सीमा ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{1-\cos 2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}}$ का मान ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं, 1 - cos 2x = 2sin2 x

${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{1-\cos 2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}}$

= ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{2{\sin }^2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}}$

= 2 × ${\displaystyle \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\times \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin \mathrm{x}}{\mathrm{x}}}$

= 2 × 1 × 1

= 2

अवधारणा:

sin(a) - sin(b) = 2 cos($\frac{a+b}{2}$) sin($\frac{a-b}{2}$)......(1)

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1}$.........(2)

स्पष्टीकरण:

हमें दिया गया है कि ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}}$ $\frac{sin(2+x)-sin(2-x)}{x}$ 

$\Rightarrow {\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{2cos(\frac{(2+x)+(2-x)}{2})sin(\frac{(2+x)-(2-x)}{2})}{x}}$ (समीकरण 1 का उपयोग करने पर)

$\Rightarrow {\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}2cos(2)\frac{sin(x)}{x}}$

$\Rightarrow 2cos(2)$ ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}}$ 

⇒ 2 cos (2) × 1 (समीकरण 2 का उपयोग करने पर) 

⇒ 2 cos 2

गणना:

हमारे पास है,

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\tan x-\sin x}{{\sin }^{3}x}$

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{{\sin }^{3}x}$      (∵ tan x = sin x/cos x)

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x{\sin }^{3}x}$

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{(1-\cos x)}{\cos x{\sin }^{2}x}$

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{(1-\cos x)}{\cos x(1-{\cos }^{2}x)}$     (∵ sin2 x = 1 - cos2 x)

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{(1-\cos x)}{\cos x(1+\cos x)(1-\cos x)}$

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{1}{\cos x(1+\cos x)}$

$\therefore \frac{1}{2}$ सही सीमा है।

संकल्पना:

$\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\left[\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\right]=\frac{\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)},\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{d}\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\ne 0$

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\tan \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=1$

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=1$

गणना:

यहाँ, हमें सीमा $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin 4\mathrm{x}}{\tan 2\mathrm{x}}$ का मान ज्ञात करना है। 

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin 4\mathrm{x}}{\tan 2\mathrm{x}}$

= $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\frac{\sin 4\mathrm{x}}{4\mathrm{x}}\times 4\mathrm{x}}{\frac{\tan 2\mathrm{x}}{2\mathrm{x}}\times 2\mathrm{x}}$

= $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{1\times 4\mathrm{x}}{1\times 2\mathrm{x}}$

= $\frac{4}{2}$

= 2

धारणा:

• $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=1$

गणना:

दिया हुआ: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x{}^{\circ }}{\tan 3x{}^{\circ }}$

हम जानते हैं कि 180° = π Radian

∴ 1° = π /360 ⇒ x° = πx/180 

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin {\mathrm{x}}^{\circ }}{\tan 3{\mathrm{x}}^{\circ }}=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin \frac{\pi \mathrm{x}}{180}}{\tan \frac{3\pi \mathrm{x}}{180}}$

= $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\frac{\sin \frac{\pi \mathrm{x}}{180}}{\frac{\pi \mathrm{x}}{180}}\times \frac{\pi \mathrm{x}}{180}}{\frac{\tan \frac{3\pi \mathrm{x}}{180}}{\frac{3\pi \mathrm{x}}{180}}\times \frac{3\pi \mathrm{x}}{180}}=$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{\pi \mathrm{x}}{180}}{\frac{3\pi \mathrm{x}}{180}}=\frac{1}{3}$

∴ विकल्प 2 सही है।

संकल्पना:

सूत्र: $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=1$

L - हॉस्पिटल नियम: माना कि f(x) और g(x) दो फलन हैं। 

माना कि हमारे पास निम्नलिखित स्थितियों में से एक स्थिति है,

I. $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{0}{0}$

II. $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$

फिर हम L - हॉस्पिटल नियम को लागू कर सकते हैं:

$\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}{lim}\frac{\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)}{\mathbf{g}\left(\mathbf{x}\right)}=\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}{lim}\frac{{\mathbf{f}}^{\prime }\left(\mathbf{x}\right)}{{\mathbf{g}}^{\prime }\left(\mathbf{x}\right)}$ 

सूचना: हमें x के संबंध में अंश और हर दोनों का अवकलन करना है जब तक कि $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\mathrm{l}\ne \frac{0}{0}$  प्राप्त ना हो जाए, जहाँ I एक सीमित मान है। 

गणना:

हमें $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{2(1-\cos \mathrm{x})}{{\mathrm{x}}^2}$  का मान ज्ञात करना है। 

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{2(1-\cos \mathrm{x})}{{\mathrm{x}}^2}$                      सीमा का रूप (0/0) है। 

L-हॉस्पिटल नियम लागू करने पर, 

$=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{2(0+\sin \mathrm{x})}{2\mathrm{x}}$

$=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin \mathrm{x}}{\mathrm{x}}$

= 1

संकल्पना:

सूत्र: $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{\sin \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=1$

L - हॉस्पिटल नियम: माना कि f(x) और g(x) दो फलन हैं। 

माना कि हमारे पास निम्नलिखित स्थितियों में से एक स्थिति है,

I. $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{0}{0}$

II. $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$

फिर हम L - हॉस्पिटल नियम को लागू कर सकते हैं:

$\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}{lim}\frac{\mathbf{f}\left(\mathbf{x}\right)}{\mathbf{g}\left(\mathbf{x}\right)}=\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}{lim}\frac{{\mathbf{f}}^{\prime }\left(\mathbf{x}\right)}{{\mathbf{g}}^{\prime }\left(\mathbf{x}\right)}$

सूचना: हमें x के संबंध में अंश और हर दोनों का अवकलन करना है जब तक कि $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}=\mathrm{l}\ne \frac{0}{0}$  प्राप्त ना हो जाए, जहाँ I एक सीमित मान है। 

गणना:

हमें $\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{(1-\cos \mathrm{x})}{\sqrt{\mathrm{x}+1}-1}$  का मान ज्ञात करना है। 

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{(1-\cos \mathrm{x})}{\sqrt{\mathrm{x}+1}-1}$                      सीमा का रूप (0/0) है। 

L-हॉस्पिटल नियम लागू करने पर, 

$=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}\frac{(0+\sin \mathrm{x})}{\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}+1}}}$

= 0

धारणा:

L' हॉस्पिटल का नियम:

यदि $\underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{0}{0}$ तब हमें x के संबंध में अंश और हर दोनों को अवकलित करना होगा जब तक कि $\underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=l\ne \frac{0}{0}$ जहां l एक परिमित मूल्य है।

गणना:

दिया हुआ: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-{\cos }^{3}4x}{x^2}$

$\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{1-{\cos }^{3}4x}{x^2}=\frac{0}{0}$

L' हॉस्पिटल के नियम को लागू करने से हमें मिलता है

$\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{1-{\cos }^{3}4x}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{12{\cos }^{2}4x\sin 4x}{2x}$

$\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{12{\cos }^{2}4x\sin 4x}{2x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{24\left({\cos }^{2}4x\sin 4x\right)}{4x}$

$\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{24\left({\cos }^{2}4x\sin 4x\right)}{4x}=24\times \underset{x\to 0}{lim}{\cos }^{2}4x\times \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 4x}{4x}$

गणना:

हमें $\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{lim}\frac{2{\sin }^{2}x+\sin x-1}{2{\sin }^{2}x-3\sin x+1}$ का मूल्य खोजना होगा

$\Rightarrow \underset{x\to \frac{\pi }{6}}{lim}\frac{2{\sin }^{2}x+\sin x-1}{2{\sin }^{2}x-3\sin x+1}=\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{2{\sin }^{2}x+2\sin x-\sin x-1}{2{\sin }^{2}x-2\sin x-\sin x+1}$

$=\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{2\sin x(\sin x+1)-1(\sin x+1)}{2\sin x(\sin x-1)-1(\sin x-1)}$

$=\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\left(2\sin x-1\right)(\sin x+1)}{\left(2\sin x-1\right)(\sin x-1)}$

$=\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{(\sin x+1)}{(\sin x-1)}=\frac{\left(\frac{1}{2}+1\right)}{\left(\frac{1}{2}-1\right)}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)}{\left(\frac{-1}{2}\right)}=-3$