Logarithmic Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Logarithmic Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

हम जानते हैं कि

log(1 + x) = x + $\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...$

और

log(1 - x) = -x + $\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-...$

इन्हें घटाने पर हमें मिलता है

$x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+....=\frac{1}{2}\log (\frac{1+x}{1-x})$

इसलिए,

$[\mathrm{y}+\frac{{\mathrm{y}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{y}}^5}{5}+...]/[\mathrm{x}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{x}}^5}{5}+....]$ = $\frac{\frac{1}{2}\log (\frac{1+y}{1-y})}{\frac{1}{2}\log (\frac{1+x}{1-x})}$

$[\mathrm{y}+\frac{{\mathrm{y}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{y}}^5}{5}+...]/[\mathrm{x}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{x}}^5}{5}+....]$ = $\frac{\log (\frac{1+y}{1-y})}{\log (\frac{1+x}{1-x})}$...(i)

अब, दिया गया है x2y - 2x + y = 0

अर्थात, (x² + 1)y = 2x ⇒ y = $\frac{2x}{1+x^2}$

इसलिए,

$\log (\frac{1+y}{1-y})=\log (\frac{1+\frac{2x}{1+x^2}}{1-\frac{2x}{1+x^2}})$

= $\log (\frac{\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}}{\frac{(1-x{)}^2}{1+x^2}})$

= $\log (\frac{1+x}{1-x}{)}^2$

= $2\log (\frac{1+x}{1-x})$

(i) में यह मान रखने पर हमें मिलता है,

$[\mathrm{y}+\frac{{\mathrm{y}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{y}}^5}{5}+...]/[\mathrm{x}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{x}}^5}{5}+....]$ = $\frac{2\log (\frac{1+x}{1-x})}{\log (\frac{1+x}{1-x})}$ = 2

अतः विकल्प (2) सही है।

log 8 = 0.903

log (2)3 = 0.903                         [∵ log ab  = b log a]

log 2 = 0.903/3 = 0.301

दिया गया है:
log 2 = 0.3010

log 3 = 0.4771

प्रयुक्त सूत्र:

log (x × y) = log x + log y

गणना:

log 6 = log (2.3)

⇒ log (2.3) = log 2 + log 3

⇒ log (2.3) = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781

∴ log 6 = 0.7781

दिया गया है:

log10 a = p तथा log10 b = q

संकल्पना:

सूत्रों का प्रयोग करने पर

$\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{a}}(\mathrm{x}\mathrm{y})=\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{a}}\mathrm{x}+\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{a}}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{a}}({\mathrm{x}}^{\mathrm{y}})=\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{\mathrm{a}}\mathrm{x}$

गणना:

यदि log10 a = p तथा log10 b = q

तब

log10(ap bq)

= log10(ap) + log10(bq)

= p log10(a) + q log10(b)

= p2 + q2

अतः, विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

0 < a < 1 के आधार पर एक log फलन के लिए, फलन का ग्राफ़ निम्नानुसार खींचा जा सकता है

उपरोक्त ग्राफ मान्य है,

x > 0 और 0 < a < 1 के लिए

चूँकि फलन​ y = log_ax आधार ∈ (0, 1) के लिए एक घटता हुआ फलन है। इसलिए, दी गई असमिका पर loga का संचालन करते समय, असमिका का चिह्न बदल जाएगा।

गणना:

दिया गया है:

p > q > 1

As, 0 < a < 1

⇒ (p – a) > (q – a) > 0

यह loga(p – a) और loga(q – a) के डोमेन के लिए शर्त को संतुष्ट कर रहा है 

दोनों तरफ ऑपरेटिंग लॉग फ़लन,

⇒ loga(p - a) < loga(q - a)

⇒ विकल्प 3 सही है।

दिया है:

log_x 4 + log_x 16 + log_x 64 = 12

प्रयुक्त सूत्र:

यदि log_x y = a, तो x^a = y

log_x a^b = b log_x a

गणना:

log_x 4 + log_x 16 + log_x 64 = 12

⇒ log_x 2² + log_x 2⁴ + log_x 2⁶ = 12

⇒ 2 log_x 2 + 4 log_x 2 + 6 log_x 2 = 12

⇒ 12 log_x 2 = 12

⇒ log_x 2 = 1

⇒ 2 = x¹

∴ x = 2

संकल्पना:

लघुगुणक गुण

गुणनफल नियम: एक गुणनफल का log दो log के योग के बराबर है। 

${\log }_{\mathrm{a}}\left(\mathrm{m}\mathrm{n}\right)={\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{m}+{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{n}$

भागफल नियम: एक भागफल का log दो log के अंतर के बराबर है। 

${\log }_{\mathrm{a}}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}={\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{m}-{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{n}$

गणना:

दिया गया है:

log (x + 2) + log (x − 2) = log 5

⇒ log [(x + 2) (x – 2)] = log 5                (∵ ${\log }_{\mathrm{a}}\left(\mathrm{m}\mathrm{n}\right)={\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{m}+{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{n}$)

⇒ log (x ² – 4) = log 5

⇒ x² – 4 = 5

⇒ x² = 9

∴ x = ± 3

यहाँ x ≠ -3 संभव नहीं है क्योंकि (x – 2) शून्य से अधिक होना चाहिए। 

∴ x = 3

संकल्पना

अर्ध जीवनकाल: ${\displaystyle t_{\frac{1}{2}}=\frac{lo{g}_{e}2}{k}}$

जहाँ k क्षय स्थिरांक है।

गणना:

हम जानते हैं कि   ${\displaystyle t_{\frac{1}{2}}=\frac{lo{g}_{e}2}{k}}$

t1/2 = 100 वर्ष का मान रखने पर,

⇒ 100 = ${\displaystyle \frac{lo{g}_{e}2}{k}}$

⇒ k = ${\displaystyle \frac{lo{g}_{e}2}{100}}$

∴ क्षय स्थिरांक ${\displaystyle \frac{lo{g}_{e}2}{100}}$ है।

अवधारणा:

• रेडियोधर्मी क्षय नियम के अनुसार, नमूने में रेडियोधर्मी क्षय के बाद रेडियोधर्मी यौगिकों के नाभिक की कुल संख्या दिए गए समीकरण द्वारा दी जाती है-

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

जहां N रेडियोधर्मी क्षय के बाद रेडियोधर्मी यौगिकों के नाभिक की संख्या है, N₀ रेडियोधर्मी यौगिकों के नाभिक की संख्या शुरू में है, λ क्षय नियतांक है और t रेडियोधर्मी क्षय का समय है ।

• अर्ध आयु: अर्ध आयु एक रेडियोधर्मी पदार्थ को इसके प्रारंभिक मान का आधा करने के लिए आवश्यक समय है।

गणना:

अर्ध आयु की परिभाषा से, समय T (अर्ध आयु ) में रेडियोधर्मी क्षय अपने प्रारंभिक मूल्य का आधा हो जाएगा

N = N₀ / 2

इसलिए समय t = T पर, नाभिक की संख्या N = N₀ / 2

जहां N₀ नाभिक की प्रारंभिक संख्या है।

रेडियोधर्मी क्षय नियम से:

$\Rightarrow N=N_0{e}^{-\lambda t}$

$\Rightarrow \frac{N_0}{2}=N_0{e}^{-\lambda T}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}=e^{-\lambda T}$

$\Rightarrow e^{\lambda T}=2$

दोनों तरफ  log लेने पर

⇒ λ T = log_e 2

• तो सही उत्तर विकल्प 3 होगा।

संकल्पना:

• यदि m और n धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो loga(mn) = nlogam
• यदि a एक धनात्मक वास्तविक संख्या है और m एक धनात्मक परिमेय संख्या है, तो $a^{{\log }_{a}m}=m$ 

गणना:

$$\begin{gathered} x^y={27}^{{\log }_{3}4}={\left(3^3\right)}^{{\log }_{3}4}=3^{3{\log }_{3}4} \\ =3^{{\log }_3{4}^3}=4^3=64 \end{gathered}$$

अवधारणा:

हम जानते हैं कि,

${\log }_{x}y=\frac{1}{{\log }_{y}x}$

गणना:

$\frac{1}{{\log }_{2}x}+\frac{1}{{\log }_{3}x}+\frac{1}{{\log }_{4}x}+\dots ..+\frac{1}{{\log }_{50}x},x\ne 1$

उपरोक्त गुण का उपयोग करके इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

${\log }_{x}2+{\log }_{x}3+\dots +{\log }_{x}50$

${\log }_x\left[2\times 3\times 4\times 5\times \dots \times 50\right]$

${\log }_{x}50!\Rightarrow \frac{1}{{\log }_{50!}x}$

Important Points

लघुगणक के गुण:

1. ${\log }_{a}a=1$
2. ${\log }_a\left(x.y\right)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$
3. ${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$
4. ${\log }_a\left(\frac{1}{x}\right)=-{\log }_{a}x$
5. $\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_a{x}^p=p\mathrm{l}\mathrm{o}{\mathrm{g}}_{a}x$
6. $lo{g}_a\left(x\right)=\frac{lo{g}_b\left(x\right)}{lo{g}_b\left(a\right)}$

दिया है:

हमारे पास एक लघुगणक व्यंजक 'Log327' है

अवधारणा:

लघुगणक

प्रयुक्त सूत्र:

Logab = x 

ax = b

गणना:

Log327 = n

⇒ 3n = 27

⇒ 3n = 33

⇒ n = 3

∴ Log327 का मान 3 है। 

व्याख्या:

फलन $f(x)=\frac{1}{x}$ लेने पर 

सभी वास्तविक संख्याओं के लिए फलन की सांतत्य की जांच करने के इरादे से, हम पाएंगे कि फलन x = 0 पर असतत है, और इसलिए x = 0 पर फलन पूर्णांक नहीं है।

हालाँकि, यदि हम इसकी समीक्षा सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं या सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में करते हैं, तो फलन सतत है, और इस क्षेत्र में पूर्णांक भी है।

यह वह सांत्वना है जिसकी हमें आवश्यकता थी कि फलन सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं (या ऋणात्मक संख्याओं) के लिए पूर्णांक है।

इसके अलावा, फलन $\frac{1}{x}$ का समाकलन ln|(x)| है, जिसे x = 0 के लिए परिभाषित नहीं किया गया है।

इसलिए यह आगे इस तथ्य की पुष्टि करता है कि $\frac{1}{x}$ केवल x = 0 के लिए पूर्णांक नहीं है (चूंकि x = 0 के लिए समाकलन परिभाषित नहीं है)।

दिया है:

हमारे पास एक लघुगणक व्यंजक 'Log₂32' है

अवधारणा:

लघुगणक

प्रयुक्त सूत्र:

Log_ab = x 

a^x = b

गणना:

⇒ Log₂32 = n

⇒ 2ⁿ = 32

⇒ 2ⁿ = 2⁵

⇒ n = 5
∴ Log₂32 का मान 5 है।