Exponential Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Exponential Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 2, 2025

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Latest Exponential Function MCQ Objective Questions

Exponential Function Question 1:

श्रेणी 1+221!+322!+424!+. का योग है:

  1. e
  2. 4e
  3. 2e
  4. 3e
  5. 5e

Answer (Detailed Solution Below)

Option 5 : 5e

Exponential Function Question 1 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणा:-

हम जानते हैं कि ex के टेलर विस्तार से,

ex=1+x1+x22!+x33!+

x = 1 रखने पर हम प्राप्त करते हैं,

e=1+1+12!+13!+....e=10!+11!+12!+13!+....e=n=01(n)!            .....(1)

साथ ही,

 e=n=11(n1)!            .....(2)e=n=21(n2)!            .....(3)

व्याख्या:-

दी गई श्रेणी निम्नवत है,

1+221!+322!+423!+.

चूंकि, 0! 1 के बराबर है। इसलिए, उपरोक्त योगफल को इस प्रकार लिखा जा सकता है,

10!+221!+322!+423!+.

मान लीजिए उपरोक्त श्रेणी का योग S है। तब,

S=120!+221!+322!+423!+.

प्रत्येक संख्या के क्रमचयित मान में लिखी गई संख्या अंश की वर्ग में लिखी गई संख्या के मान से एक कम होती है। इस प्रकार, इस श्रेणी को व्यापक रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है,

⇒ S=n=1n(n+1)2(n)!

इसे हल करने के लिए अंश(n+1)2 का विस्तार करने पर,

S=n=0n(n+1)2(n)!S=n=0nn2+2n+1(n)!S=n=0nn2(n)!+n=0n2n(n)!+n=0n1(n)!S=n=1nn(n1)+nn.(n1)!+n=1n2nn(.n1)!+n=0n1(n)!S=n=2n1(n2)!+n=1n1(n1)!+n=1n2(n1)!+n=0n1(n)!S=n=2n1(n2)!+n=1n1(n1)!+2n=1n1(n1)!+n=0n1(n)!

अब समीकरण (1), (2) और (3) का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होगा,

⇒ S = e + e + 2e + e

⇒ S = 5e

इसलिए, दी गई श्रेणी का योग 5e है।

अतः सही विकल्प 5 है।

Exponential Function Question 2:

limx0e(1+2x)12xx किसके बराबर है:

  1. e
  2. 2e
  3. 0
  4. e - e2
  5. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : e

Exponential Function Question 2 Detailed Solution

गणना

दिया गया है:

limx0e(1+2x)12xx

Limx0ee12xln(1+2x)x

Limx0(e)(eln(1+2x)2x11)x

Limx0(e)ln(1+2x)2x2x2

(e)×(1)42×2=e

अतः विकल्प (1) सही है। 

Exponential Function Question 3:

limx0e(1+2x)12xx किसके बराबर है:

  1. e
  2. 2e
  3. 0
  4. e - e2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : e

Exponential Function Question 3 Detailed Solution

गणना

दिया गया है:

limx0e(1+2x)12xx

Limx0ee12xln(1+2x)x

Limx0(e)(eln(1+2x)2x11)x

Limx0(e)ln(1+2x)2x2x2

(e)×(1)42×2=e

अतः विकल्प (1) सही है। 

Exponential Function Question 4:

limx0ex(1+x)x2 किसके बराबर है?

  1. 0
  2. 12
  3. 1
  4. उपर्युक्त में से एक से अधिक
  5. उपर्युक्त में से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 12

Exponential Function Question 4 Detailed Solution

धारणा:

L-हॉस्पिटल का नियम: माना कि f(x) और g(x) दो फलन हैं

मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित मामलों में से एक मामला है,

  1. limxaf(x)g(x)=00
  2. limxaf(x)g(x)=

फिर हम L-हॉस्पिटल नियम लागू कर सकते हैं ⇔ limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)

टिप्पणी: हमें x के संबंध में अंश और हर दोनों को अवकलित करना होगा जब तक कि limxaf(x)g(x)=l00 जहां l एक परिमित मूल्य है।

गणना:

limx0ex(1+x)x2                 [रूप 0/0]

L-हॉस्पिटल नियम लागू करें

=limx0ex(0+1)2x=limx0ex12x              [रूप 0/0]

फिर से L-हॉस्पिटल नियम लागू करें

=limx0ex02=e02=12

Exponential Function Question 5:

श्रेणी 1+221!+322!+424!+. का योग है:

  1. 5e
  2. 4e
  3. 2e
  4. उपर्युक्त में से एक से अधिक
  5. उपर्युक्त में से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 5e

Exponential Function Question 5 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणा:-

हम जानते हैं कि ex के टेलर विस्तार से,

ex=1+x1+x22!+x33!+

x = 1 रखने पर हम प्राप्त करते हैं,

e=1+1+12!+13!+....e=10!+11!+12!+13!+....e=n=01(n)!            .....(1)

साथ ही,

 e=n=11(n1)!            .....(2)e=n=21(n2)!            .....(3)

व्याख्या:-

दी गई श्रेणी निम्नवत है,

1+221!+322!+423!+.

चूंकि, 0! 1 के बराबर है। इसलिए, उपरोक्त योगफल को इस प्रकार लिखा जा सकता है,

10!+221!+322!+423!+.

मान लीजिए उपरोक्त श्रेणी का योग S है। तब,

S=120!+221!+322!+423!+.

प्रत्येक संख्या के क्रमचयित मान में लिखी गई संख्या अंश की वर्ग में लिखी गई संख्या के मान से एक कम होती है। इस प्रकार, इस श्रेणी को व्यापक रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है,

⇒ S=n=1n(n+1)2(n)!

इसे हल करने के लिए अंश(n+1)2 का विस्तार करने पर,

S=n=0n(n+1)2(n)!S=n=0nn2+2n+1(n)!S=n=0nn2(n)!+n=0n2n(n)!+n=0n1(n)!S=n=1nn(n1)+nn.(n1)!+n=1n2nn(.n1)!+n=0n1(n)!S=n=2n1(n2)!+n=1n1(n1)!+n=1n2(n1)!+n=0n1(n)!S=n=2n1(n2)!+n=1n1(n1)!+2n=1n1(n1)!+n=0n1(n)!

अब समीकरण (1), (2) और (3) का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होगा,

⇒ S = e + e + 2e + e

⇒ S = 5e

इसलिए, दी गई श्रेणी का योग 5e है।

अतः सही विकल्प 1 है।

Top Exponential Function MCQ Objective Questions

limx03x+3x2x किसके बराबर है?

  1. 0
  2. -1
  3. 1
  4. सीमा मौजूद नहीं है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Exponential Function Question 6 Detailed Solution

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अवधारणा:

limxa[f(x)+g(x)]=limxaf(x)+limxag(x)

limx0(ax1)x=loga

log mn = n log m

 

गणना:

limx03x+3x2x=limx03x1+3x1x=limx03x1x+limx03x1x=limx03x1x+limx0(31)x1x=log3+log(31)=log3log3=0

limx05x1x किसके बराबर है?

  1. loge 5
  2. log5 e
  3. 5
  4. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : loge 5

Exponential Function Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

ddx(ax)=axlna

जब 0/0 या ∞/∞ रूप मौजूद होता है, तो हम L - हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं जिसके अनुसार हम अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करते हैं। 

गणना:

limx05x1x

0/0 रुपए, इसलिए,  L - हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

limx05xln501=loge5

अतः विकल्प (1) सही है। 

limx0ex(1+x)x2 किसके बराबर है?

  1. 0
  2. 12
  3. 1
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 12

Exponential Function Question 8 Detailed Solution

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धारणा:

L-हॉस्पिटल का नियम: माना कि f(x) और g(x) दो फलन हैं

मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित मामलों में से एक मामला है,

  1. limxaf(x)g(x)=00
  2. limxaf(x)g(x)=

फिर हम L-हॉस्पिटल नियम लागू कर सकते हैं ⇔ limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)

टिप्पणी: हमें x के संबंध में अंश और हर दोनों को अवकलित करना होगा जब तक कि limxaf(x)g(x)=l00 जहां l एक परिमित मूल्य है।

गणना:

limx0ex(1+x)x2                 [रूप 0/0]

L-हॉस्पिटल नियम लागू करें

=limx0ex(0+1)2x=limx0ex12x              [रूप 0/0]

फिर से L-हॉस्पिटल नियम लागू करें

=limx0ex02=e02=12

limnan+bnanbn किसके बराबर है, जहाँ a > b > 1 है?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. सीमा का अस्तित्व नहीं है

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1

Exponential Function Question 9 Detailed Solution

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दिया गया है:

f(x) = limnan+bnanbn और

a > b > 1

गणना​:

हमारे पास है,

a > b > 1

⇒ ab>1 or ba<1

दिया गया है कि,

f(x) = limnan+bnanbn    

⇒ f(x) = limnan[1+(ba)n]an[1(ba)n] 

⇒ f(x) = limn[1+(ba)n][1(ba)n] 

सीमा  n→∞ लेने पर

⇒ f(x) = limn[1+(ba)][1(ba)]  

⇒ f(x) = 1+010       (∵ ba<1 )

∴  f(x) = 1

limx0ex1xx2x2 =

  1. 0
  2. 12
  3. 12
  4. −1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 12

Exponential Function Question 10 Detailed Solution

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दिया गया है:

दिया गया सीमा फलन इस प्रकार है,

limx0ex1xx2x2 

संकल्पना​:

00 रूप की limxaf(x)g(x) सीमा के लिए, एल-हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करने पर, 

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)

जहाँ,

f'(x) और g'(x), f(x) और g(x) के अवकलज हैं।

हल:

दी गई सीमा इस प्रकार है,

limx0ex1xx2x2 

limx0ex1xx2x2=00

f(x) और g(x) का अवकलन करने पर, हम प्राप्त करेंगे,

limx0ex12x2x=00

अब भी, यह 00 रूप का है।

पुनः अवकलन करने पर, हम प्राप्त करेंगे,

limx0ex22=122=12

अतः विकल्प 3 सही है।

 limx1(1cos2(x1)(x1))

  1. परिमित और √2 के बराबर है। 
  2. परिमित और -√2 के बराबर है। 
  3. परिमित नहीं है क्योंकि (x - 1) → 1
  4. परिमित नहीं है क्योंकि बाएँ हाथ की सीमा दाएँ हाथ की सीमा के बराबर नहीं है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : परिमित नहीं है क्योंकि बाएँ हाथ की सीमा दाएँ हाथ की सीमा के बराबर नहीं है।

Exponential Function Question 11 Detailed Solution

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अवधारणा:

चरण: 1

जाँच करें f(a) परिभाषित है। यदि यह परिभाषित नहीं है, तो आगे जाने की आवश्यकता नहीं है। फलन a पर सतत नहीं है। यदि f(a) परिभाषित है, तो

चरण: 2

बाएँ पक्ष की सीमा (LHL) और दाएँ पक्ष की सीमा (RHL) की जाँच कीजिए। 

LHL=limxaf(x)

RHL=limxa+f(x)

यदि LHL = RHL तब सीमा परिमित होती हैं। 

प्रयुक्त सूत्र:

1) 1 - cos 2θ = 2sin2θ 

2) limx0(sinxx) = 1

गणना: 

हमें प्राप्त limx1(1cos2(x1)(x1))

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करने पर,  

limx1(2sin2(x1)(x1))

2limx1(|sin(x1)|(x1))

चूँकि व्यंजक में एक मोड है, हमें यह जाँच करनी होगी कि सीमा परिमित है या नहीं।

LHL:

2limx1(|sin(x1)|(x1))

2limx1(sin(x1)(x1))

सूत्र (2) का उपयोग करने पर,

2limx10(sin(x1)(x1))

LHL = -√2

RHL: 

2limx1+(|sin(x1)|(x1))

RHL = √2

चूँकि, LHL ≠ RHL

व्यंजक की सीमा परिमित नहीं है। 

limx0axbxex1 किसके बराबर है?

  1. log(ab)
  2. log(ba)
  3. log (a, b)
  4. log (a + b)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : log(ab)

Exponential Function Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

  • limx0[ax1x]=loga,a>0
  • limx0[ex1x]=1
  • limxa[f(x)g(x)]=limxaf(x)limxag(x),providedlimxag(x)0

गणना:

यहाँ, हमें limx0axbxex1 की सीमा ज्ञात करनी है। 

समीकरण  axbxex1 को निम्न रूप में पुनःलिखा जा सकता है:

axbxex1=[ax1xbx1xex1x]

अब उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों में सीमा लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

limx0axbxex1=limx0[ax1xbx1xex1x]

चूँकि हम जानते हैं कि, limxa[f(x)g(x)]=limxaf(x)limxag(x),providedlimxag(x)0

limx0[ax1xbx1xex1x]=[limx0ax1x][limx0bx1x][limxex1x]

चूँकि हम जानते हैं कि, limx0[ax1x]=loga,a>0 और limx0[ex1x]=1

limx0axbxex1=logab

अतः विकल्प A सत्य है। 

श्रेणी 1+221!+322!+424!+. का योग है:

  1. 5e
  2. 4e
  3. 2e
  4. 3e

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 5e

Exponential Function Question 13 Detailed Solution

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प्रयुक्त अवधारणा:-

हम जानते हैं कि ex के टेलर विस्तार से,

ex=1+x1+x22!+x33!+

x = 1 रखने पर हम प्राप्त करते हैं,

e=1+1+12!+13!+....e=10!+11!+12!+13!+....e=n=01(n)!            .....(1)

साथ ही,

 e=n=11(n1)!            .....(2)e=n=21(n2)!            .....(3)

व्याख्या:-

दी गई श्रेणी निम्नवत है,

1+221!+322!+423!+.

चूंकि, 0! 1 के बराबर है। इसलिए, उपरोक्त योगफल को इस प्रकार लिखा जा सकता है,

10!+221!+322!+423!+.

मान लीजिए उपरोक्त श्रेणी का योग S है। तब,

S=120!+221!+322!+423!+.

प्रत्येक संख्या के क्रमचयित मान में लिखी गई संख्या अंश की वर्ग में लिखी गई संख्या के मान से एक कम होती है। इस प्रकार, इस श्रेणी को व्यापक रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है,

⇒ S=n=1n(n+1)2(n)!

इसे हल करने के लिए अंश(n+1)2 का विस्तार करने पर,

S=n=0n(n+1)2(n)!S=n=0nn2+2n+1(n)!S=n=0nn2(n)!+n=0n2n(n)!+n=0n1(n)!S=n=1nn(n1)+nn.(n1)!+n=1n2nn(.n1)!+n=0n1(n)!S=n=2n1(n2)!+n=1n1(n1)!+n=1n2(n1)!+n=0n1(n)!S=n=2n1(n2)!+n=1n1(n1)!+2n=1n1(n1)!+n=0n1(n)!

अब समीकरण (1), (2) और (3) का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होगा,

⇒ S = e + e + 2e + e

⇒ S = 5e

इसलिए, दी गई श्रेणी का योग 5e है।

अतः सही विकल्प 1 है।

n = 1 से ∞ तक श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए, जिसका nवाँ पद 1(n+1)! है। 

  1. इनमें से कोई नहीं। 
  2. e
  3. e − 1
  4. e − 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : e − 2

Exponential Function Question 14 Detailed Solution

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प्रयुक्त अवधारणा:-

हमें ज्ञात है कि eˣ का अवकलज eˣ है। 

अब जैसा कि लिखा गया है,

eˣ = a₀ + a₁ x + a₂x² + ... + anxn

x = 0; a₀ = 1 पर,

उपरोक्त समीकरण का अवकलन करने पर,

eˣ = a₁ + 2a₂x + ...+ na_nxn-1

अब x = 0; a₁ = 1 रखने पर

इसका पुनः अवकलन करने पर,

eˣ = 2a2 +... n (n - 1)xn-2

अब, x = 0, 2a2 = 1 पर,

जब हम बार-बार इसका अवकलन करते हैं और a_n के मान को हल करने के लिए x = 0 रखते हैं, तो हमें निम्न श्रेणी प्राप्त होती है:

1 + x + x²/2! + x³/3! + ...+ xn/n! अनंत तक 

x = 1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...+ 1/n!              .......(1)

व्याख्या:-

दिया गया है कि किसी श्रेणी का nवाँ पद  1(n+1)! है। 

Tn=1(n+1)!

यहाँ, श्रेणी n = 1 से ∞ तक जाती है।​ इसलिए, श्रेणी का मान होगा, 

S=12!+13!+

यहाँ, 1+1/1! को दाईं ओर जोड़ने और घटाने पर,

S=(1+11!+12!+13!+)(1+11!)S=(1+11!+12!+13!+)2

समीकरण (1) से हमें प्राप्त होता है,

⇒ S = e - 2

इसलिए, श्रेणी का योग (e - 2) होगा। 

यदि 2x = 3y = 6+z, तो (1x+1y)+1z= का मान क्या है?

  1. 0
  2. 1
  3. 13
  4. 16

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Exponential Function Question 15 Detailed Solution

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प्रयुक्त सूत्र:

X(a + b) = Xतो, (a + b) = c

गणना:

माना 2x = 3y = 6+z = k 

2x = k तो, 2 = k1/x

3y = k तो, 3 = k1/y

6+z = k तो, 6 = k1/z 

अब, हम जानते हैं कि

2 × 3 = 6

⇒ k1/x × k1/y = k1/z

⇒ k(1/x + 1/y) = k1/z

⇒ 1/x + 1/y = 1/z

⇒ -(1/x + 1/y) + 1/z = 0 

ध्यान दें:- आधिकारिक प्रश्न गलत है, अद्यतन प्रश्न और समाधान प्रदान किया गया है।

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