Question
Download Solution PDFएक निकाय समीकरण पर विचार करें:
\(2x+y-z=0\),
\(4x - py + 4z = 4\) और
\(x-y+z=q\)
जहाँ \(p, q \in I\) और \(p, q \in [1, 10]\) है, तब सही कथन(कथनों) की पहचान करें।
| सूची-I | सूची-II | |
|---|---|---|
| (I) | क्रमित युग्मों \((p, q)\) की संख्या जिसके लिए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है | (P) 1 |
| (II) | क्रमित युग्मों \((p, q)\) की संख्या जिसके लिए समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है | (Q) 9 |
| (III) | क्रमित युग्मों \((p, q)\) की संख्या जिसके लिए समीकरण निकाय का अनंत हल है | (R) 91 |
| (IV) | क्रमित युग्मों \((p, q)\) की संख्या जिसके लिए समीकरण निकाय का कम से कम एक हल है | (S) 90 |
Answer (Detailed Solution Below)
I → S, II → Q, III → P, IV → R
Detailed Solution
Download Solution PDFगणना:
दिया गया है:
रैखिक समीकरणों का निकाय है:
\(2x + y - z = 0\)
\(4x - py + 4z = 4\)
\(x - y + z = q\)
\(p, q \in I\) और \(p, q \in [1, 10]\)
गुणांक आव्यूह A है:
\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -\frac{p}{4} & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)
संवर्धित आव्यूह [A|B] है:
\([A|B] = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -\frac{p}{4} & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & q \end{bmatrix}\)
A के सारणिक, |A| की गणना करें:
\(|A| = 2(-\frac{p}{4} + 1) - 1(1 - 1) - 1(-1 + \frac{p}{4})\)
\(|A| = -\frac{p}{2} + 2 + 0 + 1 - \frac{p}{4}\)
\(|A| = 3 - \frac{3p}{4}\)
⇒ अद्वितीय हल के लिए, \(|A| \ne 0\):
\(3 - \frac{3p}{4} \ne 0\)
\(3 \ne \frac{3p}{4}\)
\(p \ne 4\)
कोई हल नहीं या अनंत हल के लिए, \(|A| = 0\), इसलिए \(p = 4\) है।
⇒ यदि \(p=4\) है, तो निकाय बन जाता है:
\(2x + y - z = 0\)
\(x - y + z = 1\)
\(x - y + z = q\)
⇒ दूसरे और तीसरे समीकरणों से, एक हल के अस्तित्व के लिए, \(1 = q\) है।
⇒ यदि \(p = 4\) और \(q = 1\) है, अनंत हल का अस्तित्व हैं।
⇒ यदि \(p = 4\) और \(q \ne 1\) है, किसी हल का अस्तित्व नहीं है।
(I) अद्वितीय हल: \(p \ne 4\). \(p\), 9 मान ले सकता है (1 से 10 तक 4 को छोड़कर)। \(q\),10 मान ले सकता है। कुल युग्म: 9 × 10 = 90
(II) कोई हल नहीं: \(p = 4\) और \(q \ne 1\). \(q\) के लिए 9 मान है। \(p\) के लिए 1 युग्म। कुल युग्म: 1 × 9 = 9
(III) अनंत हल: \(p = 4\) और \(q = 1\). केवल 1 युग्म।
(IV) कम से कम एक हल: कुल युग्म - कोई हल नहीं वाले युग्म= 100 - 9 = 91
∴ (I) - (S), (II) - (Q), (III) - (P), (IV) - (R)