Solution of Linear Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solution of Linear Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& \beta \\ 2& \alpha & -1\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=0$

$3(\alpha +2)-1(2+1)+\beta (4-\alpha )=0$

$3\alpha +6-3+4\beta -\alpha \beta =0$

$3\alpha +4\beta -\alpha \beta +3=0$

साथ ही,

${\mathrm{\Delta }}_3=\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 3\\ 2& \alpha & -3\\ 1& 2& 4\end{array}\right|=0$

$3(4\alpha +6)-1(8+3)+3(4-\alpha )=0$

$12\alpha +18-11+12-3\alpha =0$

$9\alpha +19=0\Rightarrow \alpha =-\frac{19}{9}$

पिछले समीकरण में रखने पर:

$3\alpha +4\beta -\alpha \beta +3=0$

$\Rightarrow \beta =\frac{6}{11}$

अब,

$22\beta -9\alpha =22\left(\frac{6}{11}\right)-9(-\frac{19}{9})$

$=12+19=31$

∴ सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है:

रैखिक समीकरणों का निकाय है:

$2x+y-z=0$

$4x-py+4z=4$

$x-y+z=q$

$p,q\in I$ और $p,q\in [1,10]$

गुणांक आव्यूह A है:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& -\frac{p}{4}& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right]$

संवर्धित आव्यूह [A|B] है:

$[A|B]=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 0\\ 1& -\frac{p}{4}& 1& 1\\ 1& -1& 1& q\end{array}\right]$

A के सारणिक, |A| की गणना करें:

$|A|=2(-\frac{p}{4}+1)-1(1-1)-1(-1+\frac{p}{4})$

$|A|=-\frac{p}{2}+2+0+1-\frac{p}{4}$

$|A|=3-\frac{3p}{4}$

⇒ अद्वितीय हल के लिए, $|A|\ne 0$:

$3-\frac{3p}{4}\ne 0$

$3\ne \frac{3p}{4}$

$p\ne 4$

कोई हल नहीं या अनंत हल के लिए, $|A|=0$, इसलिए $p=4$ है। 

⇒ यदि $p=4$ है, तो निकाय बन जाता है:

$2x+y-z=0$

$x-y+z=1$

$x-y+z=q$

⇒ दूसरे और तीसरे समीकरणों से, एक हल के अस्तित्व के लिए, $1=q$ है। 

⇒ यदि $p=4$ और $q=1$ है, अनंत हल का अस्तित्व हैं।

⇒ यदि $p=4$ और $q\ne 1$ है, किसी हल का अस्तित्व नहीं है।

(I) अद्वितीय हल: $p\ne 4$. $p$, 9 मान ले सकता है (1 से 10 तक 4 को छोड़कर)। $q$,10 मान ले सकता है। कुल युग्म: 9 × 10 = 90

(II) कोई हल नहीं: $p=4$ और $q\ne 1$. $q$ के लिए 9 मान है। $p$ के लिए 1 युग्म। कुल युग्म: 1 × 9 = 9

(III) अनंत हल: $p=4$ और $q=1$. केवल 1 युग्म।

(IV) कम से कम एक हल: कुल युग्म - कोई हल नहीं वाले युग्म= 100 - 9 = 91

∴ (I) - (S), (II) - (Q), (III) - (P), (IV) - (R)

गणना

$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 2& \lambda & 5\\ 14& 3& \mu \end{array}\right|=0$

⇒ $\lambda \mu +42\lambda -4\mu +107=0$

D₁ = 2λμ + 99λ - 10μ + 255

D₂ = 13 - μ

D₃ = 5λ + 5

D₂ = 0 ⇒ μ = 13 और D₃ = 0 ⇒ λ = -1

इन मानों के लिए D और D₁ = 0

λ + μ = 13 - 1 = 12

इसलिए विकल्प 4 सही है

गणना

$\mathrm{\Delta }=0\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 5& \lambda & 3\\ 100& -47& \mu \end{array}\right|=0$

⇒ 2(λμ + 141) + (5μ - 300) - 235 - 100λ = 0 …(1)

${\mathrm{\Delta }}_3=0\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}2& -1& 4\\ 5& \lambda & 12\\ 100& -47& 212\end{array}\right|=0$

⇒ 6λ = -12 ⇒ λ = -2

(1) में λ = -2 रखने पर,

⇒ 2(-2μ + 141) + 5μ - 300 - 235 + 200 = 0

⇒ μ = 53

μ - 2λ = 57

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना

चूँकि दिए गए समीकरण निकाय का एक अतुच्छ हल है।

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{lll}p& a& a\\ b& q& b\\ c& c& r\end{array}\right|=0$

C₂ → C₂ - C₁ और C₃ → C₃ - C₁ को लागू करने पर

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}p& a-p& a-p\\ b& q-b& 0\\ c& 0& r-c\end{array}\right|=0$

C₃ के अनुदिश प्रसार करने पर, हमें प्राप्त होता है

$(a-p)\left|\begin{array}{cc}b& q-b\\ c& 0\end{array}\right|+(r-c)\left|\begin{array}{cc}p& a-p\\ b& q-b\end{array}\right|=0$

⇒ (a - p)(-c)(q - b) + (r - c){p(q - b) - b(a - p)} = 0

⇒ (p - a)(q - b)c + p(r − c)(q - b) + b(r − c)(p - a) = 0

(p - a)(q - b)(r - c) से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ $\frac{c}{r-c}+\frac{p}{p-a}+\frac{b}{q-b}=0$

⇒ $\frac{p}{p-a}=-\frac{c}{r-c}-\frac{b}{q-b}$

⇒ $\frac{p}{p-a}+\frac{q}{q-b}+\frac{r}{r-c}=\frac{q-b}{q-b}+\frac{r-c}{r-c}=2$

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना

माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

$\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ d_3\end{array}\right]$

⇒ AX = B

⇒ X = A^-1 B = $\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}\right)}{det(\mathrm{A})}B$

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत (कोई हल नहीं) है। 

गणना:

दिया गया समीकरण: kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k²

$\Rightarrow \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{k}& 1& 1\\ 1& \mathrm{k}& 1\\ 1& 1& \mathrm{k}\end{array}\right],\mathrm{B}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}\\ \mathrm{z}\end{array}\right]\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{C}=\left[\begin{array}{c}1\\ \mathrm{k}\\ {\mathrm{k}}^2\end{array}\right]$

⇒ दिए गए समीकरण का कोई हल नहीं होने के लिए, |A|=0

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{k}& 1& 1\\ 1& \mathrm{k}& 1\\ 1& 1& \mathrm{k}\end{array}\right|=0$

⇒ k (k² – 1) -1(K – 1) +1(1 – k) = 0

⇒ k³ – k – k +1 +1 – k = 0

⇒ k³ -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

यदि हम दिए गए उपरोक्त समीकरण में k = 1 रखते हैं, तो सभी समीकरण समान हो जायेगा। 

अतः k = -2 होने पर दिए गए समीकरण में कोई हल नहीं हैं। 

Concept:

Consider three linear eqaution in two variable:

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

a3x + b3y + c3 = 0

Condition for the consistency of three simultaneous linear equations in 2 variables:

​​​​$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|=0$

द्विघात समीकरण के लिए सूत्र:

ax2 + bx + c = 0

x = $\frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}$

गणना:

2k2x + 3y - 1 = 0      ....(1)

7x - 2y + 3 = 0      ....(2)

6kx + y + 1 = 0      ....(3)

For consistency of given simultaneous equation,

$\left|\begin{array}{ccc}2k^2& 3& -1\\ 7& -2& 3\\ 6k& 1& 1\end{array}\right|=0$

⇒ 2k2(-2- 3) - 3(7 - 18k) - 1(7 + 12k) = 0

⇒ -10k2 - 21 + 54k - 7 - 12k = 0

⇒ -10k2 + 42k - 28 =  0

⇒ 5k2 - 21k + 14 =  0

By using the formula,

$x=\frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}$

$\Rightarrow k=\frac{-(-21)\pm \sqrt{(-21{)}^2-4(5)(14)}}{2\times 5}$

$\therefore k=\frac{21\pm \sqrt{161}}{10}$

अवधारणा:

A = [aij]m × n = आव्यूह का गुणांक, X = चरों का स्तंभ आव्यूह

B = स्थिरांकों का स्तंभ आव्यूह

प्रणाली AX = B में निम्न है

1) एक अद्वितीय हल, यदि A की रैंक = रैंक [A|B] और चरों की संख्या के बराबर है।

2) असीम रूप से अनेक हल, यदि A की रैंक = [A|B] की रैंक < चरों की संख्या

3) कोई हल नहीं, यदि A की रैंक ≠ [A|B] की रैंक यानी A की रैंक < [A|B] की रैंक।

गणना:

माना

$letA=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 2& \lambda \end{array}\right]$

हम देख सकते हैं कि, λ = 3 पर, R2 = R3 और इसलिए, |A| = 0 है। 

λ = 3 के लिए या तो अनंत हल मौजूद हैं या कोई हल मौजूद नहीं है।

दिए गए रैखिक समीकरण का गुणांक आव्यूह है

$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 2& \lambda \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}6\\ 10\end{array}\\ \mu \end{array}\right]$

R3 → R3 - R2

⇒ $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 0& 0& \lambda -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}6\\ 10\end{array}\\ \mu -3\end{array}\right]$

माना संवर्धित आव्यूह हो

$X=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 0& 0& \lambda -3\end{array}|\begin{array}{c}6\\ 10\\ \mu -10\end{array}\right]$

बिना किसी हल के,  μ = 10 

इसलिए, λ = 3, μ = 10 सही उत्तर है।Shortcut Trickx + y + z = 6

x + 2y + 3z = 10

x + 2y + λz = μ 

इसलिए, यदि हम λ = 3, μ = 10 रखते हैं, तो दो-समीकरण संपाती होंगे, जिसके परिणामस्वरूप अनंत संख्या में हल प्राप्त होंगे।

संकल्पना

माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

$\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{a}}_1& {\mathrm{b}}_1& {\mathrm{c}}_1\\ {\mathrm{a}}_2& {\mathrm{b}}_2& {\mathrm{c}}_2\\ {\mathrm{a}}_3& {\mathrm{b}}_3& {\mathrm{c}}_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}\\ \mathrm{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{d}}_1\\ {\mathrm{d}}_2\\ {\mathrm{d}}_3\end{array}\right]$

⇒ AX = B

⇒ X = A^-1 B = $\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}\right)}{det(\mathrm{A})}\mathrm{B}$

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत प्रणाली है। 

गणना:

रैखिक समीकरण की दी गयी प्रणाली kx + y + z = 1, x + ky + z = 1 और x + y + kz = 1 हैं। 

माना कि A = $\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{k}& 1& 1\\ 1& \mathrm{k}& 1\\ 1& 1& \mathrm{k}\end{array}\right]$है। 

det (A) = |A| = k (k² – 1) – 1(k -1) + 1 (1 – k)

⇒ |A| = k³ – k – k + 1 + 1 – k = k³ – 3k + 2

विशिष्ट हल के लिए,

det (A) ≠ 0

⇒ k³ – 3k + 2 ≠ 0

⇒ (k – 1) (k² + k - 2) ≠ 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) ≠ 0

∴ k ≠ 1 और k ≠ -2

संकल्पना

माना की समीकरण की प्रणाली निम्न है,

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

$\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{a}}_1& {\mathrm{b}}_1& {\mathrm{c}}_1\\ {\mathrm{a}}_2& {\mathrm{b}}_2& {\mathrm{c}}_2\\ {\mathrm{a}}_3& {\mathrm{b}}_3& {\mathrm{c}}_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}\\ \mathrm{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{d}}_1\\ {\mathrm{d}}_2\\ {\mathrm{d}}_3\end{array}\right]$

⇒ AX = B

⇒ X = A^-1 B = $\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}\right)}{det(\mathrm{A})}\mathrm{B}$

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल के साथ समान है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ समान है।

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत है (कोई हल नहीं)। 

गणना:

दिया गया है कि समीकरण की प्रणाली x + y + z = 8, x – y + 2z = 6 और 3x – y + 5z = k है।

$\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 2\\ 3& -1& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}\\ \mathrm{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ 6\\ \mathrm{k}\end{array}\right]$

⇒ AX = B

A की सारणिक = |A| = 1 (-5 + 2) – 1 (5 – 6) + 1 (-1 + 3) = -3 + 1 + 2 = 0

इसलिए हम कह सकते हैं कि समीकरण में या तो अनंत रूप से हल है या कोई हल नहीं है। 

विशिष्ट हल संभव नहीं है। 

 ∴ कथन 3 गलत है। 

हमारे पास adj A = $\left[\begin{array}{ccc}-3& -6& 3\\ 1& 2& -1\\ 2& 4& -2\end{array}\right]$है

यदि K = 15 तो

B = $\left[\begin{array}{c}8\\ 6\\ 15\end{array}\right]$

अब (adj A). B निम्न होगा 

$\left[\begin{array}{ccc}-3& -6& 3\\ 1& 2& -1\\ 2& 4& -2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}8\\ 6\\ 15\end{array}\right]\ne 0$

⇒ कोई हल नहीं

यदि K = 20 तो

B = $\left[\begin{array}{c}8\\ 6\\ 20\end{array}\right]$

अब (adj A). B निम्न होगा 

$\left[\begin{array}{ccc}-3& -6& 3\\ 1& 2& -1\\ 2& 4& -2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}8\\ 6\\ 20\end{array}\right]=0$

⇒ अनंत रूप से कई हल

अतः विकल्प 1 सहीं हैं। 

रैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली:

x + y + z = 5;

x + 2y + 2z = 6;

और x + 3y + z = μ के अनंत हल हैं

∴ Δ = 0, Δx = Δy = Δz = 0

अब दिए गए समीकरणों से सारणिक बनाते हुए,

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 3& \lambda \end{array}\right|=0$

⇒ 1(2λ – 6)-1(λ – 2)+1(3 – 2) = 0

⇒ 2λ – 6 – λ + 2 + 3 – 2 = 0

⇒ λ – 8 + 5 = 0

⇒ λ – 3 = 0

∴ λ = 3

अब, y का सारणिक है:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{y}=\left|\begin{array}{ccc}1& 5& 1\\ 1& 6& 2\\ 1& \mu & 3\end{array}\right|=0$

R₂ → R₂ – R₁

R₃ → R₃ – R₁

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}1& 5& 1\\ 1-1& 6-5& 2-1\\ 1-1& \mu -5& 3-1\end{array}\right|=0$

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}1& 5& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& \mu -5& 2\end{array}\right|=0$

⇒ 1(2 – (μ – 5)) – 5(0 – 0) + 1(0 – 0) = 0

⇒ 1(2 – (μ – 5)) = 0

⇒ 2 – μ + 5 = 0

⇒ 7 – μ = 0

∴ μ = 7

अब,

Ax = B

$\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ 4& -6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right]$

X = (adj(A).B)/(|A|)

|A| $=\left|\begin{array}{cc}-6& 3\\ -4& 2\end{array}\right|$ = -12 - (-12) = - 12 + 12 = 0

|A| = 0

Adj (A) = $\left[\begin{array}{cc}-6& 3\\ -4& 2\end{array}\right]$

$X=\left[\begin{array}{cc}-6& 3\\ -4& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-60+21\\ -40+14\end{array}\right]$

0 = $\left[\begin{array}{c}-39\\ -26\end{array}\right]$

धारणा:

हम रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें:

a₁₁ × x + a₁₂ × y = b₁

a₂₁ × x + a₂₂ × y = b₂

हम इन समीकरणों को आव्यूह रूप में लिख सकते हैं: A X = B, जहाँ $A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]andB=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]$

स्थिती -1: यदि A गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो |A| ≠ 0

फिर X = A^-1 B जहाँ A^-1 मौजूद होगा यदि और केवल यदि |A| ≠ 0 और यह इसके द्वारा दिया गया है: $A^{-1}=\frac{adj\left(A\right)}{\left|A\right|}$

स्थिती – 2: यदि A अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो |A| = 0

इस मामले में, हमें इसकी गणना करनी होगी (adj (A)) × B

यदि (adj (A)) × B ≠ O, जहां O रिक्त आव्यूह है तो समीकरणों की प्रणाली असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।

यदि (adj (A)) × B = O, जहां O रिक्त आव्यूह है तो समीकरणों की प्रणाली असंगत है और इसके अनंत रूप से कई हल हैं।

गणना:

दिया हुआ: x + 3y = 5 और 2x + ky = 8

हम इन समीकरणों को आव्यूह रूप में लिख सकते हैं: A X = B, जहाँ $A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& k\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]andB=\left[\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right]$

यह कहने के लिए कि रेखीय समीकरणों की दी गई प्रणाली सुसंगत है और इसका अद्वितीय हल है, |A| ≠ 0.

⇒ |A| = k – 6 ≠ 0 ⇒ k ≠ 6

अवधारणा:

यदि दो रैखिक समीकरण

a1​x + b1y ​= c1​ और a2​x + b2y ​= c2 है, तब

(a) यदि a1​​/a2 = b1​​/b2 ​​= c1​​/c2 है, तब निकाय संगत है और इसके अपरिमित रूप से कई हल हैं।

(b) यदि a1​​/a2 = b1​​/b2 ≠ c1​​/c2 है, तब निकाय का कोई हल नहीं है और असंगत है।

गणना:

समीकरण 2x - ky + 7 = 0 और 6x - 12y + 15 = 0

2/6 = - k/-12 ≠ 7/15

2/6 = - k/-12 उपयोग करने पर,

⇒ k = 24/6 =  4

∴ k = 4 पर, समीकरण 2x - ky + 7 = 0 और 6x - 12y + 15 = 0 का कोई हल नहीं है।

व्याख्या:

b को A के स्तंभ पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए।

A_3x3 लेने पर, तब [A : b]_3x4, अर्थात, संवर्धित आव्यूह में 4 सदिश हैं।

लेकिन रैंक के गुण से, हमारे पास $\rho (A:b)\le 3$ है।

जो निश्चित रूप से 4 से कम है।

तो [A : b] में L.D. सदिशों के समुच्चय से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आव्यूह b को आव्यूह A के स्तंभ पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए।

सही विकल्प (3) है।