Application of Determinants MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Application of Determinants - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा

जिसके तीन शीर्ष दिए गए हैं, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

$A=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$

स्पष्टीकरण:

$A=\frac{1}{2}[|1(5-3)+2(3-2)+4(2-5)|]$

$A=\frac{1}{2}|1\times 2+2\times 1+4\times (-3)|$

$A=\frac{1}{2}|2+2-12|$

$A=\frac{1}{2}|-8|$

$A=\frac{1}{2}\times 8=4$

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

अवधारणा

जिसके तीन शीर्ष दिए गए हैं, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

$A=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$

स्पष्टीकरण:

$A=\frac{1}{2}[|1(5-3)+2(3-2)+4(2-5)|]$

$A=\frac{1}{2}|1\times 2+2\times 1+4\times (-3)|$

$A=\frac{1}{2}|2+2-12|$

$A=\frac{1}{2}|-8|$

$A=\frac{1}{2}\times 8=4$

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

गणना:

दिया गया है:

रैखिक समीकरणों का निकाय है:

$2x+y-z=0$

$4x-py+4z=4$

$x-y+z=q$

$p,q\in I$ और $p,q\in [1,10]$

गुणांक आव्यूह A है:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& -\frac{p}{4}& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right]$

संवर्धित आव्यूह [A|B] है:

$[A|B]=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 0\\ 1& -\frac{p}{4}& 1& 1\\ 1& -1& 1& q\end{array}\right]$

A के सारणिक, |A| की गणना करें:

$|A|=2(-\frac{p}{4}+1)-1(1-1)-1(-1+\frac{p}{4})$

$|A|=-\frac{p}{2}+2+0+1-\frac{p}{4}$

$|A|=3-\frac{3p}{4}$

⇒ अद्वितीय हल के लिए, $|A|\ne 0$:

$3-\frac{3p}{4}\ne 0$

$3\ne \frac{3p}{4}$

$p\ne 4$

कोई हल नहीं या अनंत हल के लिए, $|A|=0$, इसलिए $p=4$ है। 

⇒ यदि $p=4$ है, तो निकाय बन जाता है:

$2x+y-z=0$

$x-y+z=1$

$x-y+z=q$

⇒ दूसरे और तीसरे समीकरणों से, एक हल के अस्तित्व के लिए, $1=q$ है। 

⇒ यदि $p=4$ और $q=1$ है, अनंत हल का अस्तित्व हैं।

⇒ यदि $p=4$ और $q\ne 1$ है, किसी हल का अस्तित्व नहीं है।

(I) अद्वितीय हल: $p\ne 4$. $p$, 9 मान ले सकता है (1 से 10 तक 4 को छोड़कर)। $q$,10 मान ले सकता है। कुल युग्म: 9 × 10 = 90

(II) कोई हल नहीं: $p=4$ और $q\ne 1$. $q$ के लिए 9 मान है। $p$ के लिए 1 युग्म। कुल युग्म: 1 × 9 = 9

(III) अनंत हल: $p=4$ और $q=1$. केवल 1 युग्म।

(IV) कम से कम एक हल: कुल युग्म - कोई हल नहीं वाले युग्म= 100 - 9 = 91

∴ (I) - (S), (II) - (Q), (III) - (P), (IV) - (R)

दिया गया है:

बिंदु (5, 2, 4), (6, -1, 2) और (8, -7, k) हैं 

प्रयुक्त अवधारणा:

इन बिन्दुओं के प्रयोग द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

$\frac{1}{2}$ ×= 0

गणना:

⇒ 5(- k + 14) - 2(6k - 16) + 4(- 42 + 8) = 0

⇒ - 5k + 70 - 12k + 32 + 4(- 34) = 0

⇒ -17k + 102 - 136 = 0

⇒ -17k - 34 = 0

⇒ -17k = 34

⇒ k = -2

अतः, सही उत्तर "-2" है।

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 4& 10\end{array}\right|=1(20-16)-1(10-4)+1(4-2)$

= 4 - 6 + 2 = 0

अनंत हलों के लिए

Δ_x = Δ_y = Δ_z = 0

m² - 3m + 2 = 0

m = 1, 2

α = 1, β = 2

${\displaystyle \therefore \sum _{\mathrm{n}=1}^{10}({\mathrm{n}}^{\alpha }+{\mathrm{n}}^{\beta })=\sum _{\mathrm{n}=1}^{10}{\mathrm{n}}^1+\sum _{\mathrm{n}=1}^{10}{\mathrm{n}}^2}$

$=\frac{10(11)}{2}+\frac{10(11)(21)}{6}$

= 55 + 385

= 440

संकल्पना

माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

$\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ d_3\end{array}\right]$

⇒ AX = B

⇒ X = A^-1 B = $\frac{\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}\left(\mathrm{A}\right)}{det(\mathrm{A})}B$

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत (कोई हल नहीं) है। 

गणना:

दिया गया समीकरण: kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k²

$\Rightarrow \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{k}& 1& 1\\ 1& \mathrm{k}& 1\\ 1& 1& \mathrm{k}\end{array}\right],\mathrm{B}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{x}\\ \mathrm{y}\\ \mathrm{z}\end{array}\right]\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{C}=\left[\begin{array}{c}1\\ \mathrm{k}\\ {\mathrm{k}}^2\end{array}\right]$

⇒ दिए गए समीकरण का कोई हल नहीं होने के लिए, |A|=0

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{k}& 1& 1\\ 1& \mathrm{k}& 1\\ 1& 1& \mathrm{k}\end{array}\right|=0$

⇒ k (k² – 1) -1(K – 1) +1(1 – k) = 0

⇒ k³ – k – k +1 +1 – k = 0

⇒ k³ -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

यदि हम दिए गए उपरोक्त समीकरण में k = 1 रखते हैं, तो सभी समीकरण समान हो जायेगा। 

अतः k = -2 होने पर दिए गए समीकरण में कोई हल नहीं हैं। 

संकल्पना:

शीर्ष (x1, y1) , (x2, y2), (x3, y3) वाले एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

क्षेत्रफल = ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& 1\\ x_2& {\mathrm{y}}_2& 1\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& 1\end{array}\right|$

गणना:

दिया गया है, शीर्ष (-3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है। 

​⇒ क्षेत्रफल = ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\begin{array}{ccc}-3& 0& 1\\ 3& 0& 1\\ 0& k& 1\end{array}\right|$

⇒ क्षेत्रफल = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$[-3(0 - k) - 0 + 1(3k)]

⇒ क्षेत्रफल = 3k

प्रश्न के अनुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है। 

⇒ 3k = 9

⇒ k = 3

अतः k का मान 3 है। 

अवधारणा :

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ×a2

गणना:

दिया है : इसके शीर्षों के निर्देशांक (x1, y1); (x2, y2): (x3, y3) हैं फिर सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|$ का वर्ग

(△ ABC ) = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ $\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|$ = ( $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ) ×a²

दोनों ओर वर्ग करने पर,

⇒ ${\displaystyle \frac{1}{4}}$$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|$= ${\displaystyle \frac{3a^4}{16}}$

⇒ $\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|$= ${\displaystyle \frac{3a^4}{4}}$

संकल्पना:

सारणिक के गुण:

n×n वाले आव्यूह A के लिए, det(kA) = kn det(A).

गणना:

दिया गया है कि:

|A| = 5

k = 5

सारणिकों के गुणों से हम जानते हैं कि |KA| = Kn |A| है, जहाँ n सारणिक की कोटि है। 

यहाँ n = 2 है, इसलिए उत्तर K2 |A| है। 

|5A| = 52|A|

|5A| = 52 × 5 = 125

अवधारणा:

यदि $({\mathrm{x}}_1,{\mathrm{y}}_1),({\mathrm{x}}_2,{\mathrm{y}}_2)$ और $({\mathrm{x}}_3,{\mathrm{y}}_3)$ एक त्रिभुज के शीर्ष हैं तो 

क्षेत्रफल = ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& 1\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& 1\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& 1\end{array}\right|$

सारणिकों के गुण

$\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& kx\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& ky\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& kz\end{array}\right|=\mathrm{k}\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& x\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& y\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& z\end{array}\right|$

गणना:

यदि $({\mathrm{x}}_1,{\mathrm{y}}_1),({\mathrm{x}}_2,{\mathrm{y}}_2)$ और $({\mathrm{x}}_3,{\mathrm{y}}_3)$ एक त्रिभुज के शीर्ष हैं तो

क्षेत्रफल = ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& 1\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& 1\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& 1\end{array}\right|$

दिया हुआ: क्षेत्रफल 'k' वर्ग इकाइयाँ है

⇒ k = ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& 1\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& 1\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& 1\end{array}\right|$

⇒ $\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& 1\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& 1\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& 1\end{array}\right|=2\mathrm{k}$

अब, ${\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& 4\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& 4\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& 4\end{array}\right|}^2$

= $\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& 4\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& 4\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& 4\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& 4\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& 4\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& 4\end{array}\right|$

= $4\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& 1\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& 1\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& 1\end{array}\right|.4\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& 1\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& 1\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& 1\end{array}\right|$

= 16.(2k)(2k)

= 64k²

संकल्पना:

यदि $({\mathrm{x}}_1,{\mathrm{y}}_1),({\mathrm{x}}_2,{\mathrm{y}}_2)$ और $({\mathrm{x}}_3,{\mathrm{y}}_3)$एक त्रिभुज के शीर्ष हैं तो,

क्षेत्रफल = ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& 1\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& 1\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& 1\end{array}\right|$

सूचना: क्षेत्रफल सदैव एक धनात्मक राशि है, इसलिए हम सदैव क्षेत्रफल के लिए सारणिक का विशिष्ट मान लेते हैं। 

गणना:

दिया गया शीर्ष A (1, 1) ,B ( 6, 0) और C ( 3, 2) हैं। 

हम जानते हैं कि त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

Δ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}\left|\begin{array}{ccc}{\mathrm{x}}_1& {\mathrm{y}}_1& 1\\ {\mathrm{x}}_2& {\mathrm{y}}_2& 1\\ {\mathrm{x}}_3& {\mathrm{y}}_3& 1\end{array}\right|$

⇒ Δ = $\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 6& 0& 1\\ 3& 2& 1\end{array}\right|$ 

⇒ Δ = $\frac{1}{2}[1(0-2)-1(6-3)+1(12-0)]$ 

⇒ Δ =  $\frac{7}{2}$  

सही विकल्प 1 है। 

संकल्पना:

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न समीकरण द्वारा ज्ञात किया गया है, जिसके शीर्ष (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃) हैं

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& 1\\ y_1& y_2& 1\\ z_1& z_2& 1\end{array}\right|$  

गणना:

दिया गया है, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई और शीर्ष (K, 0), (4, 0), (0, 2)  है। 

इसलिए क्षेत्रफल सदैव धनात्मक होता है लेकिन सारणिक धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकता है। 

∴ Δ = ± 4 . 

⇒ ± 4 = $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}k& 0& 1\\ 4& 0& 1\\ 0& 2& 1\end{array}\right|$  

⇒ ± 4  $=\frac{1}{2}[\mathrm{k}(0-2)-0(4-0)+1(8-0)]$ 

⇒ ± 8 = -2k + 8 

इसलिए, 8 = -2k + 8 या  -8 = -2k +8 

⇒ k = 0 या 8  .

सही विकल्प 2 है। 

अवधारणा :

यदि बिंदु A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) संरेखीय हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0

माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, फिर Δ ABC का क्षेत्रफल (A): $A=\frac{1}{2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|$

गणना:

यहाँ, हमें k के मूल्य का पता लगाना है जिसके लिए बिंदु (5, -2), (8, -3) और (a, -12) संरेखीय हैं

माना कि

x1 = 5, y1 = -2,

x2 = 8, y2 = -3,

x3 = a, y3 = -12.

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल =    $A=\frac{1}{2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|$

$\Rightarrow A=\frac{1}{2}\cdot \left|\begin{array}{ccc}5& -2& 1\\ 8& -3& 1\\ a& -12& 1\end{array}\right|$

2A = 5 (-3 + 12) + 2(8 - a) + 1(-96 + 3a)

2A = 45 + 16 - 2a - 96 + 3a

2A = a - 35  

⇒ A = (a - 35)/2

∵ दिए गए बिंदु संरेखीय हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0।

⇒ (a - 35)/2 = 0

⇒ a = 35

इसलिए विकल्प D सही उत्तर है।

Alternate Method

अवधारणा:

तीन या अधिक बिंदु संरेखीय है यदि अंकों के किसी भी दो जोड़े का ढलान समान है।

गणना:

माना, A = (5, -2), B = (8, -3), C = (a, -12)

अब, AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान (∵ बिन्दुं संरेखीय हैं)

$$\begin{gathered} \frac{-3-(-2)}{8-5}=\frac{-12-(-3)}{\mathrm{a}-8} \\ \Rightarrow \frac{-1}{3}=\frac{-9}{\mathrm{a}-8} \end{gathered}$$

⇒ a - 8= 27

⇒ a = 27 + 8 = 35

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

Δ = $\left|\begin{array}{lll}{\text{a}}_{11}& {\text{a}}_{12}& {\text{a}}_{13}\\ {\text{a}}_{21}& {\text{a}}_{22}& {\text{a}}_{23}\\ {\text{a}}_{31}& {\text{a}}_{32}& {\text{a}}_{33}\end{array}\right|$

 a13 = yz, a23 = zx, a33 = xy और M₁₃ = (z − y), M₂₃ = (z − x), M₃₃ = (y − x)

स्तंभ 3 के साथ सारणिक का विस्तार करने पर,

⇒ Δ = a13 (a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁) - a23 (a₁₁a₃₂ - a₁₂a₃₁) + a33 (a11a2 - a12a1)

⇒ Δ = a₁₃M₁₃ - a₂₃M₂₃ + a₃₃M₃₃

जहाँ M_ij, a_ij अवयव के उपसारणिक को दर्शाता है।

⇒ Δ = yz(z - y) - zx(z - x) + xy(y - x)

⇒ Δ = yz(z - y) - z²x + zx² + xy² - x²y

⇒ Δ = yz(z - y) + (xy2 - z2x) + (zx2 - x2y)

⇒ Δ = yz(z - y) + x(y2 - z2) + x²(z - y)

⇒ Δ = (z - y)[yz - x(y + z) + x2]

⇒ Δ = (z - y)[yz - xy - xz + x2]

⇒ Δ = (z - y)[y(z - x) - x(z - x)]

⇒ Δ = (z - y)[(z - x)(y - x)]

Concept:

Consider three linear eqaution in two variable:

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

a3x + b3y + c3 = 0

Condition for the consistency of three simultaneous linear equations in 2 variables:

​​​​$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|=0$

द्विघात समीकरण के लिए सूत्र:

ax2 + bx + c = 0

x = $\frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}$

गणना:

2k2x + 3y - 1 = 0      ....(1)

7x - 2y + 3 = 0      ....(2)

6kx + y + 1 = 0      ....(3)

For consistency of given simultaneous equation,

$\left|\begin{array}{ccc}2k^2& 3& -1\\ 7& -2& 3\\ 6k& 1& 1\end{array}\right|=0$

⇒ 2k2(-2- 3) - 3(7 - 18k) - 1(7 + 12k) = 0

⇒ -10k2 - 21 + 54k - 7 - 12k = 0

⇒ -10k2 + 42k - 28 =  0

⇒ 5k2 - 21k + 14 =  0

By using the formula,

$x=\frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}$

$\Rightarrow k=\frac{-(-21)\pm \sqrt{(-21{)}^2-4(5)(14)}}{2\times 5}$

$\therefore k=\frac{21\pm \sqrt{161}}{10}$