Application of Determinants MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Application of Determinants - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा

जिसके तीन शीर्ष दिए गए हैं, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

\(​A = \frac{1}{2} | x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2 ) | \)

स्पष्टीकरण:

\(A = \frac{1}{2} [|1(5-3) + 2(3-2) + 4(2-5)|] \)

\(A = \frac{1}{2} |1× 2 + 2 × 1 + 4 × (-3) | \)

\(A = \frac{1}{2} | 2 + 2 - 12| \)

\(A = \frac{1}{2} |-8| \)

\(A = \frac{1}{2} × 8 = 4 \)

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

अवधारणा

जिसके तीन शीर्ष दिए गए हैं, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

\(​A = \frac{1}{2} | x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2 ) | \)

स्पष्टीकरण:

\(A = \frac{1}{2} [|1(5-3) + 2(3-2) + 4(2-5)|] \)

\(A = \frac{1}{2} |1× 2 + 2 × 1 + 4 × (-3) | \)

\(A = \frac{1}{2} | 2 + 2 - 12| \)

\(A = \frac{1}{2} |-8| \)

\(A = \frac{1}{2} × 8 = 4 \)

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

गणना:

दिया गया है:

रैखिक समीकरणों का निकाय है:

\(2x + y - z = 0\)

\(4x - py + 4z = 4\)

\(x - y + z = q\)

\(p, q \in I\) और \(p, q \in [1, 10]\)

गुणांक आव्यूह A है:

\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -\frac{p}{4} & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)

संवर्धित आव्यूह [A|B] है:

\([A|B] = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -\frac{p}{4} & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & q \end{bmatrix}\)

A के सारणिक, |A| की गणना करें:

\(|A| = 2(-\frac{p}{4} + 1) - 1(1 - 1) - 1(-1 + \frac{p}{4})\)

\(|A| = -\frac{p}{2} + 2 + 0 + 1 - \frac{p}{4}\)

\(|A| = 3 - \frac{3p}{4}\)

⇒ अद्वितीय हल के लिए, \(|A| \ne 0\):

\(3 - \frac{3p}{4} \ne 0\)

\(3 \ne \frac{3p}{4}\)

\(p \ne 4\)

कोई हल नहीं या अनंत हल के लिए, \(|A| = 0\), इसलिए \(p = 4\) है। 

⇒ यदि \(p=4\) है, तो निकाय बन जाता है:

\(2x + y - z = 0\)

\(x - y + z = 1\)

\(x - y + z = q\)

⇒ दूसरे और तीसरे समीकरणों से, एक हल के अस्तित्व के लिए, \(1 = q\) है। 

⇒ यदि \(p = 4\) और \(q = 1\) है, अनंत हल का अस्तित्व हैं।

⇒ यदि \(p = 4\) और \(q \ne 1\) है, किसी हल का अस्तित्व नहीं है।

(I) अद्वितीय हल: \(p \ne 4\). \(p\), 9 मान ले सकता है (1 से 10 तक 4 को छोड़कर)। \(q\),10 मान ले सकता है। कुल युग्म: 9 × 10 = 90

(II) कोई हल नहीं: \(p = 4\) और \(q \ne 1\). \(q\) के लिए 9 मान है। \(p\) के लिए 1 युग्म। कुल युग्म: 1 × 9 = 9

(III) अनंत हल: \(p = 4\) और \(q = 1\). केवल 1 युग्म।

(IV) कम से कम एक हल: कुल युग्म - कोई हल नहीं वाले युग्म= 100 - 9 = 91

∴ (I) - (S), (II) - (Q), (III) - (P), (IV) - (R)

दिया गया है:

बिंदु (5, 2, 4), (6, -1, 2) और (8, -7, k) हैं 

प्रयुक्त अवधारणा:

इन बिन्दुओं के प्रयोग द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

\(1\over2\) ×= 0

गणना:

⇒ 5(- k + 14) - 2(6k - 16) + 4(- 42 + 8) = 0

⇒ - 5k + 70 - 12k + 32 + 4(- 34) = 0

⇒ -17k + 102 - 136 = 0

⇒ -17k - 34 = 0

⇒ -17k = 34

⇒ k = -2

अतः, सही उत्तर "-2" है।

\(\Delta =\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 10 \end{array}\right|=1(20-16)-1(10-4)+1(4-2) \)

= 4 - 6 + 2 = 0

अनंत हलों के लिए

Δ_x = Δ_y = Δ_z = 0

m² - 3m + 2 = 0

m = 1, 2

α = 1, β = 2

\(\rm \displaystyle \therefore \sum_{n=1}^{10}\left(n^{\alpha}+n^{\beta}\right)=\sum_{n=1}^{10} n^{1}+\sum_{n=1}^{10} n^{2} \)

\(=\frac{10(11)}{2}+\frac{10(11)(21)}{6} \)

= 55 + 385

= 440

संकल्पना

माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

\(\; \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right] = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}}\\ {{d_2}}\\ {{d_3}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

⇒ X = A^-1 B = \(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}\;B\)

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत (कोई हल नहीं) है। 

गणना:

दिया गया समीकरण: kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k²

\( \Rightarrow {\rm{A}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right],{\rm{B}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right]{\rm{and\;C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\rm{k}}\\ {{{\rm{k}}^2}} \end{array}} \right]\)

⇒ दिए गए समीकरण का कोई हल नहीं होने के लिए, |A|=0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ k (k² – 1) -1(K – 1) +1(1 – k) = 0

⇒ k³ – k – k +1 +1 – k = 0

⇒ k³ -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

यदि हम दिए गए उपरोक्त समीकरण में k = 1 रखते हैं, तो सभी समीकरण समान हो जायेगा। 

अतः k = -2 होने पर दिए गए समीकरण में कोई हल नहीं हैं। 

संकल्पना:

शीर्ष (x1, y1) , (x2, y2), (x3, y3) वाले एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 \rm \begin{vmatrix} \rm x_1&\rm y_1 &1 \\ x_2& \rm y_2&1 \\ \rm\rm x_3 &\rm y_3&1 \end{vmatrix}\)

गणना:

दिया गया है, शीर्ष (-3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है। 

​⇒ क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 \rm \begin{vmatrix} \rm -3&\rm 0 &1 \\ 3& 0&1 \\ 0 &k&1 \end{vmatrix}\)

⇒ क्षेत्रफल = \(\dfrac 12\)[-3(0 - k) - 0 + 1(3k)]

⇒ क्षेत्रफल = 3k

प्रश्न के अनुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है। 

⇒ 3k = 9

⇒ k = 3

अतः k का मान 3 है। 

अवधारणा :

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ×a2

गणना:

दिया है : इसके शीर्षों के निर्देशांक (x1, y1); (x2, y2): (x3, y3) हैं फिर सारणिक \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\) का वर्ग

(△ ABC ) = \(\dfrac{1}{2}\) \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\) = ( \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) ) ×a²

दोनों ओर वर्ग करने पर,

⇒ \(\dfrac{1}{4}\)\(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\)= \(\dfrac{3a^4}{16}\)

⇒ \(\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\\ x_2 & y_2& 1 \\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\)= \(\dfrac{3a^4}{4}\)

संकल्पना:

सारणिक के गुण:

n×n वाले आव्यूह A के लिए, det(kA) = kn det(A).

गणना:

दिया गया है कि:

|A| = 5

k = 5

सारणिकों के गुणों से हम जानते हैं कि |KA| = Kn |A| है, जहाँ n सारणिक की कोटि है। 

यहाँ n = 2 है, इसलिए उत्तर K2 |A| है। 

|5A| = 52|A|

|5A| = 52 × 5 = 125

अवधारणा:

यदि \(\rm (x_1, y_1), (x_2, y_2)\) और \(\rm (x_3, y_3)\) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं तो 

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

सारणिकों के गुण

\(\rm \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & kx \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & ky \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & kz \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & x \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & y \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & z \end{vmatrix}\)

गणना:

यदि \(\rm (x_1, y_1), (x_2, y_2)\) और \(\rm (x_3, y_3)\) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं तो

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

दिया हुआ: क्षेत्रफल 'k' वर्ग इकाइयाँ है

⇒ k = \(\rm \dfrac 12 \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

⇒ \(\rm \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix} = 2k\)

अब, \(\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 4 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 4 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 4 \end{vmatrix}^2\)

= \(\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 4 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 4 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 4 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 4 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 4 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 4 \end{vmatrix}\)

= \(4\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}.4\begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

= 16.(2k)(2k)

= 64k²

संकल्पना:

यदि \(\rm (x_1, y_1), (x_2, y_2)\) और \(\rm (x_3, y_3)\)एक त्रिभुज के शीर्ष हैं तो,

क्षेत्रफल = \(\rm \dfrac 12 \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

सूचना: क्षेत्रफल सदैव एक धनात्मक राशि है, इसलिए हम सदैव क्षेत्रफल के लिए सारणिक का विशिष्ट मान लेते हैं। 

गणना:

दिया गया शीर्ष A (1, 1) ,B ( 6, 0) और C ( 3, 2) हैं। 

हम जानते हैं कि त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

Δ = \(\rm \dfrac 12 \begin{vmatrix} \rm x_1 & \rm y_1 & 1 \\\ \rm x_2 & \rm y_2 & 1 \\\ \rm x_3 & \rm y_3 & 1 \end{vmatrix}\)

⇒ Δ = \(\rm\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1& 1 & 1\\ 6& 0 & 1\\ 3& 2 & 1 \end{vmatrix}\) 

⇒ Δ = \(\frac{1}{2}\left [ 1\left ( 0-2 \right )-1 (6-3)+1 (12-0)\right ]\) 

⇒ Δ =  \(\frac{7}{2}\)  

सही विकल्प 1 है। 

संकल्पना:

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न समीकरण द्वारा ज्ञात किया गया है, जिसके शीर्ष (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃) हैं

\(\rm Area = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_{1} &x_{2} & 1\\ y_{1}& y_{2} &1 \\ z_{1}&z_{2} & 1 \end{vmatrix}\)  

गणना:

दिया गया है, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई और शीर्ष (K, 0), (4, 0), (0, 2)  है। 

इसलिए क्षेत्रफल सदैव धनात्मक होता है लेकिन सारणिक धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकता है। 

∴ Δ = ± 4 . 

⇒ ± 4 = \(\rm = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} k &0 & 1\\ 4& 0 &1 \\ 0&2 & 1 \end{vmatrix}\)  

⇒ ± 4  \(\rm = \frac{1}{2} \left [ k(0-2) - 0 (4-0)+1(8-0)\right ]\) 

⇒ ± 8 = -2k + 8 

इसलिए, 8 = -2k + 8 या  -8 = -2k +8 

⇒ k = 0 या 8  .

सही विकल्प 2 है। 

अवधारणा :

यदि बिंदु A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) संरेखीय हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0

माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, फिर Δ ABC का क्षेत्रफल (A): \(A=\frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

गणना:

यहाँ, हमें k के मूल्य का पता लगाना है जिसके लिए बिंदु (5, -2), (8, -3) और (a, -12) संरेखीय हैं

माना कि

x1 = 5, y1 = -2,

x2 = 8, y2 = -3,

x3 = a, y3 = -12.

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल =    \(A= \frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ {{x_3}}&{{y_3}}&1 \end{array}} \right|\)

\(⇒ A = \frac{1}{2} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{5}}&{{-2}}&1\\ {{8}}&{{-3}}&1\\ {{a}}&{{-12}}&1 \end{array}} \right|\)

2A = 5 (-3 + 12) + 2(8 - a) + 1(-96 + 3a)

2A = 45 + 16 - 2a - 96 + 3a

2A = a - 35  

⇒ A = (a - 35)/2

∵ दिए गए बिंदु संरेखीय हैं।

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0।

⇒ (a - 35)/2 = 0

⇒ a = 35

इसलिए विकल्प D सही उत्तर है।

Alternate Method

अवधारणा:

तीन या अधिक बिंदु संरेखीय है यदि अंकों के किसी भी दो जोड़े का ढलान समान है।

गणना:

माना, A = (5, -2), B = (8, -3), C = (a, -12)

अब, AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान (∵ बिन्दुं संरेखीय हैं)

\(\rm \frac{-3-(-2)}{8-5}=\frac{-12-(-3)}{a-8}\\ ⇒ \frac{-1}{3}=\frac{-9}{a-8}\)

⇒ a - 8= 27

⇒ a = 27 + 8 = 35

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

Δ = \(\left|\begin{array}{lll}\text{a}_{11} & \text{a}_{12} & \text{a}_{13} \\ \text{a}_{21} & \text{a}_{22} & \text{a}_{23} \\ \text{a}_{31} & \text{a}_{32} & \text{a}_{33}\end{array}\right|\)

 a13 = yz, a23 = zx, a33 = xy और M₁₃ = (z − y), M₂₃ = (z − x), M₃₃ = (y − x)

स्तंभ 3 के साथ सारणिक का विस्तार करने पर,

⇒ Δ = a13 (a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁) - a23 (a₁₁a₃₂ - a₁₂a₃₁) + a33 (a11a2 - a12a1)

⇒ Δ = a₁₃M₁₃ - a₂₃M₂₃ + a₃₃M₃₃

जहाँ M_ij, a_ij अवयव के उपसारणिक को दर्शाता है।

⇒ Δ = yz(z - y) - zx(z - x) + xy(y - x)

⇒ Δ = yz(z - y) - z²x + zx² + xy² - x²y

⇒ Δ = yz(z - y) + (xy2 - z2x) + (zx2 - x2y)

⇒ Δ = yz(z - y) + x(y2 - z2) + x²(z - y)

⇒ Δ = (z - y)[yz - x(y + z) + x2]

⇒ Δ = (z - y)[yz - xy - xz + x2]

⇒ Δ = (z - y)[y(z - x) - x(z - x)]

⇒ Δ = (z - y)[(z - x)(y - x)]

Concept:

Consider three linear eqaution in two variable:

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

a3x + b3y + c3 = 0

Condition for the consistency of three simultaneous linear equations in 2 variables:

​​​​\( \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{array}} \right|=0\)

द्विघात समीकरण के लिए सूत्र:

ax2 + bx + c = 0

x = \(\rm \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\)

गणना:

2k2x + 3y - 1 = 0      ....(1)

7x - 2y + 3 = 0      ....(2)

6kx + y + 1 = 0      ....(3)

For consistency of given simultaneous equation,

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2k^2&3&-1\\ 7&-2&3\\ 6k&1&1 \end{array}} \right|=0\)

⇒ 2k2(-2- 3) - 3(7 - 18k) - 1(7 + 12k) = 0

⇒ -10k2 - 21 + 54k - 7 - 12k = 0

⇒ -10k2 + 42k - 28 =  0

⇒ 5k2 - 21k + 14 =  0

By using the formula,

\(x=\rm \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\)

\(\Rightarrow k=\rm \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^{2} - 4(5)(14)}}{2\times 5}\)

\(\therefore k=\rm \frac{21 \pm \sqrt{161}}{10}\)