బహుపదులు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Polynomials - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్లోడ్ కరెన్
Last updated on May 1, 2025
Latest Polynomials MCQ Objective Questions
బహుపదులు Question 1:
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx, x ≠ 0 అయితే \(\frac{15 x+4 y+5 z}{8 x}=\)
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 1 Detailed Solution
ఇచ్చిన సమీకరణం \( x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx \) ను మనం ఈ విధంగా మార్చవచ్చు:
\[ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 \]
దీని నుండి \( x = y = z \) అని తెలుస్తుంది. \( x = y = z = k \) అనుకుందాం, ఇక్కడ \( k \neq 0 \). ఈ విలువలను ప్రతిక్షేపించగా:
\[ \frac{15x + 4y + 5z}{8x} = \frac{15k + 4k + 5k}{8k} = \frac{24k}{8k} = 3 \]
కాబట్టి, విలువ:
\[ \boxed{3} \]
బహుపదులు Question 2:
12x - 7xy + 12y = 0 మరియు 12x + 5xy - 24y = 0 అనే సమీకరణముల ఉమ్మడి సాధన (x0, y0) అయితే, \(x_0^2+y_0^2=\)
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 2 Detailed Solution
ఇచ్చిన సమీకరణ వ్యవస్థ:
\[ 12x - 7xy + 12y = 0 \quad \text{(1)} \]
\[ 12x + 5xy - 24y = 0 \quad \text{(2)} \]
సమీకరణం (1) నుండి, \( x \): విలువను కనుగొందాం:
\[ x = \frac{-12y}{12 - 7y} \]
\( x = \frac{-12y}{12 - 7y} \) ను సమీకరణం (2) లో ప్రతిక్షేపించండి:
\[ 12\left(\frac{-12y}{12 - 7y}\right) + 5\left(\frac{-12y}{12 - 7y}\right)y - 24y = 0 \]
\( y \): విలువను కనుగొనడానికి సరళీకరించండి:
\[ 108y(y - 4) = 0 \]
కాబట్టి, \( y = 0 \) లేదా \( y = 4 \). \( y = 4 \) అయితే:
\[ x = \frac{-12(4)}{12 - 7(4)} = 3 \]
సాధారణ సాధనం \( (3, 4) \), మరియు:
\[ x_0^2 + y_0^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \]
చివరి సమాధానం:
\[ \boxed{25} \]
బహుపదులు Question 3:
x3 + 3x2 + 7x - 6 ను (x - 2) చే భాగించినపుడు లభించే శేషం
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 3 Detailed Solution
బహుపది \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 7x - 6 \) ను \( (x - 2) \) తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషాన్ని నిర్ణయించడానికి, మనం శేష సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము. \( (x - a) \) తో బహుపది భాగాహారం యొక్క శేషాన్ని కనుగొనడానికి శేష సిద్ధాంతం సులభమైన పద్ధతిని అందిస్తుంది: అది శేషం \( f(a) \) కి సమానం అని తెలియజేస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, \( a = 2 \), కాబట్టి మనం \( x = 2 \) ను బహుపది \( f(x) \) లో ప్రతిక్షేపిస్తాము.
\( x = 2 \) ను \( f(x) \) లో ప్రతిక్షేపించి, మనం లెక్కించాలి:
\[ f(2) = (2)^3 + 3(2)^2 + 7(2) - 6 \]
ప్రతి పదాన్ని విలువను లెక్కించడం:
\[ f(2) = 8 + 3(4) + 14 - 6 = 8 + 12 + 14 - 6 \]
పదాలను కలపడం:
\[ f(2) = 28 \]
కాబట్టి, \( x^3 + 3x^2 + 7x - 6 \) ను \( (x - 2) \) తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం:
\[ \boxed{28} \]
బహుపదులు Question 4:
p(x) = 3x3 - k(k - 2)x2 + 6x + 24 అనే ఘన బహుపది యొక్క శూన్యాల మొత్తం 5 అయినపుడు, k కు వీలయ్యే విలువలు కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 4 Detailed Solution
ఇచ్చిన ఘన బహుపది:
\[ p(x) = 3x^3 - k(k - 2)x^2 + 6x + 24 \]
దీని శూన్యాల మొత్తం \( 5 \). \( p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) రూపంలో ఉన్న ఘన బహుపదికి, శూన్యాల మొత్తం \( (\alpha + \beta + \gamma) \)} ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:
\[ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \]
ఇచ్చిన బహుపదికి, \( a = 3 \)} మరియు \( b = -k(k - 2) \). సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించడం:
\[ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{-k(k - 2)}{3} = \frac{k(k - 2)}{3} \]
శూన్యాల మొత్తం \( 5 \): అని ఇవ్వబడింది.
\[ \frac{k(k - 2)}{3} = 5 \]
రెండు వైపులా \( 3 \):తో గుణించండి.
\[ k(k - 2) = 15 \]
విస్తరించి, తిరిగి అమర్చండి:
\[ k^2 - 2k - 15 = 0 \]
వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించండి:
\[ k = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-15)}}{2(1)} \]
\[ k = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} \]
\[ k = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} \]
\[ k = \frac{2 \pm 8}{2} \]
కాబట్టి, పరిష్కారాలు:
\[ k = \frac{2 + 8}{2} = 5 \quad \text{మరియు} \quad k = \frac{2 - 8}{2} = -3 \]
\( k \)} యొక్క సాధ్యమయ్యే విలువలు:
\[ \boxed{5, -3} \]
బహుపదులు Question 5:
x4 + x3 + 8x2 + ax + b ను x2 - 1 చే భాగించగలిగేలా a మరియు b విలువలు కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 5 Detailed Solution
సూత్రం:
ఈ సమస్య బహుపది భాగహారం మరియు భాజక మూలాల భావనను ఉపయోగిస్తుంది.
ఇచ్చిన బహుపది \( x^2 - 1 \) చే భాగించబడుతుందని నిర్ధారించుకోవడం ద్వారా, f(1) = 0 మరియు f(-1) = 0 అయ్యేలా a మరియు b విలువలను కనుగొనవచ్చు, ఈ పరిస్థితి నుండి ఉత్పన్నమైన సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం ద్వారా.
గణన:
\(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\)
ను \( x^2 - 1 \) చే భాగించవచ్చు.
ఇచ్చిన భాజకం \(x^2 - 1\) ను కారకాలుగా విభజించవచ్చు:
\(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)
బహుపది \(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\) ను \( x^2 - 1 \) చే భాగించగలిగేలా \(a\) మరియు b విలువలను మనం వెతుకుతున్నాము. అంటే ఈ బహుపదిని \( x^2 - 1 \) చే భాగించినప్పుడు శేషం 0 అవుతుంది.
బహుపది f(x) ను \( x^2 - 1 \) చే భాగించగలిగితే, బహుపది f(1) = 0 మరియు f(-1) = 0 అవుతుందని మనం ఉపయోగించవచ్చు.
f(1) మరియు f(-1) లను లెక్కించండి
f(x) = \(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\) అని అనుకుందాం.
f(1) = 0 కు:
\(f(1) = 1^4 + 1^3 + 8(1^2) + a(1) + b = 1 + 1 + 8 + a + b = 10 + a + b\)
కాబట్టి \(10 + a + b = 0\)
⇒ \(a + b = -10 \quad \text{(సమీకరణం 1)}\)
f(-1) = 0 కు:
\(f(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 + 8(-1)^2 + a(-1) + b = 1 - 1 + 8 - a + b = 8 - a + b\)
కాబట్టి \(8 - a + b = 0\)
⇒ \(-a + b = -8 \quad \text{(సమీకరణం 2)}\)
పరిష్కరించడానికి, రెండు సమీకరణాలను కలపండి:
\((a + b) + (-a + b) = -10 + (-8)\)
⇒ \(2b = -18\)
⇒ \(b = -9\)
సమీకరణం 1 లో b = -9 ను ప్రతిక్షేపించండి
\(a + (-9) = -10\)
⇒ \(a = -1\)
కాబట్టి, సరైన ఎంపిక ఎంపిక 4.
Top Polynomials MCQ Objective Questions
2x 5 + 2x 3 y 3 + 4y 4 + 5 బహుపది యొక్క డిగ్రీని కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చినది
2x5 + 2x3 y3 + 4y4 + 5.
భావం
బహుపది యొక్క డిగ్రీ సున్నా కాని గుణకాలతో దాని వ్యక్తిగత పదాల డిగ్రీలలో అత్యధికం.
పరిష్కారం
2x5 లో బహుపది డిగ్రీ = 5
2x3 y3 లో బహుపది డిగ్రీ = 3 + 3 = 6
4y4 లో బహుపది డిగ్రీ = 4
5 లో బహుపది డిగ్రీ = 0
అందువల్ల, అత్యధిక డిగ్రీ 6.
బహుపది డిగ్రీ = 6
x5 కారణంగా ఒకరు 5ను సరైన ఎంపికగా ఎంచుకోవచ్చు కాని 2x3y3 అత్యధిక ఘాతం 6 కలిగి ఉన్నందున సరైన సమాధానం 6 అవుతుంది.
బహుపది యొక్క డిగ్రీ సున్నా కాని గుణకాలతో దాని వ్యక్తిగత పదాల డిగ్రీలలో అత్యధికం. ఇక్కడ ఒక నిర్దిష్ట విలువ కోసం x అనేది y కి సమానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు సమీకరణం ఇలా ఉంటుంది:
2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5
= 2x5 + 2x6 + 4x4 + 5
బహుపది యొక్క డిగ్రీ 6 ఉంటుంది
బహుపది (k - 1)x 2 + kx +1 యొక్క సున్నాలలో ఒకటి -3 అయితే, k విలువ:
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFభావన:
α మరియు β బహుపది p(x) యొక్క సున్నాలు అయితే,
p(α) = 0 & p(β) = 0
లెక్కింపు:
p(x) = (k - 1)x 2 + kx +1 అనుకుందాం
ప్రశ్న ప్రకారం, x = -3 దాని సున్నాలలో ఒకటి,
x = -3 వద్ద p(x) సున్నా అవుతుంది.
అందువలన,
(k - 1)(-3) 2 + k(-3) +1 = 0
⇒ 9k - 9 - 3k + 1 = 0
⇒ 6k = 8
⇒ k = 4/3
కాబట్టి, ఎంపిక 2 సరైనది.
(x2 + y2 - z2)2 - (x2 - y2 + z2)2 = ________
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFఉపయోగించిన సూత్రం:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
లెక్కింపు:
మనం a = x2, b = -y2, c = z2 గా విలువలని ప్రతిక్షేపిద్దాం
⇒ (x2 + y2 - z2)2 = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 – 2y2z2 – 2z2x2 ----(1)
మనం a = x2, b = y2, c = -z2గా విలువలని ప్రతిక్షేపిద్దాం
⇒ (x2 - y2 + z2)2 = x4 + y4 + z4 – 2x2y2 – 2y2z2 + 2z2x2 ----(2)
(1) – (2)
⇒ 4x2y2 – 4z2x2
∴ కావల్సిన జవాబు 4x2y2 – 4x2z2
4x4 + 3x3 + 2x2 + x + 1 అనే బహుపది డిగ్రీని కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చినది
4x 4 + 3x 3 + 2x 2 + x + 1
కాన్సెప్ట్
బహుపది యొక్క డిగ్రీ సున్నా కాని గుణకాలతో దాని వ్యక్తిగత పదాల డిగ్రీలలో అత్యధికం.
పరిష్కారం
4x 4 లో బహుపది డిగ్రీ = 4
3x 3 లో బహుపది డిగ్రీ = 3
2x 2 లో బహుపది డిగ్రీ = 2
x లో బహుపది డిగ్రీ = 1
అందువల్ల, అత్యధిక డిగ్రీ 4.
బహుపది డిగ్రీ = 4
ఒకవేళ 5x + 3y = 15 మరియు 2xy = 6 అయితే, 5x - 3y విలువ:
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFఇచ్చినది:
5x + 3y = 15 మరియు 2xy = 6
ఉపయోగించిన సూత్రం:
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab
గణన:
(5x - 3y)2 = (5x + 3y)2 - 4.5x.3y
⇒ 152 - 30 × 2xy
⇒ 225 - 180 = 45
(5x - 3y) = √45
⇒ \(3\sqrt5\)
∴ సరైన ఎంపిక 2
x3 + y3 = 22 మరియు x + y = 5, అయితే x4 + y4 విలువ ఎంత?
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFx3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy) అని మనకు తెలుసు
x3 + y3 = 22 మరియు x + y = 5 అని ఇచ్చారు
⇒ 22 = 5(x2 + y2 – xy)
⇒ 22 = 5[(x + y)2 − 3xy)]
⇒ 22 = 5[(5)2 − 3xy)]
⇒ xy = 103/15
x3 + y3 = 22ను x + y = 5తో గుణించగా,
⇒ x4 + y4 + xy(x2 + y2) = 110
⇒ x4 + y4 = 110 – xy{(x2 + y2 − 2xy + 2xy)}
⇒ x4 + y4 = 110 – xy{(x + y)2 − 2xy}
xy = 103/15 మరియు x + y = 5
⇒ x4 + y4 = 110 – 103/15{(5)2 − 2 × 103/15}
⇒ x4 + y4 = 110 – 6.87{(25 – 13.73}
⇒ x4 + y4 = 110 – 6.87 {(11.27)}
⇒ x4 + y4 = 110 – 77.42
⇒ x4 + y4 = 32.58
∴ x4 + y4 విలువ 33.5x3 + 5x2 – 6x + 9ను (x + 3)చే భాగించగా వచ్చే శేషం
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFఉపయోగించిన భావన:
శేష సిద్ధాంతం:
బహుపది p(x)ని (x−a)తో భాగిస్తే, శేషం a
స్థిరాంకం p(a) ద్వారా ఇవ్వబడింది.
లెక్కింపు:
p(x) = 5x3 + 5x2 – 6x + 9
(x + 3) p(x)ని భాగించబడనందున, శేషం p(-3) అవుతుంది.
⇒ p(-3) = 5 × (-3)3 + 5 × (-3)2 – 6 × (-3) + 9
⇒ p(-3) = -63
p(x) = 2x5 + 4x4 + 7x3 - x2 + 3x + 12 అనేది (x + 2)తో భాగించబడినప్పుడు శేషాన్ని కనుగొనండి.
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFసూత్రం:
శేష సిద్ధాంతం: p(x) అనేది ఒకటి కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన డిగ్రీ యొక్క ఏదైనా బహుపది అయినా మరియు 'a' ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యగా ఉన్నా. p(x)ని (x - a)తో భాగిస్తే, శేషం p(a)కి సమానం.
లెక్కింపు:
మన దగ్గర ఉన్నది, x + 2 = x - (-2)
కాబట్టి, శేష సిద్ధాంతం ద్వారా, p(x)ని (x + 2) = (x - (-2))తో విభజించినప్పుడు శేషం p(-2)కి సమానం.
ఇప్పుడు, p(x) = 2x5 + 4x4 + 7x3 - x2 + 3x + 12
⇒ p(-2) = 2(-2)5 + 4(-2)4 + 7(-2)3 - (-2)2 + 3(-2) + 12
⇒ p(-2) = -2(32) + 4(16) - 7(8) - (4) - 6 + 12
⇒ p(-2) = -64 + 64 - 56 - 4 + 6
⇒ p(-2) = -54
కావునా, కావాల్సిన శేషం = -54.
కారణాంకం: 25 - x2 - y2 - 2xy
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFఉపయోగించిన సూత్రాలు:
(a + b)2 = (a2 + b2 + 2ab)
(a - b)(a + b) = a2 - b2
సాధన:
= 25 - (x2 + y2 + 2xy)
= 52 - (x + y)2
= ( 5 + x + y ) (5 - (x + y))
∴ కారణాంకాలు ( 5 + x + y ) (5 - x - y)
4x6 – 5x3 – 3 సమీకరణాన్ని x3 – 2 ద్వారా భాగించగలిగితే వచ్చే శేషం:
Answer (Detailed Solution Below)
Polynomials Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFఇక్కడ, f(x) = 4x6 – 5x3 – 3
⇒ f(x) = 4 × (x3)2 – 5x3 – 3
ఇప్పుడు, x3 – 2 = 0
⇒ x3 = 2
x3 = 2 విలువను f(x) లో పెట్టగా,
⇒ 4 × 22 – 5 × 2 – 3
⇒ 16 – 10 – 3
⇒ 3
∴ కావాల్సిన శేషం = 3