బహుపదులు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Polynomials - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చిన సమీకరణం \( x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx \) ను మనం ఈ విధంగా మార్చవచ్చు:

\[ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 \]

దీని నుండి \( x = y = z \) అని తెలుస్తుంది. \( x = y = z = k \) అనుకుందాం, ఇక్కడ \( k \neq 0 \). ఈ విలువలను ప్రతిక్షేపించగా:

\[ \frac{15x + 4y + 5z}{8x} = \frac{15k + 4k + 5k}{8k} = \frac{24k}{8k} = 3 \]

కాబట్టి, విలువ:

\[ \boxed{3} \]

ఇచ్చిన సమీకరణ వ్యవస్థ:

\[ 12x - 7xy + 12y = 0 \quad \text{(1)} \]

\[ 12x + 5xy - 24y = 0 \quad \text{(2)} \]

సమీకరణం (1) నుండి, \( x \): విలువను కనుగొందాం:

\[ x = \frac{-12y}{12 - 7y} \]

\( x = \frac{-12y}{12 - 7y} \) ను సమీకరణం (2) లో ప్రతిక్షేపించండి:

\[ 12\left(\frac{-12y}{12 - 7y}\right) + 5\left(\frac{-12y}{12 - 7y}\right)y - 24y = 0 \]

\( y \): విలువను కనుగొనడానికి సరళీకరించండి:

\[ 108y(y - 4) = 0 \]

కాబట్టి, \( y = 0 \) లేదా \( y = 4 \). \( y = 4 \) అయితే:

\[ x = \frac{-12(4)}{12 - 7(4)} = 3 \]

సాధారణ సాధనం \( (3, 4) \), మరియు:

\[ x_0^2 + y_0^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \]

చివరి సమాధానం:

\[ \boxed{25} \]

బహుపది \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 7x - 6 \) ను \( (x - 2) \) తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషాన్ని నిర్ణయించడానికి, మనం శేష సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము. \( (x - a) \) తో బహుపది భాగాహారం యొక్క శేషాన్ని కనుగొనడానికి శేష సిద్ధాంతం సులభమైన పద్ధతిని అందిస్తుంది: అది శేషం \( f(a) \) కి సమానం అని తెలియజేస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, \( a = 2 \), కాబట్టి మనం \( x = 2 \) ను బహుపది \( f(x) \) లో ప్రతిక్షేపిస్తాము.

\( x = 2 \) ను \( f(x) \) లో ప్రతిక్షేపించి, మనం లెక్కించాలి:

\[ f(2) = (2)^3 + 3(2)^2 + 7(2) - 6 \]

ప్రతి పదాన్ని విలువను లెక్కించడం:

\[ f(2) = 8 + 3(4) + 14 - 6 = 8 + 12 + 14 - 6 \]

పదాలను కలపడం:

\[ f(2) = 28 \]

కాబట్టి, \( x^3 + 3x^2 + 7x - 6 \) ను \( (x - 2) \) తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం:

\[ \boxed{28} \]

ఇచ్చిన ఘన బహుపది:

\[ p(x) = 3x^3 - k(k - 2)x^2 + 6x + 24 \]

దీని శూన్యాల మొత్తం \( 5 \). \( p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) రూపంలో ఉన్న ఘన బహుపదికి, శూన్యాల మొత్తం \( (\alpha + \beta + \gamma) \)} ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

\[ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \]

ఇచ్చిన బహుపదికి, \( a = 3 \)} మరియు \( b = -k(k - 2) \). సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించడం:

\[ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{-k(k - 2)}{3} = \frac{k(k - 2)}{3} \]

శూన్యాల మొత్తం \( 5 \): అని ఇవ్వబడింది.

\[ \frac{k(k - 2)}{3} = 5 \]

రెండు వైపులా \( 3 \):తో గుణించండి.

\[ k(k - 2) = 15 \]

విస్తరించి, తిరిగి అమర్చండి:

\[ k^2 - 2k - 15 = 0 \]

వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించండి:

\[ k = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-15)}}{2(1)} \]

\[ k = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} \]

\[ k = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} \]

\[ k = \frac{2 \pm 8}{2} \]

కాబట్టి, పరిష్కారాలు:

\[ k = \frac{2 + 8}{2} = 5 \quad \text{మరియు} \quad k = \frac{2 - 8}{2} = -3 \]

\( k \)} యొక్క సాధ్యమయ్యే విలువలు:

\[ \boxed{5, -3} \]

సూత్రం:

ఈ సమస్య బహుపది భాగహారం మరియు భాజక మూలాల భావనను ఉపయోగిస్తుంది.

ఇచ్చిన బహుపది \( x^2 - 1 \) చే భాగించబడుతుందని నిర్ధారించుకోవడం ద్వారా, f(1) = 0 మరియు f(-1) = 0 అయ్యేలా a మరియు b విలువలను కనుగొనవచ్చు, ఈ పరిస్థితి నుండి ఉత్పన్నమైన సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం ద్వారా.

గణన:

\(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\)

ను \( x^2 - 1 \) చే భాగించవచ్చు.

ఇచ్చిన భాజకం \(x^2 - 1\) ను కారకాలుగా విభజించవచ్చు:

\(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)

బహుపది \(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\) ను \( x^2 - 1 \) చే భాగించగలిగేలా \(a\) మరియు b విలువలను మనం వెతుకుతున్నాము. అంటే ఈ బహుపదిని \( x^2 - 1 \) చే భాగించినప్పుడు శేషం 0 అవుతుంది.

బహుపది f(x) ను \( x^2 - 1 \) చే భాగించగలిగితే, బహుపది f(1) = 0 మరియు f(-1) = 0 అవుతుందని మనం ఉపయోగించవచ్చు.

f(1) మరియు f(-1) లను లెక్కించండి

f(x) = \(x^4 + x^3 + 8x^2 + ax + b\) అని అనుకుందాం.

f(1) = 0 కు:

\(f(1) = 1^4 + 1^3 + 8(1^2) + a(1) + b = 1 + 1 + 8 + a + b = 10 + a + b\)

కాబట్టి \(10 + a + b = 0\)

⇒ \(a + b = -10 \quad \text{(సమీకరణం 1)}\)

f(-1) = 0 కు:

\(f(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 + 8(-1)^2 + a(-1) + b = 1 - 1 + 8 - a + b = 8 - a + b\)

కాబట్టి \(8 - a + b = 0\)

⇒ \(-a + b = -8 \quad \text{(సమీకరణం 2)}\)

పరిష్కరించడానికి, రెండు సమీకరణాలను కలపండి:

\((a + b) + (-a + b) = -10 + (-8)\)

⇒ \(2b = -18\)

⇒ \(b = -9\)

సమీకరణం 1 లో b = -9 ను ప్రతిక్షేపించండి

\(a + (-9) = -10\)

⇒ \(a = -1\)

కాబట్టి, సరైన ఎంపిక ఎంపిక 4.

ఇచ్చినది

2x5 + 2x3 y3 + 4y4  + 5.

భావం

బహుపది యొక్క డిగ్రీ సున్నా కాని గుణకాలతో దాని వ్యక్తిగత పదాల డిగ్రీలలో అత్యధికం.

పరిష్కారం

2x5 లో బహుపది డిగ్రీ = 5 

2x3 y3 లో బహుపది డిగ్రీ = 3 + 3 = 6 

4y4 లో బహుపది డిగ్రీ = 4 

5 లో బహుపది డిగ్రీ = 0 

అందువల్ల, అత్యధిక డిగ్రీ 6.

బహుపది డిగ్రీ = 6

x5 కారణంగా ఒకరు 5ను సరైన ఎంపికగా ఎంచుకోవచ్చు కాని 2x3y3 అత్యధిక ఘాతం 6 కలిగి ఉన్నందున సరైన సమాధానం 6 అవుతుంది.

బహుపది యొక్క డిగ్రీ సున్నా కాని గుణకాలతో దాని వ్యక్తిగత పదాల డిగ్రీలలో అత్యధికం. ఇక్కడ ఒక నిర్దిష్ట విలువ కోసం x అనేది y కి సమానంగా ఉంటుంది, అప్పుడు సమీకరణం ఇలా ఉంటుంది:

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5

= 2x5 + 2x6 + 4x4 + 5

బహుపది యొక్క డిగ్రీ 6 ఉంటుంది

భావన:

α మరియు β బహుపది p(x) యొక్క సున్నాలు అయితే,

p(α) = 0 & p(β) = 0

లెక్కింపు:

p(x) = (k - 1)x 2 + kx +1 అనుకుందాం

ప్రశ్న ప్రకారం, x = -3 దాని సున్నాలలో ఒకటి,

x = -3 వద్ద p(x) సున్నా అవుతుంది.

అందువలన,

(k - 1)(-3) 2 + k(-3) +1 = 0

⇒ 9k - 9 - 3k + 1 = 0

⇒ 6k = 8

⇒ k = 4/3

కాబట్టి, ఎంపిక 2 సరైనది.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

లెక్కింపు:

మనం a = x², b = -y², c = z² గా విలువలని ప్రతిక్షేపిద్దాం

⇒ (x² + y² - z²)² = x⁴ + y⁴ + z⁴ + 2x²y² – 2y²z² – 2z²x²      ----(1)

మనం  a = x², b = y², c = -z²గా విలువలని ప్రతిక్షేపిద్దాం

⇒ (x² - y² + z²)² = x⁴ + y⁴ + z⁴ – 2x²y² – 2y²z² + 2z²x²      ----(2)

(1) – (2)

⇒ 4x²y² – 4z²x²

∴ కావల్సిన జవాబు 4x²y² – 4x²z²

ఇచ్చినది

4x ⁴ + 3x ³ + 2x ² + x + 1

కాన్సెప్ట్

బహుపది యొక్క డిగ్రీ సున్నా కాని గుణకాలతో దాని వ్యక్తిగత పదాల డిగ్రీలలో అత్యధికం.

పరిష్కారం

4x ⁴ లో బహుపది డిగ్రీ = 4 

3x ³ లో బహుపది డిగ్రీ = 3 

2x ² లో బహుపది డిగ్రీ = 2 

x లో బహుపది డిగ్రీ = 1 

అందువల్ల, అత్యధిక డిగ్రీ 4.

బహుపది డిగ్రీ = 4

ఇచ్చినది:

5x + 3y = 15 మరియు 2xy = 6

ఉపయోగించిన సూత్రం:

(a - b)² = (a + b)² - 4ab

గణన:

(5x - 3y)² =  (5x + 3y)² - 4.5x.3y

⇒ 15² - 30 × 2xy

⇒ 225 - 180 = 45

(5x - 3y) = √45

⇒ \(3\sqrt5\)

∴ సరైన ఎంపిక 2

x³ + y³ = (x + y)(x² + y² – xy) అని మనకు తెలుసు

x³ + y³ = 22 మరియు x + y = 5 అని ఇచ్చారు

⇒ 22 = 5(x² + y² – xy)

⇒ 22 = 5[(x + y)² − 3xy)]

⇒ 22 = 5[(5)² − 3xy)]

⇒ xy = 103/15

x³ + y³ = 22ను  x + y = 5తో గుణించగా,

⇒ x⁴ + y⁴ + xy(x² + y²) = 110

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – xy{(x² + y² − 2xy + 2xy)}

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – xy{(x + y)² − 2xy}

xy = 103/15 మరియు x + y = 5

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – 103/15{(5)² − 2 × 103/15}

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – 6.87{(25 –  13.73}

⇒ x4 + y4 = 110 – 6.87 {(11.27)}

⇒ x⁴ + y⁴ = 110 – 77.42

⇒ x4 + y4 = 32.58

ఉపయోగించిన భావన:

శేష సిద్ధాంతం:

బహుపది p(x)ని (x−a)తో భాగిస్తే, శేషం a

స్థిరాంకం p(a) ద్వారా ఇవ్వబడింది.

లెక్కింపు:

p(x) = 5x3 + 5x2 – 6x + 9 

(x + 3) p(x)ని భాగించబడనందున, శేషం p(-3) అవుతుంది.

⇒ p(-3) = 5 × (-3)3 + 5 × (-3)2 – 6 × (-3) + 9

⇒ p(-3) = -63

సూత్రం:

శేష సిద్ధాంతం: p(x) అనేది ఒకటి కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన డిగ్రీ యొక్క ఏదైనా బహుపది అయినా మరియు 'a' ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యగా ఉన్నా. p(x)ని (x - a)తో భాగిస్తే, శేషం p(a)కి సమానం.

లెక్కింపు:

మన దగ్గర ఉన్నది, x + 2 = x - (-2)

కాబట్టి, శేష సిద్ధాంతం ద్వారా, p(x)ని (x + 2) = (x - (-2))తో విభజించినప్పుడు శేషం p(-2)కి సమానం.

ఇప్పుడు, p(x) = 2x5 + 4x4 + 7x3 - x2 + 3x + 12

⇒ p(-2) = 2(-2)⁵ + 4(-2)4 + 7(-2)3 - (-2)2 + 3(-2) + 12

⇒ p(-2) = -2(32) + 4(16) - 7(8) - (4) - 6 + 12

⇒ p(-2) = -64 + 64 - 56 - 4 + 6

⇒ p(-2) = -54

కావునా, కావాల్సిన శేషం = -54.

ఉపయోగించిన సూత్రాలు:

(a + b)2 = (a2 + b2 + 2ab)

(a - b)(a + b) = a2 - b2

సాధన:

= 25 - (x2 + y2 + 2xy)

= 52 - (x + y)2

= ( 5 + x + y ) (5 - (x + y))

∴ కారణాంకాలు ( 5 + x + y ) (5 - x - y)

ఇక్కడ, f(x) = 4x⁶ – 5x³ – 3

⇒ f(x) = 4 × (x³)² – 5x³ – 3

ఇప్పుడు, x³ – 2 = 0

⇒ x³ = 2

 x³ = 2 విలువను f(x) లో పెట్టగా,

⇒ 4 × 2² – 5 × 2 – 3

⇒ 16 – 10 – 3

⇒ 3