రెండు స్థిర విలువలతో సరళ అసమికరణలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Linear Equation in 2 Variable - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

అసలు సంఖ్యను XYగా సూచిస్తాం, ఇక్కడ X అనేది పదుల అంకెలు మరియు Y అనేది యూనిట్ల అంకె.

సమస్య నుండి, మనకు రెండు విషయాలు తెలుసు:

1) సంఖ్య దాని అంకెల మొత్తానికి 7 రెట్లు. దీని అర్థం 10X + Y = 7(X + Y), లేదా 3X = 6Y, లేదా X = 2Y.

2) అంకెలను రివర్స్ చేయడం ద్వారా పొందిన సంఖ్య అసలు సంఖ్య కంటే 18 తక్కువ. దీని అర్థం 10X + Y - 18 = 10Y + X, లేదా 9X - 9Y = 18, లేదా X - Y = 2.

ఈ రెండు సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

X = 2Y
⇒ X - Y = 2

మనము X ని మొదటి సమీకరణం నుండి రెండవ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపణ చేస్తాము, మనకు లభిస్తుంది:

⇒ 2Y - Y = 2
⇒ Y = 2

మొదటి సమీకరణంలో Y = 2ని ప్రతిక్షేపణ చేయండి, మనకు లభిస్తుంది:

X = 2 × 2 = 4

∴ అసలు సంఖ్య 42.

ఇచ్చినవి:

3x + 7y = 78 ...(1)

x + 3y = 32 ...(2)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

యామాత్ర సమీకరణాలను సాధించడం.

గణన:

సమీకరణం (2) ని 3తో గుణించండి:

3(x + 3y) = 3(32)

3x + 9y = 96 ...(3)

సమీకరణం (3) నుండి సమీకరణం (1) ని తీసివేయండి:

(3x + 9y) - (3x + 7y) = 96 - 78

2y = 18

y = 18 / 2

y = 9

సమీకరణం (2) లో y = 9 ని ప్రతిక్షేపించండి:

x + 3(9) = 32

x + 27 = 32

x = 32 - 27

x = 5

ఇప్పుడు, 2x + y కనుగొనండి:

2x + y = 2(5) + 9

2x + y = 10 + 9

2x + y = 19

∴ 2x + y = 19.

ఇవ్వబడింది:

రెండంకెల సంఖ్య మరియు దాని అంకెలను తిప్పి వచ్చే సంఖ్యల మొత్తం 99.

ఆ సంఖ్య యొక్క అంకెల భేదం 7.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

రెండంకెల సంఖ్యను 10a + b గా తీసుకుందాం, ఇక్కడ a పదుల స్థానంలోని అంకె మరియు b ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె.

అంకెలను తిప్పి వచ్చే సంఖ్య 10b + a.

ఇవ్వబడిన షరతుల ప్రకారం:

10a + b + 10b + a = 99

a - b = 7

గణన:

మొదటి సమీకరణం నుండి:

⇒ 11a + 11b = 99

⇒ a + b = 9

మనకు కూడా ఉంది:

⇒ a - b = 7

ఈ రెండు సమీకరణాలను కలిపితే:

⇒ a + b + a - b = 9 + 7

⇒ 2a = 16

⇒ a = 8

a = 8 ని a + b = 9 లో ప్రతిక్షేపిస్తే:

⇒ 8 + b = 9

⇒ b = 1

కాబట్టి, రెండంకెల సంఖ్య:

⇒ 10a + b = 10 x 8 + 1 = 81

రెండంకెల సంఖ్య 81.

ఇవ్వబడింది:

3 పెన్సిళ్లు మరియు 5 పెన్నుల ఖర్చు = ₹101

5 పెన్సిళ్లు మరియు 3 పెన్నుల ఖర్చు = ₹91

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక పెన్సిల్ ఖర్చును x మరియు ఒక పెన్ను ఖర్చును y అనుకుందాం.

మనకు రెండు సమీకరణాలు ఉన్నాయి:

3x + 5y = 101

5x + 3y = 91

మనం 2 పెన్సిళ్లు మరియు 2 పెన్నుల ఖర్చును కనుగొనాలి, అది 2x + 2y.

గణన:

మొదట, సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

y ని తొలగించడానికి మొదటి సమీకరణాన్ని 5తో మరియు రెండవ సమీకరణాన్ని 3తో గుణించండి:

⇒ (3x + 5y) x 5 = 101 x 5

⇒ 15x + 25y = 505

⇒ (5x + 3y) x 3 = 91 x 3

⇒ 15x + 9y = 273

రెండవ సమీకరణాన్ని మొదటి సమీకరణం నుండి తీసివేయండి:

⇒ (15x + 25y) - (15x + 9y) = 505 - 273

⇒ 16y = 232

⇒ y = 14.5

మొదటి సమీకరణంలో y = 14.5 ని ప్రతిక్షేపించండి:

⇒ 3x + 5(14.5) = 101

⇒ 3x + 72.5 = 101

⇒ 3x = 101 - 72.5

⇒ x = 9.5

ఇప్పుడు, 2 పెన్సిళ్లు మరియు 2 పెన్నుల ఖర్చును లెక్కించండి:

⇒ 2x + 2y = 2(9.5) + 2(14.5)

⇒ 2x + 2y = 19 + 29

⇒ 2x + 2y = 48

2 పెన్సిళ్లు మరియు 2 పెన్నుల ಒಟ್ಟು ఖర్చు ₹48.

ఇచ్చినవి:

8k6 + 15k3 – 2 = 0

గణన​:

 k3 = x

కాబట్టి, 8x² + 15x - 2 = 0

⇒ 8x2 + 16x - x - 2 = 0

⇒ 8x (x + 2) - 1 (x + 2) = 0

⇒ (8x - 1) (x + 2) = 0

⇒ 8x - 1 = 0 ⇒ x = 1/8

⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 [ప్రతికూల విలువ కారణంగా సాధ్యం కాదు]

ఇప్పుడు, k3 = 1/8

⇒ k = 1/2 ⇒ 1/k = 2

అప్పుడు, (k + 1/k) = (1/2 + 2) = 5/2 = \(2\frac{1}{2}\)

∴(k + 1/k) విలువ \(2\frac{1}{2}\)

గణన

Aతో టోఫీల సంఖ్య x మరియు Bతో y గా ఉండనివ్వండి.

ఒకవేళ A ఒక టోఫీని Bకు ఇచ్చినట్లయితే, అప్పుడు:

⇒ x - 1 = y + 1

⇒ x = y + 2 ......... (1)

ఇప్పుడు B ఒక టోఫీని Aకు ఇచ్చినప్పుడు, అప్పుడు A తో ఉన్న టాఫీలు Bతో రెట్టింపు అవుతాయి:

⇒ x + 1 = 2 (y - 1) ...... (2)

సమీ.(1) యొక్క విలువను సమీ. (2)లో ఉంచండి.

⇒ y + 3 = 2y - 2

⇒ y = 5

ఒకవేళ y = 5 అయితే x = 7.

⇒ x + y = 12

A మరియు B ఉన్న మొత్తం టాఫీల సంఖ్య 12

ఇవ్వబడినది:

రెండు సంఖ్యల మధ్య భేదం = 5

చిన్న సంఖ్య నుండి 25 తీసివేసి, పెద్ద సంఖ్యకు 20 కలిపితే నిష్పత్తి = 1 : 2

గణన (లెక్కింపు):

పెద్ద సంఖ్య x మరియు చిన్న సంఖ్య (x - 5) అనుకొనుము. 

ఇప్పుడు, ప్రశ్న ప్రకారం,

(x – 5 – 25) : (x + 20) = 1 : 2

⇒ (x –  30)/(x + 20) = 1/2

⇒ 2x – 60= x + 20

⇒ x = 80

∴ పెద్ద సంఖ్య 80

గణన-

1 టేబుల్ యొక్క ఖర్చు 'x' మరియు 1 కుర్చీ 'y' గా ఉండనివ్వండి.

ఇవ్వబడ్డ కండిషన్ కు అనుగుణంగా కంటే

2x + 4y = 16,000 మరియు x = 6y

ఇప్పుడు, 2x + 4y = 16,000

⇒ 2(6y) + 4y = 16,000

⇒ 16y = 16,000

⇒ y = 1,000

 ∴ 9 కుర్చీల ఖర్చు 9y = 9,000

ఇచ్చిన సమీకరణం x + 2y = 8 మరియు 2x + 4y = 16 లేదా x + 2y = 8,

ఇచ్చిన రెండు సమీకరణాలు ఒకటే

∴ ప్రశ్నకు అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉండవచ్చు.

ఒక పెన్సిల్, ఒక పెన్ను మరియు ఒక ఎరేజర్ ధర వరుసగా x, y మరియు z అనుకొనుము.

ప్రశ్న ప్రకారం,

8x + 5y + 3z = రూ. 111 ----(1)

9x + 6y + 5z = రూ. 130 ----(2)

16x + 11y + 3z = రూ. 221 ----(3)

సమీకరణం (3) నుండి సమీకరణం (1) తీసివేయడం

⇒ (16x + 11y + 3z) - (8x + 5y + 3z) = 221 - 111

⇒ 8x + 6y = 110

⇒ 4x + 3y = 55 ----(4)

సమీకరణం (2)ని 3తో మరియు సమీకరణం (3)ని 5తో గుణించి, ఆపై సమీకరణం (2)ని సమీకరణం (3) నుండి తీసివేయండి

⇒ (16x + 11y + 3z) × 5 - (9x + 6y + 5z) × 3 = 221 × 5 - 130 × 3

⇒ 80x + 55y + 15z - 27x - 18y - 15z = 1105 - 390

⇒ 53x + 37y = 715 ----(5)

సమీకరణం (4)ని 53తో మరియు సమీకరణం (5)ని 4తో గుణించి, ఆపై సమీకరణం (5) నుండి సమీకరణం (4)ని తీసివేయండి

⇒ 212x + 159y - 212x - 148y = 2915 - 2860

⇒ 11సం = 55

⇒ y = 5

y = 5 విలువను సమీకరణం (4)లో ప్రతిక్షేపించగా,

⇒ 4x + 3 × 5 = 55

⇒ x = 10

సమీకరణం  (1)లో y = 5 మరియు x = 10 విలువలను ప్రతిక్షేపించగా,

⇒ 8 × 10 + 5 × 5 + 3z = 111

⇒ 80 + 25 + 3z = 111

⇒ z = 2

∴ 39 పెన్సిల్‌లు, 26 పెన్నులు మరియు 13 ఎరేజర్‌ల ధర 39x + 26y + 13z =39 × 10 + 26 × 5 + 13 × 2 = రూ. 546

సత్వరమార్గ ట్రిక్

1 పెన్సిల్ ధర = x, 1 పెన్ను ధర = y మరియు ఒక ఎరేజర్ ధర = z అనుకొనుము.

అప్పుడు, 8x + 5y + 3z = 111 ----(1)

9x + 6y + 5z = 130 ----(2)

16x + 11y + 3z = 221 ----(3)

(1), (2) మరియు (3) కలపగా,

33x + 22y + 11z = 462

⇒ 3x + 2y + z = 42

⇒ 39x + 26y + 13z = 546 (13తో గుణించగా)

ఇచ్చిన సమస్య:

ఒక వస్తువు ధర రూ. 4 తగ్గిన, మరో 12 వస్తువులను రూ. 288కి కొనుగోలు చేయవచ్చు.

సాధన:

ప్రతి వస్తువు యొక్క అసలు ధర = y

విక్రయించబడిన వస్తువు సంఖ్య = x

మొత్తం ధర = xy = 288

⇒ x = 288/y --(i)

ప్రతి వస్తువు యొక్క కొత్త ధర = y - 4

విక్రయించబడిన కొత్త వస్తువుల సంఖ్య = x + 12

∴ ప్రశ్న ప్రకారం,

⇒ (x + 12) (y - 4) = xy

⇒ xy - 4x + 12y - 48 = xy

⇒ 4x - 12y = - 48

(i) నుండి

⇒ 4(288/y) - 12y = - 48

⇒ 1152 - 12y2 + 48y = 0

⇒ 12y2 - 48y - 1152 = 0

⇒ y2 - 4y - 96 = 0

⇒ (y - 12) (y + 8) = 0

⇒ y = 12, y = -8

ధర ఋణాత్మకంగా ఉండదు కాబట్టి y = -8 సాధ్యం కాదు.

∴ కొత్త వస్తువు అసలు ధర రూ. 12.

Alternate Method

సాధన:

ప్రశ్న ప్రకారం:

⇒ 288/(x - 4) - 288/x = 12

⇒ x - x + 4/(x - 4) x = 12/288

⇒ 4/(x - 4) x = 1/24

⇒ x (x - 4) = 96

కాబట్టి ఎంపిక నుండి x విలువను ఉంచవచ్చు.

x = 12 ప్రతిక్షేపిస్తే

⇒ 12 × 8 = 96

⇒ 96 = 96 (సమీకరణం సంతృప్తి చెందింది)

∴ సరైన సమాధానం రూ.12

⇒ సమీకరణాలు వాటి వాలు ఒకేలా ఉన్నప్పుడు వాటికి సాధన ఉండదు

⇒ సమీకరణం 1 యొక్క వాలు = - 14/8 = - 7/4

⇒ సమీకరణం 2 యొక్క వాలు = 21/k

⇒ కావున, 21/k = - 7/4

ఇవ్వబడినది:

సమీకరణ వ్యవస్థ:

2x + 3y = 5

4x + ky = 10

కాన్సెప్ట్:

సమీకరణాల వ్యవస్థ

a 1 x + b 1 y = c 1

a 2 x + b 2 y = c 2

అనంతమైన సాధనల కోసం

\(\frac {a_1}{a_2}= \frac {b_1}{b_2}= \frac {c_1}{c_2}\)

గణన:

సమీకరణాల నుండి,

a ₁ = 2, b ₁ = 3, c ₁ = 5

a ₂ = 4, b ₂ = k, c ₂ = 10

అనంతమైన సాధనల కోసం, 2/4 = 3/k

⇒ k = 6

∴ k విలువ 6.

ముఖ్యాంశాలు

ఏకైక సాధన కోసం

\(\frac {a_1}{a_2}≠ \frac {b_1}{b_2}\)

అస్థిరమైన సాధన కోసం

\(\frac {a_1}{a_2}=\frac {b_1}{b_2}≠ \frac {c_1}{c_2}\)

ఇచ్చినది:

రెండు సంఖ్యల మొత్తం = 30

4 x మొదటి సంఖ్య = 3 x రెండవ సంఖ్య + 1

గణన:

రెండు సంఖ్యలు a మరియు b గా అనుకుందాం.

a + b = 30 …(i)

4a = 3b + 1

4a - 3b = 1 …(ii)

(i)ని 3తో గుణించడం మరియు (ii) జోడించడం

3a + 3b = 90

4a - 3b = 1

మనకు a = 13 మరియు b = 17 లభిస్తాయి