రెండు స్థిర విలువలతో సరళ అసమికరణలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Linear Equation in 2 Variable - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడింది:

4 పెన్నులు మరియు 3 నోట్ బుక్కుల ఖర్చు ₹ 150.

5 నోట్ బుక్కుల ఖర్చు 6 పెన్నుల ఖర్చు కంటే ₹ 41 ఎక్కువ.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక పెన్ను ఖర్చు ₹ x మరియు ఒక నోట్ బుక్ ఖర్చు ₹ y అనుకుందాం.

ఇవ్వబడిన సమాచారం నుండి:

4x + 3y = 150 ...(i)

5y = 6x + 41 ...(ii)

గణన:

సమీకరణం (ii) నుండి, x పరంగా y ని వ్యక్తపరచండి:

5y = 6x + 41

y = (6x + 41) / 5

సమీకరణం (i) లో y ని ప్రతిక్షేపించండి:

4x + 3((6x + 41) / 5) = 150

భిన్నాన్ని తొలగించడానికి 5తో గుణించండి:

20x + 3(6x + 41) = 750

20x + 18x + 123 = 750

38x + 123 = 750

38x = 750 - 123

38x = 627

x = 627 / 38

x = 16.5

ఇప్పుడు, y ని కనుగొనండి:

y = (6 x 16.5 + 41) / 5

y = (99 + 41) / 5

y = 140 / 5

y = 28

ఇప్పుడు, 3 పెన్నులు మరియు 2 నోట్ బుక్కుల ఖర్చును కనుగొనండి:

3 పెన్నుల ఖర్చు 3x = 3 x 16.5 = 49.5

2 నోట్ బుక్కుల ఖర్చు 2y = 2 x 28 = 56

మొత్తం ఖర్చు = 49.5 + 56 = 105.5

3 పెన్నులు మరియు 2 నోట్ బుక్కుల ఖర్చు ₹ 105.50.

అసలు సంఖ్యను XYగా సూచిస్తాం, ఇక్కడ X అనేది పదుల అంకెలు మరియు Y అనేది యూనిట్ల అంకె.

సమస్య నుండి, మనకు రెండు విషయాలు తెలుసు:

1) సంఖ్య దాని అంకెల మొత్తానికి 7 రెట్లు. దీని అర్థం 10X + Y = 7(X + Y), లేదా 3X = 6Y, లేదా X = 2Y.

2) అంకెలను రివర్స్ చేయడం ద్వారా పొందిన సంఖ్య అసలు సంఖ్య కంటే 18 తక్కువ. దీని అర్థం 10X + Y - 18 = 10Y + X, లేదా 9X - 9Y = 18, లేదా X - Y = 2.

ఈ రెండు సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

X = 2Y
⇒ X - Y = 2

మనము X ని మొదటి సమీకరణం నుండి రెండవ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపణ చేస్తాము, మనకు లభిస్తుంది:

⇒ 2Y - Y = 2
⇒ Y = 2

మొదటి సమీకరణంలో Y = 2ని ప్రతిక్షేపణ చేయండి, మనకు లభిస్తుంది:

X = 2 × 2 = 4

∴ అసలు సంఖ్య 42.

ఇవ్వబడింది:

30 ఆపిల్స్ + 23 జామలు = ₹392

15 ఆపిల్స్ + 7 జామలు = ₹178

గణన:

1 ఆపిల్ ధర = x, 1 జామ ధర = y అనుకుందాం

సమీకరణం 1: 30x + 23y = 392

సమీకరణం 2: 15x + 7y = 178

సమీకరణం (2) ని 2తో గుణించండి:

⇒ 30x + 14y = 356

ఇప్పుడు తీసివేయండి:

(30x + 23y) - (30x + 14y) = 392 - 356

⇒ 9y = 36

⇒ y = 4

సమీకరణం (2) లో y ని ప్రతిక్షేపించండి:

15x + 7x4 = 178

⇒ 15x + 28 = 178

⇒ 15x = 150

⇒ x = 10

∴ ఒక ఆపిల్ ధర ₹10

ఇవ్వబడింది:

సమీకరణం 1: 2x – ky + 5 = 0

సమీకరణం 2: 3x + 2y – 7 = 0

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం కోసం: a ₁ /a ₂ ≠ b ₁ /b ₂

సమీకరణం 1: a ₁ = 2, b ₁ = –k

సమీకరణం 2: a ₂ = 3, b ₂ = 2

గణన:

2/3 ≠ –k/2

⇒ అడ్డ గుణకారం: 2 × 2 ≠ –k × 3

⇒ 4 ≠ –3k

⇒ k ≠ –4/3

∴ సరైన సమాధానం k ≠ –4/3

ఇవ్వబడింది:

ఏకకాలిక సరళ సమీకరణాలు:

సమీకరణం 1: 2x – 3y + 4 = 0

సమీకరణం 2: 3x – 2y – 4 = 0

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఏకకాలిక సరళ సమీకరణాల సాధనాల స్వభావాన్ని నిర్ణయించడానికి:

గుణకాల నిష్పత్తులను పోల్చండి: \(c_1/c_2\)

గణన:

సమీకరణం 1 కి: 2x – 3y + 4 = 0 → a1 = 2, b1 = -3, c1 = 4

సమీకరణం 2 కి: 3x – 2y – 4 = 0 → a2 = 3, b2 = -2, c2 = -4

నిష్పత్తులను పోల్చండి:

\(a_1/a_2 = 2/3\)

\(b_1/b_2 = (-3)/(-2) = 3/2\)

\(c_1/c_2 = 4/(-4) = -1\)

⇒ \(a_1/a_2 ≠ b_1/b_2\)

ముగింపు:

\(a_1/a_2 ≠ b_1/b_2\) కాబట్టి, ఇవ్వబడిన సమీకరణాలకు ఒక ప్రత్యేకమైన సాధన ఉంటుంది.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2: ప్రత్యేకమైన సాధన.

గణన

Aతో టోఫీల సంఖ్య x మరియు Bతో y గా ఉండనివ్వండి.

ఒకవేళ A ఒక టోఫీని Bకు ఇచ్చినట్లయితే, అప్పుడు:

⇒ x - 1 = y + 1

⇒ x = y + 2 ......... (1)

ఇప్పుడు B ఒక టోఫీని Aకు ఇచ్చినప్పుడు, అప్పుడు A తో ఉన్న టాఫీలు Bతో రెట్టింపు అవుతాయి:

⇒ x + 1 = 2 (y - 1) ...... (2)

సమీ.(1) యొక్క విలువను సమీ. (2)లో ఉంచండి.

⇒ y + 3 = 2y - 2

⇒ y = 5

ఒకవేళ y = 5 అయితే x = 7.

⇒ x + y = 12

A మరియు B ఉన్న మొత్తం టాఫీల సంఖ్య 12

ఇచ్చినవి:

8k6 + 15k3 – 2 = 0

గణన​:

 k3 = x

కాబట్టి, 8x² + 15x - 2 = 0

⇒ 8x2 + 16x - x - 2 = 0

⇒ 8x (x + 2) - 1 (x + 2) = 0

⇒ (8x - 1) (x + 2) = 0

⇒ 8x - 1 = 0 ⇒ x = 1/8

⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = - 2 [ప్రతికూల విలువ కారణంగా సాధ్యం కాదు]

ఇప్పుడు, k3 = 1/8

⇒ k = 1/2 ⇒ 1/k = 2

అప్పుడు, (k + 1/k) = (1/2 + 2) = 5/2 = \(2\frac{1}{2}\)

∴(k + 1/k) విలువ \(2\frac{1}{2}\)

ఇవ్వబడినది:

రెండు సంఖ్యల మధ్య భేదం = 5

చిన్న సంఖ్య నుండి 25 తీసివేసి, పెద్ద సంఖ్యకు 20 కలిపితే నిష్పత్తి = 1 : 2

గణన (లెక్కింపు):

పెద్ద సంఖ్య x మరియు చిన్న సంఖ్య (x - 5) అనుకొనుము. 

ఇప్పుడు, ప్రశ్న ప్రకారం,

(x – 5 – 25) : (x + 20) = 1 : 2

⇒ (x –  30)/(x + 20) = 1/2

⇒ 2x – 60= x + 20

⇒ x = 80

∴ పెద్ద సంఖ్య 80

గణన-

1 టేబుల్ యొక్క ఖర్చు 'x' మరియు 1 కుర్చీ 'y' గా ఉండనివ్వండి.

ఇవ్వబడ్డ కండిషన్ కు అనుగుణంగా కంటే

2x + 4y = 16,000 మరియు x = 6y

ఇప్పుడు, 2x + 4y = 16,000

⇒ 2(6y) + 4y = 16,000

⇒ 16y = 16,000

⇒ y = 1,000

 ∴ 9 కుర్చీల ఖర్చు 9y = 9,000

ఇచ్చిన సమీకరణం x + 2y = 8 మరియు 2x + 4y = 16 లేదా x + 2y = 8,

ఇచ్చిన రెండు సమీకరణాలు ఒకటే

∴ ప్రశ్నకు అనంతమైన పరిష్కారాలు ఉండవచ్చు.

ఒక పెన్సిల్, ఒక పెన్ను మరియు ఒక ఎరేజర్ ధర వరుసగా x, y మరియు z అనుకొనుము.

ప్రశ్న ప్రకారం,

8x + 5y + 3z = రూ. 111 ----(1)

9x + 6y + 5z = రూ. 130 ----(2)

16x + 11y + 3z = రూ. 221 ----(3)

సమీకరణం (3) నుండి సమీకరణం (1) తీసివేయడం

⇒ (16x + 11y + 3z) - (8x + 5y + 3z) = 221 - 111

⇒ 8x + 6y = 110

⇒ 4x + 3y = 55 ----(4)

సమీకరణం (2)ని 3తో మరియు సమీకరణం (3)ని 5తో గుణించి, ఆపై సమీకరణం (2)ని సమీకరణం (3) నుండి తీసివేయండి

⇒ (16x + 11y + 3z) × 5 - (9x + 6y + 5z) × 3 = 221 × 5 - 130 × 3

⇒ 80x + 55y + 15z - 27x - 18y - 15z = 1105 - 390

⇒ 53x + 37y = 715 ----(5)

సమీకరణం (4)ని 53తో మరియు సమీకరణం (5)ని 4తో గుణించి, ఆపై సమీకరణం (5) నుండి సమీకరణం (4)ని తీసివేయండి

⇒ 212x + 159y - 212x - 148y = 2915 - 2860

⇒ 11సం = 55

⇒ y = 5

y = 5 విలువను సమీకరణం (4)లో ప్రతిక్షేపించగా,

⇒ 4x + 3 × 5 = 55

⇒ x = 10

సమీకరణం  (1)లో y = 5 మరియు x = 10 విలువలను ప్రతిక్షేపించగా,

⇒ 8 × 10 + 5 × 5 + 3z = 111

⇒ 80 + 25 + 3z = 111

⇒ z = 2

∴ 39 పెన్సిల్‌లు, 26 పెన్నులు మరియు 13 ఎరేజర్‌ల ధర 39x + 26y + 13z =39 × 10 + 26 × 5 + 13 × 2 = రూ. 546

సత్వరమార్గ ట్రిక్

1 పెన్సిల్ ధర = x, 1 పెన్ను ధర = y మరియు ఒక ఎరేజర్ ధర = z అనుకొనుము.

అప్పుడు, 8x + 5y + 3z = 111 ----(1)

9x + 6y + 5z = 130 ----(2)

16x + 11y + 3z = 221 ----(3)

(1), (2) మరియు (3) కలపగా,

33x + 22y + 11z = 462

⇒ 3x + 2y + z = 42

⇒ 39x + 26y + 13z = 546 (13తో గుణించగా)

ఇచ్చిన సమస్య:

ఒక వస్తువు ధర రూ. 4 తగ్గిన, మరో 12 వస్తువులను రూ. 288కి కొనుగోలు చేయవచ్చు.

సాధన:

ప్రతి వస్తువు యొక్క అసలు ధర = y

విక్రయించబడిన వస్తువు సంఖ్య = x

మొత్తం ధర = xy = 288

⇒ x = 288/y --(i)

ప్రతి వస్తువు యొక్క కొత్త ధర = y - 4

విక్రయించబడిన కొత్త వస్తువుల సంఖ్య = x + 12

∴ ప్రశ్న ప్రకారం,

⇒ (x + 12) (y - 4) = xy

⇒ xy - 4x + 12y - 48 = xy

⇒ 4x - 12y = - 48

(i) నుండి

⇒ 4(288/y) - 12y = - 48

⇒ 1152 - 12y2 + 48y = 0

⇒ 12y2 - 48y - 1152 = 0

⇒ y2 - 4y - 96 = 0

⇒ (y - 12) (y + 8) = 0

⇒ y = 12, y = -8

ధర ఋణాత్మకంగా ఉండదు కాబట్టి y = -8 సాధ్యం కాదు.

∴ కొత్త వస్తువు అసలు ధర రూ. 12.

Alternate Method

సాధన:

ప్రశ్న ప్రకారం:

⇒ 288/(x - 4) - 288/x = 12

⇒ x - x + 4/(x - 4) x = 12/288

⇒ 4/(x - 4) x = 1/24

⇒ x (x - 4) = 96

కాబట్టి ఎంపిక నుండి x విలువను ఉంచవచ్చు.

x = 12 ప్రతిక్షేపిస్తే

⇒ 12 × 8 = 96

⇒ 96 = 96 (సమీకరణం సంతృప్తి చెందింది)

∴ సరైన సమాధానం రూ.12

⇒ సమీకరణాలు వాటి వాలు ఒకేలా ఉన్నప్పుడు వాటికి సాధన ఉండదు

⇒ సమీకరణం 1 యొక్క వాలు = - 14/8 = - 7/4

⇒ సమీకరణం 2 యొక్క వాలు = 21/k

⇒ కావున, 21/k = - 7/4

ఇవ్వబడినది:

సమీకరణ వ్యవస్థ:

2x + 3y = 5

4x + ky = 10

కాన్సెప్ట్:

సమీకరణాల వ్యవస్థ

a 1 x + b 1 y = c 1

a 2 x + b 2 y = c 2

అనంతమైన సాధనల కోసం

\(\frac {a_1}{a_2}= \frac {b_1}{b_2}= \frac {c_1}{c_2}\)

గణన:

సమీకరణాల నుండి,

a ₁ = 2, b ₁ = 3, c ₁ = 5

a ₂ = 4, b ₂ = k, c ₂ = 10

అనంతమైన సాధనల కోసం, 2/4 = 3/k

⇒ k = 6

∴ k విలువ 6.

ముఖ్యాంశాలు

ఏకైక సాధన కోసం

\(\frac {a_1}{a_2}≠ \frac {b_1}{b_2}\)

అస్థిరమైన సాధన కోసం

\(\frac {a_1}{a_2}=\frac {b_1}{b_2}≠ \frac {c_1}{c_2}\)

ఇచ్చినది:

రెండు సంఖ్యల మొత్తం = 30

4 x మొదటి సంఖ్య = 3 x రెండవ సంఖ్య + 1

గణన:

రెండు సంఖ్యలు a మరియు b గా అనుకుందాం.

a + b = 30 …(i)

4a = 3b + 1

4a - 3b = 1 …(ii)

(i)ని 3తో గుణించడం మరియు (ii) జోడించడం

3a + 3b = 90

4a - 3b = 1

మనకు a = 13 మరియు b = 17 లభిస్తాయి