ఎత్తులు మరియు దూరాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Heights and Distances - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గోపురం ఎత్తు \( CD = 25\sqrt{3} \, \text{మీ} \). \( D \) నుండి \( A \) మరియు \( B \) లకున్న నిమ్నకోణాలు వరుసగా \( 30^\circ \) మరియు \( 60^\circ \). త్రికోణమితిని ఉపయోగించి:

\[ CA = \frac{CD}{\tan(30^\circ)} = \frac{25\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 75 \, \text{మీ} \]

\[ CB = \frac{CD}{\tan(60^\circ)} = \frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 25 \, \text{మీ} \]

\( A \) మరియు \( B \) ల మధ్య దూరం:

\[ AB = CA - CB = 75 - 25 = 50 \, \text{మీ} \]

కాబట్టి, \( A \) మరియు \( B \) ల మధ్య దూరం:

\[ \boxed{50} \]

ఇవ్వబడింది:

స్తంభం ఎత్తు = 18 మీ

జెండా అడుగుభాగానికి ఊర్ధ్వకోణం = 30°

జెండా పైభాగానికి ఊర్ధ్వకోణం = 60°

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో, ఎత్తు = భూమి × tan(కోణం)

గణనలు:

నేలపై బిందువు నుండి స్తంభం అడుగుభాగానికి దూరాన్ని "x" అనుకుందాం.

స్తంభం అడుగుభాగం నుండి:

స్తంభం ఎత్తు = x × tan(30°)

⇒ 18 = x × (1/√3)

⇒ x = 18 × √3

జెండా పైభాగం నుండి:

మొత్తం ఎత్తు = x × tan(60°)

⇒ మొత్తం ఎత్తు = (18 × √3) × √3

⇒ మొత్తం ఎత్తు = 18 × 3 = 54 మీ

జెండా ఎత్తు = మొత్తం ఎత్తు - స్తంభం ఎత్తు

⇒ జెండా ఎత్తు = 54 - 18

⇒ జెండా ఎత్తు = 36 మీ

∴ జెండా ఎత్తు 36 మీ.

ఇవ్వబడింది:

రమేష్ మట్టి భవనం ఎత్తు = 8 సెం.మీ.

సురేష్ మట్టి భవనం ఎత్తు = 15 సెం.మీ.

భవనాల మధ్య దూరం = 24 సెం.మీ.

లెక్కింపు:

శిఖరాల మధ్య దూరం

⇒ √{24² + 7² }

⇒ √{576 + 49 }

⇒ √625 = 25 సెం.మీ.

వారి మట్టి భవనాల పైభాగాల మధ్య దూరం 25 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:

ప్రారంభంలో ఉన్నత కోణం (θ₁) = 30°

పెరుగుదల తర్వాత ఎత్తు కోణం (θ₂) = 60°

నేలపై ఉన్న బిందువు నుండి చెట్టు అడుగు వరకు దూరం (d) = 300 మీ.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

చెట్టు ఎత్తు (h) = d × tan(θ)

లెక్కలు:

చెట్టు యొక్క ప్రారంభ ఎత్తు (h₁):

h₁ = 300 × tan(30°)

⇒ h₁ = 300 × 1/√3

⇒ h₁ = 300/√3

పెరిగిన తర్వాత చెట్టు ఎత్తు (h₂ ):

h₂ = 300 × tan(60°)

⇒ h₂ = 300 × √3

⇒ h₂ = 300√3

ఎత్తు పెరుగుదల (h₂ - h₁ ):

⇒ 300√3 - 300/√3

⇒ 300(√3 - 1/√3)

⇒ 300( \(\frac{3 - 1}{√3}\) )

⇒ 300(2/√3) = (600 × √3) / 3

⇒ 200√3 ⇒ 200√3

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

ఇవ్వబడింది:

చెట్టు యొక్క అసలు ఎత్తు = 24 మీ.

నేలతో కోణం = 30°

ఉపయోగించిన సూత్రం:

లంబకోణ త్రిభుజంలో, θ కోణం అయితే, θ కి ఎదురుగా ఉన్న భుజం పొడవు ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

ఎదురుగా = కర్ణం× sin θ 

లెక్కింపు:

చెట్టు విరిగిన ఎత్తు h మీటర్లు అనుకుందాం.

విరిగిన తర్వాత, పై భాగం నేలతో లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

ఈ త్రిభుజం యొక్క కర్ణం (24 - గం) మీటర్లు (విరిగిన భాగం యొక్క పొడవు).

30° కోణంకు ఎదురుగా ఉన్న వైపు h మీటర్లు (భూమి నుండి బ్రేక్ బిందువు వరకు ఎత్తు).

sine సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:

h = (24 - h) × sin(30°)

మనకు తెలుసు sin(30°) = 1/2

⇒ h = (24 - h) × 1/2

⇒ 2h = 24 - h

⇒ 2h + h = 24

⇒ 3h = 24

⇒ h = 24 / 3

⇒ h = 8

చెట్టు విరిగిపోయిన ఎత్తు 8 మీటర్లు.

ఇవ్వబడింది : 

BC = 18 మీటర్లు

భావం : 

ఉపయోగించిన సూత్రం : 

Tanθ = లంబం/ఆధారం

Cosθ = ఆధారము/కర్ణము 

లెక్కింపు : 

చెట్టు యొక్క ఎత్తు = AB + AC 

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

Cos 30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

అందువల్ల, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54/√3

⇒ 54/√3 × √3 /√3  (హారం నుంచి వర్గం తొలగించడానికి అకరణీయం చేయగా)

⇒ 54√3 / 3 = 18√3

∴ చెట్టు యొక్క ఎత్తు = 18√3.

తప్పు : ఇక్కడ, చెట్టు యొక్క మొత్తం ఎత్తు (AB + AC).

పై ప్రశ్న మునుపటి సంవత్సరం ప్రశ్న NCERT 10 వ తరగతి నుండి నేరుగా తీసుకోబడింది. సరైన సమాధానం 18√3 అవుతుంది

కింది దశలను ఉపయోగించి మనం ఊర్ధ్వ కోణాన్ని కనుగొనవచ్చు:

సాధన:

దశ 1: భూమిపై ఉన్న బిందువుతో, 20√3 మీ దూరంలో ఉన్న బిందువుతో మరియు శీర్షాలుగా విమానంతో లంబ త్రిభుజాన్ని గీయండి.

భూమిపై ఉన్న రెండు పాయింట్ల మధ్య ఎత్తు వ్యత్యాసాన్ని "h"గా మరియు రెండు పాయింట్ల మధ్య సమాంతర దూరాన్ని "d"గా లేబుల్ చేయండి.

ఊర్ధ్వ కోణాన్ని కనుగొనడానికి స్పర్శ రేఖ చర్యను ఉపయోగించండి:

tan(θ) = \(\frac{h}{d}\).

ఊర్ధ్వ కోణం కోసం పరిష్కరించండి:

\(θ = tan^-1(\frac{h}{d}).\)

ఈ సందర్భంలో, h = 20 మీ మరియు d = 20√3 మీ, కాబట్టి:

\(tan(θ) = \frac{20 }{ (20√3)}\)

\(tan(θ) = \frac{1 }{ √3}\)

\(θ = tan^-1(\frac{1}{ √3})\)
θ = 30°

కాబట్టి ఎత్తు కోణం 30°.

ఇచ్చినది:

ఒక మహిళ తన ఇంటి నుండి 30 మీటర్ల దూరంలో నిలబడి ఉంది. ఆమె పైనుండి ఊర్థ్వ కోణం ఇంటి పైభాగానికి 300 మరియు ఆమె పాదం నుండి ఇంటి పైభాగానికి ఊర్థ్వ కోణం 600.

లెక్కింపు:

ΔABCలో,

⇒ tan30° = AB/BC

⇒ 1/√3 = AB/30 

⇒ AB = 30/√3

⇒ AB = 30√3/(√3 × √3) 

⇒ AB = 10√3 మీ.

ΔAEDలో,

⇒ tan60° = AE/ED

⇒ √3 = (AB + BE)/30

⇒ AB + BE = 30√3

⇒ BE = 30√3 – 10√3

⇒ BE = 20√3 m

ఇల్లు యొక్క మొత్తం ఎత్తు = 10√3 + 20√3 = 30√3

మహిళల ఎత్తు = CD = BE = 20√3

ఇల్లు మరియు మహిళల మొత్తం ఎత్తు = 30√3 + 20√3 = 50√3

∴ ఇల్లు మరియు మహిళల మొత్తం ఎత్తు 50√3 

ఇచ్చినది:

ఒక పాయింట్ వద్ద అసంపూర్తిగా ఉన్న టవర్ పైభాగం యొక్క ఊర్ద్వ కోణం = 30°

పాయింట్  వద్ద పూర్తి చేసిన టవర్ పైభాగం యొక్క ఊర్ద్వ కోణం = 60°

టవర్ నుండి పాయింట్ వరకు దూరం = 78 మీ

గణన:

ఇక్కడ, OC = అసంపూర్తిగా ఉన్న టవర్ ఎత్తు

AC = ఎత్తు పూర్తి చేయబడిన టవర్ యొక్క ఎత్తుగా ఉంటుంది

ΔOBCలో, టాన్ 30° = OC/BC

⇒ 1/√3 = OC/78 [∵ టాన్ 30° = 1/√3]

⇒ OC = 78/√3

⇒ OC = (78 × √3)/(√3 × √3) = 26√3 .....(1)

టవర్ ఎత్తు (AO) = x పెంచబడుతుంది

ΔABCలో, టాన్ 60° = AC/BC

⇒ √3 = (OC + x)/78 [∵ టాన్ 60° = √3]

⇒ x + OC = 78√3

⇒ x + 26√3 = 78√3

⇒ x = 78√3 - 26√3 = 52√3

∴ టవర్ (మీలో) 52√3 మీటర్లు పెంచబడుతుంది

ఇవ్వబడింది:

నిచ్చెన పొడవు = 5 మీ

ఉపయోగించిన భావన:

పైథాగరస్ సిద్దాంతం

గణన:

ప్రశ్న ప్రకారం,

గోడ నుండి నిచ్చెన యొక్క అడుగు భాగం వరకు దూరం \(= \sqrt{5^2 - 3^2}\)

⇒ 4 మీ

ఇప్పుడు ఇది ఇలా అవుతుంది 4 - 2.6 = 1.4 మీ

కాబట్టి, ఎత్తు  \(= \sqrt{5^2 - 1.4^2}\)

⇒ \(\sqrt{25 - 1.96}\)

⇒ \(\sqrt{23.04}\)

⇒ 4.8

కాబట్టి 4.8 - 3 = 1.8 మీ నిచ్చెన పైకి జారుతుంది

∴ గోడ మీద నిచ్చెన 1.8 మీ పైకి జారుతుంది

ఇచ్చిన

16 మీ మరియు 9 మీ పొడవు గల రెండు స్తంభాల మధ్య దూరం x మీటర్లు.

ఒకదానికొకటి దిగువ నుండి వాటి సంబంధిత పైభాగం యొక్క రెండు కోణాలు ఒకదానికొకటి పూరకంగా ఉంటాయి.

కాన్సెప్ట్ ఉపయోగించబడింది

పైభాగం యొక్క రెండు కోణాలు ఒకదానికొకటి పూరకం అయితే H = √ab

ఇక్కడ a మరియు b స్తంభాల పొడవు.

లెక్కింపు

AB మరియు CD లు 16 మీ మరియు 9 మీ పొడవు గల రెండు స్తంభాలు.

B మరియు D వద్ద పూరక కోణం θ మరియు (90 - θ)

రెండు స్తంభాల మధ్య దూరం BD అనేది x మీటర్లు

Δ ABDలో

Tanθ = AB/BD = 16/x - - - -(i)

Δ BDC లో

Tan(90 - θ) = CD/BD = 9/x

Cotθ = 9/x - - - - (ii)

i మరియు ii సమీకరణాలను గుణించండి

⇒ Tanθ × Cotθ = (16/x) (9/x)

⇒ 144/x ² = 1

⇒ x ² = 144

⇒ x = 12 మీ

రెండవ పద్ధతి

పైభాగం యొక్క రెండు కోణాలు ఒకదానికొకటి పూరకం అయితే x = √ab

ఇక్కడ a మరియు b స్తంభాల పొడవు.

x = \(\sqrt {16 \times 9} \)

x = √144

x = 12 మీ

ఇవ్వబడింది:

రెండు గోడల మధ్య దూరం = 100 మీటర్లు

కాన్సెప్ట్:

పొడవైన మెట్టు AC అవుతుంది, ఎందుకంటే చిన్న కోణానికి సంబంధించిన వైపు పెద్ద కోణం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

Calculation:

ఒక్కో గోడ యొక్క ఎత్తు = h  అనుకోండి

BC + CE = BE = 100 

⇒ CE = 100 - BC .......(1) 

ABC త్రిభుజంలో, AB/BC = tan 30° 

⇒ h/BC = 1/√3 

⇒ BC = √3h.......(2)

CDE త్రిభుజంలో, DE/CE = tan 60° 

⇒ h/(100 - BC) = √3 

h/(100 - √3h) = √3 

h = 100√3 - 3h

4h = 100√3 

h = 25√3 మీటర్లు  ......  (3) 

(2) మరియు (3) ల నుండి

BC = √3h = √3 × 25√3

⇒ BC = 75 మీటర్లు

మళ్ళీ ABC త్రిభుజంలో, BC/AC = cos 30° 

⇒ 75/AC = √3/2 

⇒ 150 = √3 × AC 

⇒ AC = 150/√3

⇒ AC = 150/√3 ×√3/√3

∴ AC = 50√3 మీటర్లు

Alternate Methodనిష్పత్తి పద్ధతి ప్రకారం

3 + 1 = 4 = 100 మీటర్లు

\(\Rightarrow 2√{3}= \frac{100}{4}\times 2√{3}\)

AC = 50√3 

ఇచ్చిన

125 మీటర్ల ఎత్తైన టవర్ల నుండి, కారు యొక్క నిమ్న కోణం 45°

కాన్సెప్ట్ ఉపయోగించబడింది

Tan 45° = 1

లెక్కింపు

AB టవర్ ఎత్తు 125 మీ.

C అనేది కారు నిలబడి ఉన్న పాయింట్.

Δ ABC లో

Tan 45° = AB/BC

1 = AB/BC

AB = BC = 125 మీ

టవర్ మరియు కారు మధ్య దూరం 125 మీ.

CD = 10 యూనిట్లు

Δ ABCలో

tan 45 = AB/BC

BC = AB --- (1)

ΔABDలో

tan 60 = AB/BD

⇒ √3 = AB/BD

⇒ AB = √3 BD

BC = √3 BD [సమీకరణం (1) నుండి]

BC = BD + CD

⇒ √3 BD – BD = CD

⇒ BD (√3 – 1) = 10

⇒ BD = 10/(√3 – 1) × [(√3 + 1)/(√3 + 1)]

⇒ BD = 10 (√3 + 1)/2

⇒ BD = 5 (1.732 + 1)

⇒ BD = 5 × 2.732

⇒ BD = 13.66 యూనిట్లు

⇒ 10 యూనిట్లు = 10 నిముషాలు

⇒ 13.66 యూనిట్లు = 13 నిముషాలు 40 సెకన్లు

షార్ట్ ట్రిక్:

(√3 – 1) యూనిట్ = 10 నిముషాలు

1 యూనిట్ = 10/(√3 - 1) × [(√3 + 1)/(√3 + 1)]

⇒ 1 యూనిట్ = 10 (√3 + 1)/2 = 5 (1.732 + 1) = 5 × 2.732 = 13.66

⇒ 13.66 = 13 నిముషాలు 40 సెకన్లు

చిత్రంలో, AB = 18 అడుగులు, CD = 6 అడుగులు మరియు AC = 10 అడుగులు

చెట్టు నీడ, CO = k అడుగులు

ప్రశ్న ప్రకారం,

⇒ AB/AO = CD/CO

⇒ 18/(10 + k) = 6/k

⇒ 18k = 60 + 6k

⇒ 12k = 60

⇒ k = 5

చెట్టు నీడ యొక్క పొడవు = 5 అడుగులు