Heights and Distances MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Heights and Distances - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கொடுக்கப்பட்டது:

30 மீ மற்றும் 14 மீ உயரம் கொண்ட இரண்டு துருவங்களின் மேற்பகுதிகள் ஒரு சரத்தால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. கம்பி கிடைமட்டத்துடன் 30° கோணத்தை உருவாக்கினால்.

கணக்கீடு:

கம்பியின் நீளம் h ஆக இருக்கட்டும்.

துருவத்தின் உயரம் 1 = 30 மீ

AB = 30 - 14 = 16 மீ

ΔABC இல்,

Sin30° = AB/AC

⇒ \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{16}{h}\)

⇒ h = 32 மீ

∴ கம்பியின் நீளம் 32 மீ.

கொடுக்கப்பட்டது:

கோபுர அடிப்பகுதியிலிருந்து தொலைவு (d) = 44 மீ

ஏற்றக் கோணம் (θ) = 60°

tan(60°) = √3 = 1.73

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

tan(θ) = உயரம் / தொலைவு

கணக்கீடு:

tan(60°) = h / d

⇒ √3 = h / 44

⇒ h = 44 x 1.73

⇒ h = 76.12 மீட்டர்

∴ கோபுரத்தின் உயரம் 76.12 மீட்டர்.

கொடுக்கப்பட்டது:

குச்சியின் நீளம் = 11 மீ

குச்சியின் நிழலின் நீளம் = 7 மீ

கோபுரத்தின் நிழலின் நீளம் = 35 மீ

சூத்திரம்:

கோபுரத்தின் உயரம் / கோபுரத்தின் நிழலின் நீளம் = குச்சியின் நீளம் / குச்சியின் நிழலின் நீளம்

கணக்கீடு:

கோபுரத்தின் உயரம் h மீட்டர் என்க.

\( \frac{h}{35} = \frac{11}{7} \)

⇒ h x 7 = 11 x 35

⇒ 7h = 385

⇒ h = 385 / 7

⇒ h = 55 மீட்டர்

∴ கோபுரத்தின் உயரம் 55 மீட்டர்.

கொடுக்கப்பட்டது:

மின் கம்பத்தின் நிழல் = 42 மீ

மரத்தின் உயரம் = 12 மீ

மரத்தின் நிழல் = 16 மீ

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

ஒரு பொருளின் உயரத்திற்கும் அதன் நிழலின் நீளத்திற்கும் இடையிலான விகிதம் ஒரே நேரத்தில் மாறிலியாக இருக்கும்.

உயரம்₁ / நிழல்₁ = உயரம்₂ / நிழல்₂

கணக்கீடு:

மின் கம்பத்தின் உயரம் h மீட்டர் என்க.

ஒத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி:

கம்பத்தின் உயரம் / கம்பத்தின் நிழல் = மரத்தின் உயரம் / மரத்தின் நிழல்

⇒ h / 42 = 12 / 16

⇒ h = (12 x 42) / 16

⇒ h = 504 / 16

⇒ h = 31.5

∴ மின் கம்பத்தின் உயரம் 31.5 மீ.

கொடுக்கப்பட்டது:

தூணின் உயரம் = 18 மீ

கொடியின் அடிப்பகுதிக்கு ஏற்றக் கோணம் = 30°

கொடியின் உச்சிக்கு ஏற்றக் கோணம் = 60°

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், உயரம் = அடிப்பக்கம் x tan(கோணம்)

கணக்கீடுகள்:

நிலத்தில் உள்ள புள்ளியிலிருந்து தூணின் அடிப்பகுதிக்கு உள்ள தூரத்தை "x" என்க.

தூணின் அடிப்பகுதியிலிருந்து:

தூணின் உயரம் = x x tan(30°)

⇒ 18 = x x (1/√3)

⇒ x = 18 x √3

கொடியின் உச்சியிலிருந்து:

மொத்த உயரம் = x x tan(60°)

⇒ மொத்த உயரம் = (18 x √3) x √3

⇒ மொத்த உயரம் = 18 x 3 = 54 மீ

கொடியின் உயரம் = மொத்த உயரம் - தூணின் உயரம்

⇒ கொடியின் உயரம் = 54 - 18

⇒ கொடியின் உயரம் = 36 மீ

∴ கொடியின் உயரம் 36 மீ.

கொடுக்கப்பட்டவை:

BC = 18 மீ

கருத்து:

பயன்படுத்தபட்ட சூத்திரம்:

Tanθ = செங்குத்து/அடி

Cosθ = அடி/கர்ணம்

கணக்கீடு:

மரத்தின் உயரம் = AB + AC

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

Cos 30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

எனவே, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54 / √3

⇒ 54/√3 × √3 /√3  (பகுதியிலிருந்து மூலத்தை அகற்ற விகிதமாக்கல்)

⇒ 54√3 / 3 = 18√3

∴ மரத்தின் உயரம் = 18√3.

பின்வரும் படிகளைப் பயன்படுத்தி உயரத்தின் கோணத்தைக் கண்டறியலாம்:

கணக்கீடு:

படி 1: தரையில் உள்ள புள்ளி, 20√3 மீ தொலைவில் உள்ள புள்ளி மற்றும் விமானம் செங்குத்து புள்ளிகளுடன் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை வரையவும்.

தரையில் உள்ள இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள உயர வித்தியாசத்தை "h" என்றும், இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள கிடைமட்ட தூரத்தை "d" என்றும் குறிப்பிடுக.

உயரத்தின் கோணத்தைக் கண்டறிய தொடுகோடு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும்:

tan(θ) = \(\frac{h}{d}\) .

உயரத்தின் கோணத்தை தீர்க்கவும்:

\(θ = tan^-1(\frac{h}{d}).\)

இந்தநிலையில், h = 20 மீ மற்றும் d = 20√3 மீ, எனவே:

\(tan(θ) = \frac{20 }{ (20√3)}\)

\(tan(θ) = \frac{1 }{ √3}\)

\(θ = tan^-1(\frac{1}{ √3})\)
θ = 30°

எனவே உயரத்தின் கோணம் 30° ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை:

ஏணியின் நீளம் = 5 மீ 

பயன்படுத்தப்பட்ட கோட்பாடு:

பித்தாகரஸ் தேற்றம்

கணக்கீடு:

கேள்வியின்படி,

சுவரில் இருந்து ஏணியின் அடிப்பகுதி வரை உள்ள தூரம்

 \(= \sqrt{5^2 - 3^2}\)

⇒ 4 மீ

இப்போது அது 4 - 2.6 = 1.4 மீ ஆக மாறும்

எனவே உயரம் \(= \sqrt{5^2 - 1.4^2}\)

⇒ \(\sqrt{25 - 1.96}\)

⇒ \(\sqrt{23.04}\)

⇒ 4.8

எனவே ஏணி மேல்நோக்கி 4.8 - 3 = 1.8 மீ சரியும் 

∴ ஏணியின் மேற்பகுதி சுவரில் மேல்நோக்கி 1.8 மீ சரியும்.

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை 

16 மீ மற்றும் 9 மீ நீளமுள்ள இரண்டு தூண்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் x மீட்டர்.

கீழிருந்து அந்தந்த மேற்பகுதியின் இரு ஏற்றக்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்பிகள்  ஆகும்.

பயன்படுத்தப்பட்ட கோட்பாடு 

இரு ஏற்றக்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்பிகளாக இருப்பின் H = √ab

இதில் a மற்றும் b ஆகியவை தூண்களின் நீளங்களாகும்.

கணக்கீடு 

AB மற்றும் CD ஆகியவை 16 மீ மற்றும் 9மீ நீளமுள்ள இரு தூண்கள்.

B மற்றும் Dஇல் உள்ள ஏற்றக்கோணத்தை θ மற்றும் (90 - θ) எனக்கொள்க.

இரு தூண்களுக்கு இடையிலான தொலைவு BD என்பது x மீட்டர் 

Δ ABDஇல் 

Tanθ = AB/BD = 16/x       - - - -(i)

Δ BDCஇல்

Tan(90 - θ) = CD/BD = 9/x

Cotθ = 9/x                       - - - - (ii)

சமன்பாடு i மற்றும் ii-ஐப் பெருக்க 

⇒ Tanθ × Cotθ = (16/x) (9/x)

⇒ 144/x² = 1

⇒ x² = 144

⇒ x = 12 மீ 

இரண்டாம் முறை 

இரு ஏற்றக்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்பிகளாக இருப்பின் x = √ab

இதில் a மற்றும் b ஆகியவை தூண்களின் நீளங்களாகும்.

x = \(\sqrt {16 \times 9} \)

x = √144

x = 12 மீ 

கொடுக்கப்பட்டது:

இரண்டு சுவர்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் = 100 மீ

கருத்து:

பெரிய கோணத்தை உருவாக்குவதை விட சிறிய கோணம் பெரியதாக இருப்பதால், நீளமான படிக்கட்டு ஏசியாக இருக்கும்.

கணக்கீடு:

சுவர்கள் ஒவ்வொன்றின் உயரம் = h

BC + CE = BE = 100

⇒ CE = 100 - BC .......(1)

ABC முக்கோணத்தில், AB/BC = பழுப்பு 30°

⇒ h/BC = 1/√3

⇒ BC = √3h.......(2)

முக்கோண CDE இல், DE/CE = பழுப்பு 60°

⇒ h/(100 - BC) = √3

h/(100 - √3h) = √3

h = 100√3 - 3h

4h = 100√3

h = 25√3 மீ ...... (3)

மூலம் (2) மற்றும் (3)

BC = √3h = √3 × 25√3

⇒ BC = 75 மீ

மீண்டும் முக்கோணத்தில் ABC, BC/AC = cos 30°

⇒ 75/AC = √3/2 

⇒ 150 = √3 × AC 

⇒ AC = 150/√3

⇒ AC = 150/√3 ×√3/√3

∴ AC = 50√3 மீ

Alternate Method  விகித முறை மூலம்
 

3 + 1 = 4 = 100 மீ

\(\Rightarrow 2√{3}= \frac{100}{4}\times 2√{3}\)

AC = 50√3 

கொடுக்கப்பட்டது:

கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் = 100 மீ

கணக்கீடு:

முக்கோணம் ADC இல், AD/DC = tan 45°

⇒ AD/DC = 1 [tan 45° = 1]

⇒ AD = DC = 100 மீ

முக்கோணம் ABD இல், AD/BD = tan 30°

⇒ 100/BD = 1/√3 [tan 30° = 1/√3]

⇒ BD = 100 x √3 = 173 மீ [√3 = 1.73]

⇒ BC = BD + DC

⇒ 173 + 100 = 273 மீ

∴ இரண்டு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம் 273 மீ

கொடுக்கப்பட்ட தரவு:

குன்றின் மேல் இருந்து கோபுரத்தின் உச்சி வரை தாழ்வு கோணம் = 30º

குன்றின் முதல் கோபுரத்தின் அடிப்பகுதி வரை உள்ள தாழ்வு கோணம் = 60º

குன்றின் உயரம் = 195 மீ

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

டான் θ = p / b

"p" மற்றும் "b" ஆகியவை செங்குத்தாகவும், வலது கோண முக்கோணத்தின் அடிப்பாகவும் இருக்கும்.

கணக்கீடு:

Let, CE = (195 – x) m, மற்றும் AB = ym

இப்போது, △CDE க்கு

tan30° = (△195 – x) / y

⇒ y = (195 – x)√3

மேலும், △ABCக்கு

tan60° = 195 / y

⇒ y = 195/ √3

இப்போது,

Y = (195 – x)√3 = 195/ √3

⇒ 195 = 585 – 3x

⇒ 3x = 390

⇒ x = 130

∴ கோபுரத்தின் உயரம் 130 மீ.

கொடுக்கப்பட்டவை

125 மீ உயரமான கோபுரத்திலிருந்து, ஒரு காரின் தாழ்வு கோணம் 45° ஆகும்.

பயன்படுத்தப்படும் கருத்து

Tan 45° = 1

கணக்கீடு

AB என்பது கோபுரத்தின் உயரம் அதாவது 125 மீ.

C என்ற புள்ளியில் கார் உள்ளது.

Δ ABC - இல்

Tan 45° = AB/BC

1 = AB/BC

AB = BC = 125 மீ

கார் மற்றும் கோபுரத்திற்கு இடையேயான தூரம் 125 மீ ஆகும்.

CD = 10அலகு

 Δ ABC இல்

tan 45 = AB/BC

BC = AB     --- (1)

 ΔABD இல்

tan 60 = AB/BD

⇒ √3 = AB/BD

⇒ AB = √3 BD

BC = √3 BD   [(1) சமன்பாட்டிலிருந்து ]

BC = BD + CD

⇒ √3 BD – BD = CD

⇒ BD (√3 – 1) = 10

⇒ BD = 10/(√3 – 1) × [(√3 + 1)/(√3 + 1)]

⇒ BD = 10 (√3 + 1)/2

⇒ BD = 5 (1.732 + 1)

⇒ BD = 5 × 2.732

⇒ BD = 13.66 அலகு

⇒ 10 அலகு = 10 நிமிடம்

⇒ 13.66 அலகு = ​13 நிமிடம் 40 நொடி

குறுகிய தந்திரம்:

(√3 – 1) அலகு= 10 நிமிடம்

1 அலகு = 10/(√3  - 1) × [(√3 + 1)/(√3 + 1)]

⇒ 1 அலகு = 10 (√3 + 1)/2 = 5 (1.732 + 1) = 5 × 2.732 = 13.66

⇒ 13.66  = 13 நிமிடம் 40 நொடி

கொடுக்கப்பட்டது:

18 அடி உயரமுள்ள ஒரு மின் கம்பம்.

மரத்தின் உயரம் 6 அடி.

அவற்றுக்கிடையேயான தூரம் 10 அடி.

கணக்கீடு:

படத்தில், AB = 18 அடி, CD = 6 அடி மற்றும் AC = 10 அடி

மரத்தின் நிழல், CO = k அடி என்க.

கேள்வியின்படி,

ΔABO மற்றும் ΔCDO இரண்டும் ஒத்த முக்கோணங்கள்

⇒ AB/AO = CD/CO

⇒ 18/(10 + k) = 6/k

⇒ 18k = 60 + 6k

⇒ 12k = 60

⇒ k = 5

∴ மரத்தின் நிழலின் நீளம் = 5 அடி

mistake points

நாம் மரம் மற்றும் மின் கம்பத்தின் நடுவில் நிழல் புள்ளியை எடுத்துக்கொள்ளலாம், இது சரியானது அல்ல, ஏனெனில் அவை ஒன்றுக்கொன்று எதிரே இருப்பதாகக் கூறப்படவில்லை.