त्रिकोण MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Triangle - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

शिरोबिंदू पासूनची उंची 12 सेमी आहे.

वापरलेले सूत्र:

समभुज त्रिकोणाच्या बाबतीत, उंची (h) पुढीलप्रमाणे दिली जाते:

h = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times a\)

येथे a ही त्रिकोणाची बाजू आहे.

समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ (A) पुढीलप्रमाणे दिले जाते:

A = \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\)

गणना:

दिलेले आहे: h = 12 सेमी

⇒ 12 = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times a\)

⇒ a = \(\dfrac{12 \times 2}{\sqrt{3}}\)

⇒ a = \(\dfrac{24}{\sqrt{3}}\)

⇒ a = 8√3 सेमी

आता, क्षेत्रफळाचे सूत्र वापरून:

A = \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times (8\sqrt{3})^2\)

⇒ A = \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 192\)

⇒ A = 48√3 सेमी²

∴ पर्याय 2 योग्य आहे.

दिलेले आहे:

समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 16√3 चौरस सेमी

वापरलेले सूत्र:

समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = (√3/4) × a2

येथे, a = बाजूची लांबी

गणना:

(√3/4) × a2 = 16√3

⇒ a2 = (16√3 × 4)/√3

⇒ a2 = 16 × 4

⇒ a2 = 64

⇒ a = √64

⇒ a = 8 सेमी

∴ पर्याय 2 योग्य आहे.

दिलेले आहे:

कर्ण (c) = 10 एकक

एक बाजू (a) = 8 एकक

वापरलेले सूत्र:

पायथागोरसचे प्रमेय: c² = a² + b²

काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = (1/2) × पाया × उंची

गणना:

पायथागोरसच्या प्रमेयाचा वापर करून दुसरी बाजू (b) शोधू:

10² = 8² + b²

⇒ 100 = 64 + b²

⇒ b² = 100 - 64

⇒ b = √36 = 6 एकक

क्षेत्रफळ = (1/2) × पाया × उंची

क्षेत्रफळ = (1/2) × 8 × 6

क्षेत्रफळ = (1/2) × 48

क्षेत्रफळ = 24 चौरस एकक

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 24 चौरस एकक आहे.

दिलेले आहे:

ΔPQR मध्ये, ∠Q = ∠R

QR = 12 सेमी

PR = 10 सेमी

PS ही उंची आहे

वापरलेले सूत्र:

समद्विभुज त्रिकोणातील शिरोबिंदूपासून पायावर काढलेली उंची पायाला दुभागते.

पायथागोरसचे प्रमेय: a² + b² = c²

गणना:

∠Q = ∠R असल्याने, ΔPQR हा एक समद्विभुज त्रिकोण आहे, ज्याचा पाया QR आहे.

समजा, PQ = PR = 10 सेमी आणि S हा QR चा मध्यबिंदू आहे.

अशाप्रकारे, QS = SR = 12/2 = 6 सेमी.

ΔPQS मध्ये, पायथागोरसचे प्रमेय लागू केल्यास:

PS² + QS² = PQ²

⇒ PS² + 6² = 10²

⇒ PS² + 36 = 100

⇒ PS² = 100 - 36

⇒ PS² = 64

⇒ PS = √64

⇒ PS = 8 सेमी

PS ची लांबी 8 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

जर समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 25√3 चौरस सेमी असेल, तर त्या त्रिकोणाची परिमिती असेल:

वापरलेले सूत्र:

समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = (√3/4) × बाजू²

परिमिती = 3 × बाजू

गणना:

(√3/4) × बाजू² = 25√3

⇒ बाजू² = (25√3 × 4) / √3

⇒ बाजू² = 100

⇒ बाजू = √100

⇒ बाजू = 10

परिमिती = 3 × बाजू

⇒ परिमिती = 3 × 10

⇒ परिमिती = 30 सेमी

∴ पर्याय (3) योग्य आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

समभुज त्रिकोणाच्या बाजू 34% ने वाढल्या आहेत. 

वापरलेले सूत्र:

प्रभावी वाढ % = Inc.% + Inc.% + (Inc.2/100)

गणना:

प्रभावी वाढ = 34 + 34 + {(34 × 34)/100}

⇒ 68 + 11.56 = 79.56%

∴ योग्य उत्तर 79.56% आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

समद्विभुज त्रिकोण ABC मध्ये,

AB = AC = 26 सेमी आणि BC = 20 सेमी.

गणना:

ABC या त्रिकोणामध्ये,

∆ADC = 90° (समद्विभुज त्रिकोणातील मध्यबिंदूवर विरुद्ध शिरोबिंदूपासून असमान बाजूपर्यंत रेषेने तयार केलेला कोन 90° आहे)

तर,

AD² + BD² = AB² (पायथागोरस प्रमेयानुसार)

⇒ AD² = 576

⇒ AD = 24

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½(पाया × उंची)

⇒ ½(20 × 24) (त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = (1/2) पाया × उंची)

⇒ 240 सेमी²

∴ योग्य निवड पर्याय 2 आहे.

त्रिकोणाची अर्धपरिमिती (s) = 28/2 = 14

आपल्याला माहित आहे की,

Shortcut Trick

∠BAC = 75º

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

∠ABC + ∠ACB + 75° = 180°

∠ABC + ∠ACB = 180° - 75° = 105°

समजा, ∠ABC = ∠PBQ = 70° आणि ∠ACB = ∠RCQ = 35°

तर, ∠PQR = 180° - (∠PQB + ∠RQC)

= 180° - [(180° - 2∠PBQ) + (180° - 2∠RCQ)  [∵ BQ = PQ; QC = QR]

= 180° - [(180° - 2 × 70°) + (180° - 2 × 35°)]

= 180° - (40° + 110°)

= 180° - 150°

= 3

Alternate Method

दिल्याप्रमाणे:

ΔABC मध्ये, ∠BAC = 75º

BQ = PQ आणि QC = QR

वापरलेली संकल्पना:

त्रिकोणाच्या तीनही कोनांची बेरीज = 180°

एका सरळ रेषेवरील सर्व कोनांची बेरीज = 180°

गणना:

समजा, ∠ABC = x आणि ∠ACB = y

तर, ∠ABC = ∠PBQ = ∠QPB = x  [∵ BQ = PQ]

∠ACB = ∠RCQ = ∠QRC = y  [QC = QR]

ΔABC मध्ये, ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

⇒ x + y + 75° = 180°

⇒ x + y = 180° - 75° = 105°   .....(1)

For ΔBPQ आणि  ΔCRQ च्या साठी,

(∠PBQ + ∠QPB + ∠PQB) + (∠RCQ + ∠QRC + ∠RQC) = 180° + 180° = 360°

⇒ (x + x + ∠PQB) + (y + y + ∠RQC) = 360°

⇒ 2x + 2y + ∠PQB + ∠RQC = 360°

⇒ 2 (x + y) + ∠PQB + ∠RQC = 360°

⇒ (2 × 105°) + ∠PQB + ∠RQC = 360°  [∵ x + y = 105°]

⇒ ∠PQB + ∠RQC = 360° - 210° = 150°   .....(2)

तसेच, ∠PQB + ∠RQC + ∠PQR = 180°

⇒ 150° + ∠PQR = 180°  [∵ ∠PQB + ∠RQC = 150°]

⇒ ∠PQR = 180° - 150° = 30°

∴ ∠PQR चे माप (अंशांमध्ये) 30° आहे.

दिलेले,

समद्विभुज त्रिकोणाच्या दोन समान बाजूंपैकी एक बाजू, a = 20 सेमी 

त्रिकोणाची परिमिती = 72 सेमी 

सूत्र:

समद्विभुज त्रिकोणाची परिमिती = 2a + b

समद्विभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = (b/4) × √(4a2 – b2) 

पडताळा:

समजा, a = 20 सेमी  

2a + b = 72

⇒ 2 × 20 + b = 72

⇒ 40 + b = 72

⇒ b = 72 – 40

⇒ b = 32

समद्विभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ  = (32/4) × √(4 × 202 – 322)

⇒ 8 × √(4 × 400 – 1024)

⇒ 8 × √(1600 – 1024)

⇒ 8 × √576

⇒ 8 × 24

⇒ 192 सेमी2

∴ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 192 सेमी2  आहे.

समांतर उकल 

तिसरी बाजू  = 72 – 2 × 20 = 72 – 40 = 32

अर्धपरिमिती, s = 72/2 = 36

आता,

क्षेत्रफळ = √[s (s – a) (s – b) (s – c)] = √[36(36 – 32)(36 - 20)(36 - 20)] = √(36 × 4 × 16 × 16) = 16 × 4 × 3 = 192 सेमी2

दिलेल्याप्रमाणे

चतुर्भुजाचे क्षेत्रफळ = 12√3 सेमी²

वापरलेली संकल्पना:

जसे आपणास माहित आहे की, त्रिकोणाचा मध्य त्रिकोणास समान भागांमध्ये विभाजित करतो

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = (√3/4) (बाजू)² 

गणना

⇒ ΔABC चे क्षेत्रफळ = BDGF चतुर्भुजाचे क्षेत्रफळ × 3 

⇒ ΔABC चे क्षेत्रफळ = 12√3 × 3 

⇒ΔABC चे क्षेत्रफळ = 36√3 सेमी²

⇒ 36√3 = (√3/4) × (बाजू)²

⇒ बाजू = 12 सेमी

∴ ΔABC ची बाजू 12 सेमी आहे.

दिले:

समभुज त्रिकोणाची बाजू 12 सेमी आहे.

वापरलेली संकल्पना:

समभुज त्रिकोणाची परिक्रमा करणाऱ्या वर्तुळाची त्रिज्या = बाजू/√3

गणना:

संकल्पनेनुसार,

वर्तुळाची त्रिज्या = 12/√3

⇒ (4 x 3)/√3

∵ 3 = √3 x √3 = ( √3) 2

⇒ 4 x( √3) ² / √3

⇒ 4√3

∴ या समभुज त्रिकोणाची परिक्रमा करणाऱ्या वर्तुळाची त्रिज्या 4√3 सेमी आहे.

संकल्पना:

पायथागोरस प्रमेय:

(AB)2 = (BD)2 + (AD)2

समभुज त्रिकोण:

AB = BC = AC

∠A = ∠B = ∠C = 60°

गणना:

(6√3)2 = (BD)2 + 92

⇒ BD = 3√3 सेमी

∵ DC = BD = 3√3 सेमी

∴ BC = AC = AB = 6√3 सेमी आणि

∠A = ∠B = ∠C = 60°

∴ ABC हा समभुज त्रिकोण आहे.

दिलेले आहे

समभुज त्रिकोण हा एका वर्तुळात अंतर्लिखित आहे

समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 4√3 चौ. सेमी

वापरलेली संकल्पना 

समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = \(\frac{{√ 3 }}{4}{a^2}\)

गणना

\(\frac{{√ 3 }}{4}{a^2}\) = 4√3 

a² = 16

a = 4

समभुज त्रिकोणाची परिमिती = \(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

r = \(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\)

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = πr2

πr2 = \(\pi \times \frac{4}{{\sqrt 3 }} \times \frac{4}{{\sqrt 3 }}\)

क्षेत्रफळ = \(\dfrac{16}{3}\pi\) चौ. सेमी

AD = DF = FB = x एकक आणि AE = EG = GC = y एकक असे मानू

प्रश्नानुसार,

⇒ ΔADE चे क्षेत्रफळ/ΔABC चे क्षेत्रफळ = (AD/AB)²

⇒ ΔADE चे क्षेत्रफळ/63 = (x/3x)²

⇒ ΔADE चे क्षेत्रफळ = 63 × 1/9

⇒ ΔADE चे क्षेत्रफळ = 7

प्रश्नानुसार,

⇒ ΔAFG चे क्षेत्रफळ/ΔABC चे क्षेत्रफळ = (AF/AB)²

⇒ ΔAFG चे क्षेत्रफळ/63 = (2x/3x)²

⇒ ΔAFG चे क्षेत्रफळ = 63 × 4/9

⇒ ΔAFG चे क्षेत्रफळ = 28

∴ चतुर्भुज DEGF चे क्षेत्रफळ = (ΔAFG - ΔADE) चे क्षेत्रफळ = (28 - 7) = 21 चौ. एकक