Triangle MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Triangle - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിന്റെ പാദത്തിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്ന ഉയരം 8 സെന്റിമീറ്ററും ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 32 സെന്റിമീറ്ററുമാണ്.

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 1/2 × പാദം × ഉയരം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിന്റെ തുല്യ വശങ്ങൾ x ആകട്ടെ

അപ്പോൾ, പാദം = 32 - 2x

ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിലായിരിക്കുമ്പോൾ, പാദത്തിലേക്ക് വരച്ച ഉയരം പാദത്തെ  വിഭജിക്കുന്നു.

അപ്പോൾ, അതനുസരിച്ച്,

BD = DC = BC/2 = 16 - x

ഇപ്പോൾ,

82 + (16 - x)2 = x2

⇒ 64 + 256 + x2 - 32x = x2

⇒ 32x = 320

⇒ x = 10

അപ്പോൾ, പാദം 32 - 20 ആണ്

⇒ 12 സെ.മീ

ഇപ്പോൾ,

വിസ്തീർണ്ണം = 1/2 × 8 × 12

⇒ 48 സെ.മീ ²

∴ ആവശ്യമായ ഉത്തരം ഓപ്ഷൻ 4 ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് തുല്യ കോണുകൾ മൂന്നാമത്തെ കോണിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, എല്ലാ കോണുകളുടെയും തുക 180° ആണ്.

കണക്കുകൂട്ടൽ:

മൂന്നാമത്തെ കോൺ x ഡിഗ്രി ആയിരിക്കാം

അതിനാൽ, മറ്റ് രണ്ട് കോണുകൾ 2x ഡിഗ്രിയാണ്.

അതിനാൽ,

 x + 2x + 2x = 180°

⇒ 5x = 180°

⇒ x = 36°

അതിനാൽ, മൂന്നാമത്തെ കോൺ 36° ആണ്

∴ ആവശ്യമായ ഉത്തരം 36° ആണ്.

നൽകിയത്:

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 4 cm²

ത്രികോണത്തിന്റെ പാദം = 3 cm

ഉപയോഗിച്ച ആശയം:

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ചോദ്യം അനുസരിച്ച്,

വിസ്തീർണ്ണം = 4

⇒ \(\frac{1}{2}\) × പാദം × ഉയരം = 4

⇒ 3 × ഉയരം = 4 × 2

⇒ ഉയരം = \(\frac{8}{3}\)

ഉയരം = \(2\frac{2}{3}\) cm

അതിനാൽ, അനുബന്ധ ഉയരത്തിന്റെ ആവശ്യമായ മൂല്യം \(2\frac{2}{3}\) cm ആണ്.

ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങള്‍ 15 സെ.മീ, 28 സെ.മീ, 41 സെ.മീ എന്നിവയാണ്.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം, \(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

ഇവിടെ, s = അര്‍ദ്ധചുറ്റളവ് = \(\dfrac{a+b+c}{2}\)

ഒരു വശത്തിന് (b) അനുയോജ്യമായ ഉയരം (h) ഇപ്രകാരം നല്‍കിയിരിക്കുന്നു:

\(A = \dfrac{1}{2} \times b \times h\)

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

ആദ്യം, അര്‍ദ്ധചുറ്റളവ് (s) കണക്കാക്കുക:

s = \(\dfrac{15+28+41}{2}\)

⇒ s = 42

അടുത്തതായി, ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം (A) കണക്കാക്കുക:

A = \(\sqrt{42(42-15)(42-28)(42-41)}\)

⇒ A = \(\sqrt{42 \times 27 \times 14 \times 1}\)

⇒ A = \(\sqrt{15876}\)

⇒ A ≈ 126 ചതുരശ്ര സെ.മീ

ഇപ്പോള്‍, 28 സെ.മീ നീളമുള്ള വശത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഉയരം  കണ്ടെത്താന്‍ വിസ്തീര്‍ണ്ണം ഉപയോഗിക്കുക:

\(A = \dfrac{1}{2} \times b \times h\)

126 = \(\dfrac{1}{2} \times 28 \times h\)

⇒ 126 = 14h

⇒ h = \(\dfrac{126}{14}\)

⇒ h = 9 സെ.മീ

∴ ശരിയായ ഉത്തരം ഓപ്ഷന്‍ (4) ആണ്.

പ്രയോഗിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തം:

പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം :

⇒ H2 = P2 + B2

മട്ട ത്രികോണത്തിൻറെ വിസ്തീർണ്ണം = ½ x പാദം x ഉയരം

കണക്കുകൂട്ടൽ:

വശങ്ങൾ = (x - 2), (x - 4), x സെ.മീ

പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നു,

⇒ x2 = (x - 2)2 + (x - 4)2

⇒ x2 = x2 + 4 - 4x + x2 + 16 - 8x

⇒ x2 = 2x2 - 12x + 20

⇒ x2 - 12x + 20 = 0

⇒ x2 -10x - 2x + 20 = 0

⇒ x(x - 10) - 2(x - 10) = 0

⇒ (x - 10) (x - 2) = 0

⇒ x = 10 or 2

⇒ x = 2, ഒരു വശം 0 ആകുന്നതിനാൽ സാധ്യമല്ല.

അതിനാൽ, x = 10.

വശങ്ങൾ 8, 6, 10 ആണ്.

ത്രികോണത്തിൻറെ വിസ്തീർണ്ണം = ½ x 8 x 6

⇒ 24

∴ ത്രികോണത്തിൻറെ വിസ്തീർണ്ണം = 24 സെ.മീ2.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

സമപാർശ്വ ത്രികോണമായ ABCയിൽ,

AB = AC = 26 cm, BC = 20 cm.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ:

ത്രികോണം ABC യിൽ,

∆ADC = 90° (സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിലെ മദ്ധ്യ ബിന്ദുവിൽ, എതിർ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് അസമമായ വശത്തേക്ക്, ഒരു രേഖ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന കോൺ 90° ആണ്)

അതിനാൽ,

AD² + BD² = AB² (പൈഥഗോറസ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്)

⇒ AD² = 576

⇒  AD = 24

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = ½(പാദം × ഉയരം)

⇒ ½(20 × 24) (ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = (1/2) പാദം × ഉയരം)

⇒  240 cm²

∴ ഓപ്ഷൻ 2 ആണ് ശരിയായ ഉത്തരം.

തന്നിരിക്കുന്നത്,

ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് തുല്യവശങ്ങളിൽ ഒന്ന്, a = 20 സെ.മീ.

ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 72 സെ.മീ.

സൂത്രവാക്യം:

ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 2a + b

ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണം = (b/4) × √(4a2 – b2)

കണക്കുകൂട്ടൽ:

a = 20 സെ.മീ. ആണെന്ന് കരുതുക.

2a + b = 72

⇒ 2 × 20 + b = 72

⇒ 40 + b = 72

⇒ b = 72 – 40

⇒ b = 32

ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണം = (32/4) × √(4 × 202 – 322)

⇒ 8 × √(4 × 400 – 1024)

⇒ 8 × √(1600 – 1024)

⇒ 8 × √576

⇒ 8 × 24

⇒ 192 സെ.മീ2

∴ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണം192 സെ.മീ2 ആണ്.

ബദൽ പരിഹാരം 

മൂന്നാമത്തെ വശം = 72 – 2 × 20 = 72 – 40 = 32

അർദ്ധ ചുറ്റളവ്, s = 72/2 = 36

ഇപ്പോൾ,

വിസ്തീർണം = √[s (s – a) (s – b) (s – c)] = √[36(36 – 32)(36 - 20)(36 - 20)] = √(36 × 4 × 16 × 16) = 16 × 4 × 3 = 192 സെ.മീ2

നൽകിയിരിക്കുന്നത്

സമഭുജ ത്രികോണം ഒരു വൃത്തത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്നു

സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 4√3 cm²

ഉപയോഗിച്ച ആശയം

സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = \(\frac{{√ 3 }}{4}{a^2}\)\(\frac{{√ 3 }}{4}{a^2}\)

കണക്കുകൂട്ടൽ 

 \(\frac{{√ 3 }}{4}{a^2}\)\(\frac{{√ 3 }}{4}{a^2}\) = 4√3 

a² = 16

a = 4

സമഭുജ ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് (പരിവ്യാസാർദ്ധം) = \(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

\(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

 r =\(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\)

വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = πr²

πr² = \(\pi \times \frac{4}{{\sqrt 3 }} \times \frac{4}{{\sqrt 3 }}\)\(\pi \times \frac{4}{{\sqrt 3 }} \times \frac{4}{{\sqrt 3 }}\)

വിസ്തീർണ്ണം = \(\dfrac{16}{3}\pi\)\(\dfrac{16}{3}\pi\) cm²

AD = DF = FB = x യൂണിറ്റുകളും AE = EG = GC = y യൂണിറ്റുകളുംആണെന്ന് കരുതുക 

ചോദ്യമനുസരിച്ച്,

ΔADE ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം / ΔABC ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = (AD / AB) 2

ΔADE ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം / 63 = (x / 3x)2  

ΔADE ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 63 × 1/9 

ΔADE ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 7 

ചോദ്യമനുസരിച്ച്,

ΔAFG ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം/ ΔABC ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = (AF / AB) 2

ΔAFG ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം / 63 = (2x / 3x) 2 

ΔAFG ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 63 × 4/9 

⇒ΔAFG ന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 28 

∴ DEGF എന്ന  ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം  = (ΔAFG - ΔADE) = (28 - 7) = 21 ചതുരശ്ര യൂണിറ്റുകൾ 

നൽകിയിരിക്കുന്നത് 

Δ ABC ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണമാണ്, AB = AC 

Ad = 6 സെ.മീ.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം 

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = 1/2 × പാദം × ഉയരം

ചിത്രം:

കണക്കുകൂട്ടൽ 

AD, BC യ്ക്ക് ലംബമാണ്. അതിനാൽ, ΔADB മട്ടത്രികോണമാണ്

ട്രിപ്‌ലെറ്റ്  (6,8, 10) എന്നത് നമുക്കറിയാം 

അതിനാൽ AB = 10, AD = 6 സെ.മീ, BD = 8 സെ.മീ 

BC = 2 × BD   (ഒരു സമപാർശ്വ ത്രികോണത്തിൽ, ഉയരവും മധ്യമവും  തുല്യമാണ്)

BC = 16 സെ.മീ 

ത്രികോണം ABC യുടെ വിസ്തീർണ്ണം = 1/2 × 16 × 6 = 48 സെ.മീ²

∴ ത്രികോണം ABC യുടെ വിസ്തീർണ്ണം 48 സെ.മീ2 ആണ്.

തന്നിരിക്കുന്നത്, tan A = 4/3 = BC/AB

BC = 4x, AB = 3x ആണെന്ന് കരുതുക 

പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്,

AC2 = AB2 + BC2

⇒ 252 = (3x)2 + (4x)2

⇒ 625 = 9x2 + 16x2

⇒ 625 = 25x2

⇒ x2 = 25

⇒ x = 5

∴ BCയുടെ നീളം = 4x = 4 × 5 = 20 സെ.മീ.

തന്നിരിക്കുന്നത്:

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതം = 5 : 4 : 3

ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 84 സെ.മീ.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = വശങ്ങളുടെ തുക 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 5x, 4x, 3x ആണെന്നിരിക്കട്ടെ. അതുകൊണ്ട് അവ 5 : 4 : 3 എന്ന അനുപാതത്തിലാണ്.

∴ 5x + 4x + 3x = 84

⇒ 12x = 84

⇒ x = 7 സെ.മീ.

അതുകൊണ്ട്, ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 35, 28, 21 സെന്റി മീറ്ററാണ്.

∴ ഏറ്റവും വലിയ വശത്തിന്റെ നീളം 35 സെ.മീ. ആണ്.

സാമാന്തരികത്തിന്റെ പാദം = b ആകട്ടെ 

⇒ ത്രികോണത്തിന്റെ പാദം = b/2

സാമാന്തരികത്തിന്റെ ഉയരം h₁ ഉം ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം h₂ ഉം ആകട്ടെ

സാമാന്തരികത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നു 

⇒ 1/2 × b/2 × h₂ = b × h₁

ത്രികോണത്തിന്റെയും സമാന്തര ചതുർഭുജത്തിന്റെയും ഉയരം യഥാക്രമം h ഉം H ഉം ആയിരിക്കട്ടെ.

സമാന്തര ചതുർഭുജത്തിന്റെ പാദം x ആയിരിക്കട്ടെ, ത്രികോണത്തിന്റെ പാദം 5x/6 ആണ്.

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = സമാന്തര ചതുർഭുജത്തിന്റെ  വിസ്തീർണ്ണം

⇒ 1/2 × പാദം × ഉയരം = പാദം × ഉയരം 

⇒ 1/2 × 5x/6 × h = x × H

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് = 180 മീ

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

\({A\ =\ {\sqrt {s\ (s\ -\ a)\ (s\ -\ b)\ (s\ -\ c)}}}\)    ഇവിടെ, s = അർദ്ധ ചുറ്റളവ് a = b = c = ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 

കണക്കുകൂട്ടൽ:

ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ യഥാക്രമം 4p, 3p, 2p ആയിരിക്കട്ടെ

ചോദ്യം അനുസരിച്ച് 

⇒ 4p + 3p + 2p = 180

⇒ 9p = 180

⇒ p = 20

ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ = യഥാക്രമം 80, 60, 40

ത്രികോണത്തിന്റെ അർദ്ധ ചുറ്റളവ് = \({80\ +\ 60\ +\ 40\over 2}\ =\ {180\over 2}\ =\ {90}\ m\)

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = \({\sqrt {90\times (90\ -\ 80)\times (90\ -\ 60)\times (90\ -\ 40)}}\)

⇒ \({\sqrt {90\times 10 \times\ 30 \times\ 50}}\)

⇒ \({300\sqrt{15}}\) m²

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം = \({300\sqrt{15}}\) m²

∴ ആവശ്യമായ ഫലം  \({300\sqrt{15}}\) m² ആയിരിക്കും.