Parallel Vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Parallel Vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

यदि \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) एक-दूसरे के समानांतर दो सदिश हैं, तो \({\rm\vec{a} = λ \vec{b}}\) या \(\rm \vec{a} × \vec{b} =0\) है। 

गणना:

दिया गया है:

 \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}\) और \(\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k}\) समानांतर सदिश हैं,

इसलिए, \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}= λ (\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k})\)

 \(\rm \vec{i},\vec{j} \;and\; \vec{k}\)के गुणांक को बराबर करने पर 

⇒ 1 = 3λ, ∴ λ = 1/3            

⇒ -a = -6λ 

⇒ 5 = bλ                 .... (1)

समीकरण (1) में λ का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

5 = b × (1/3)

अतः b = 15

गणना:

\( \vec{AB} = 2\vec{FC} \)

⇒ \( \vec{AB} = -2\vec{CF} \)

⇒ \( n = -\frac{1}{2} \)

इसके अलावा,

\( \vec{AD} = 2\vec{BC} \Rightarrow m = 2 \)

अब,

\( mn = 2 \left( -\frac{1}{2} \right) = -1 \)

∴ mn का अंतिम मान -1 है।

गणना:

दिया गया है

\(\vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})+\mu(-3\hat{i}+\hat{j}+5\hat{k})\)

सदिश \(\vec{r}\) पर कोई बिंदु 

\( Q \equiv \{ (1-3\mu ),(\mu -1),(5\mu +2)\} \) ​लिया जा सकता है, जो निम्न प्रदान करता है

\(\vec { { P }{ Q } } =\{ -3\mu -2,\mu -3,5\mu -4\} \)

अब, \(\vec{PQ}\) दिए गए समतल के अभिलंब के लंबवत होना चाहिए।

⇒ \(1(-3\mu -2)-4(\mu -3)+3(5\mu -4)=0\ \)

\(⇒ -3\mu -2-4\mu +12+15\mu -12=0\ \)

\(⇒ 8\mu =2\)

\(⇒ \mu =\dfrac {1}{4}\)

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

यदि दो सदिश  a₁î + b₁ĵ + c₁k̂ और a₂î + b₂ĵ + c₂k̂ समानांतर हैं, तो

​\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है। 

गणना:

दिए गए दो सदिश 3î − 6ĵ + k̂ और 2î − 4ĵ + λk̂ हैं।

⇒ \(\frac{3}{2}=\frac{-6}{-4}=\frac{1}{λ }\)

∴  λ = \(\frac{2}{3}\)

λ का मान \(\frac{2}{3}\) है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

\(\vec{a}\) की दिशा में इकाई सदिश \(\hat{a}\) = \(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) द्वारा दिया गया है जहाँ \(|\vec{a}|\) सदिश का परिमाण है।

गणना:

दिया गया है, \(\overrightarrow{r_1}\) = \(3\vec{i}-2\vec{j}\) और \(\overrightarrow{r_2}\) = – \(4\vec{i}+4\vec{j}\)

∴ \(\vec{R}\) = \(\vec{r_1}\) + \(\vec{r_2}\) = \(-\vec{i}+2\vec{j}\)

⇒ \(|\vec{R}|\) = \(\sqrt{(-1)^2+2^2}\) = \(\sqrt{5}\)

⇒ इकाई सदिश, \(\hat{R_1}\) = \(\frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}\)

= \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)(\(-\vec{i}+2\vec{j}\))

∴ इकाई सदिश जो दो सदिशों के योग के समांतर है, \(1/\sqrt5(-\vec{i}+2\vec{j})\) है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

यदि \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) एक-दूसरे के समानांतर दो सदिश हैं, तो \({\rm\vec{a} = λ \vec{b}}\) या \(\rm \vec{a} × \vec{b} =0\) है। 

गणना:

दिया गया है:

 \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}\) और \(\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k}\) समानांतर सदिश हैं,

इसलिए, \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}= λ (\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k})\)

 \(\rm \vec{i},\vec{j} \;and\; \vec{k}\)के गुणांक को बराबर करने पर 

⇒ 1 = 3λ, ∴ λ = 1/3            

⇒ -a = -6λ 

⇒ 5 = bλ                 .... (1)

समीकरण (1) में λ का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

5 = b × (1/3)

अतः b = 15

संकल्पना:

यदि \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) एक-दूसरे के समानांतर दो सदिश हैं, तो \({\rm\vec{a} = λ \vec{b}}\) या \(\rm \vec{a} × \vec{b} =0\) है। 

गणना:

दिया गया है:

 \(\rm x\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}\) और \(\rm 2\vec{i} - 4\vec{j} + y\vec{k}\) समानांतर सदिश हैं,

इसलिए, \(\rm x\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k} = λ (\rm 2\vec{i} - 4\vec{j} + y\vec{k})\)

 \(\rm \vec{i},\vec{i} \;and\; \vec{k}\)के गुणांक को बराबर करने पर 

⇒ x = 2λ                    .... (1)

⇒ -2 = -4λ 

∴ λ = 1/2

समीकरण (1) में λ का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = 2 × (1/2)

अतः x = 1

संकल्पना:

यदि दो सदिश  a₁î + b₁ĵ + c₁k̂ और a₂î + b₂ĵ + c₂k̂ समानांतर हैं, तो

​\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है। 

गणना:

दिए गए दो सदिश 3î − 6ĵ + k̂ और 2î − 4ĵ + λk̂ हैं।

⇒ \(\frac{3}{2}=\frac{-6}{-4}=\frac{1}{λ }\)

∴  λ = \(\frac{2}{3}\)

λ का मान \(\frac{2}{3}\) है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

\(\vec{a}=\hat{a}=\frac{\vec{a}}{\left |\vec{a} \right |}\) के समानांतर इकाई सदिश

गणना:

माना \(\vec{a}\) = -2î + 3ĵ

\(\Rightarrow \left | \vec {a} \right |=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}\)

∴ \(\vec{a}=\hat{a}=\frac{\vec{a}}{\left |\vec{a} \right |}\) के समानांतर इकाई सदिश

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{13}}(-2\hat{i}+3\hat{j})\)

\(\Rightarrow \frac{-2\hat{i}}{\sqrt{13}}+\frac{3\hat{j}}{\sqrt{13}}\)

गणना:

\( \vec{AB} = 2\vec{FC} \)

⇒ \( \vec{AB} = -2\vec{CF} \)

⇒ \( n = -\frac{1}{2} \)

इसके अलावा,

\( \vec{AD} = 2\vec{BC} \Rightarrow m = 2 \)

अब,

\( mn = 2 \left( -\frac{1}{2} \right) = -1 \)

∴ mn का अंतिम मान -1 है।

संकल्पना:

यदि \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) एक-दूसरे के समानांतर दो सदिश हैं, तो \({\rm\vec{a} = λ \vec{b}}\) या \(\rm \vec{a} × \vec{b} =0\) है। 

गणना:

दिया गया है:

 \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}\) और \(\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k}\) समानांतर सदिश हैं,

इसलिए, \(\rm \vec{i} - a\vec{j} + 5\vec{k}= λ (\rm 3\vec{i} - 6\vec{j} + b\vec{k})\)

 \(\rm \vec{i},\vec{j} \;and\; \vec{k}\)के गुणांक को बराबर करने पर 

⇒ 1 = 3λ, ∴ λ = 1/3            

⇒ -a = -6λ 

⇒ 5 = bλ                 .... (1)

समीकरण (1) में λ का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

5 = b × (1/3)

अतः b = 15

संकल्पना:

यदि \({\rm{\vec a\;and\;\vec b}}\) एक-दूसरे के समानांतर दो सदिश हैं, तो \({\rm\vec{a} = λ \vec{b}}\) या \(\rm \vec{a} × \vec{b} =0\) है। 

गणना:

दिया गया है:

 \(\rm x\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}\) और \(\rm 2\vec{i} - 4\vec{j} + y\vec{k}\) समानांतर सदिश हैं,

इसलिए, \(\rm x\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k} = λ (\rm 2\vec{i} - 4\vec{j} + y\vec{k})\)

 \(\rm \vec{i},\vec{i} \;and\; \vec{k}\)के गुणांक को बराबर करने पर 

⇒ x = 2λ                    .... (1)

⇒ -2 = -4λ 

∴ λ = 1/2

समीकरण (1) में λ का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = 2 × (1/2)

अतः x = 1

संकल्पना:

यदि दो सदिश  a₁î + b₁ĵ + c₁k̂ और a₂î + b₂ĵ + c₂k̂ समानांतर हैं, तो

​\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होता है। 

गणना:

दिए गए दो सदिश 3î − 6ĵ + k̂ और 2î − 4ĵ + λk̂ हैं।

⇒ \(\frac{3}{2}=\frac{-6}{-4}=\frac{1}{λ }\)

∴  λ = \(\frac{2}{3}\)

λ का मान \(\frac{2}{3}\) है।

सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

\(\vec{a}=\hat{a}=\frac{\vec{a}}{\left |\vec{a} \right |}\) के समानांतर इकाई सदिश

गणना:

माना \(\vec{a}\) = -2î + 3ĵ

\(\Rightarrow \left | \vec {a} \right |=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}\)

∴ \(\vec{a}=\hat{a}=\frac{\vec{a}}{\left |\vec{a} \right |}\) के समानांतर इकाई सदिश

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{13}}(-2\hat{i}+3\hat{j})\)

\(\Rightarrow \frac{-2\hat{i}}{\sqrt{13}}+\frac{3\hat{j}}{\sqrt{13}}\)

दिया गया:

\(\vec{A}\) =  î + ĵ + k̂,

\(\vec{B}\) = 2î + 3ĵ,

\(\vec{C}\) = 3î + 5ĵ - 2k̂ और,

\(\vec{D}\) = k̂ - ĵ

संकल्पना:

यदि दो सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) संरेख हैं तो सदिशों को अन्य सदिशों के रैखिक व्यंजक के रूप में लिखा जा सकता है:

  \(\rm \vec a=λ\vec b\) , जहां λ = कुछ स्थिरांक

गणना:

स्थिति सदिश 0î + 0ĵ + 0k̂ के साथ \(\vec{O}\) पर विचार करें।

AB = OB - OA

AB = 2î + 3ĵ - î - ĵ - k̂

AB = î + 2ĵ - k̂       -----(1)

इसी तरह,

CD = OD - OC

CD = k̂ - ĵ - 3î - 5ĵ + 2k̂

CD = - 3î - 6ĵ + 3k̂ 

CD = -3(î + 2ĵ - k̂)       -----(2)

समीकरण (1) और (2) से, हम देख सकते हैं

CD = -3(AB)

अतः, वे संरेख सदिश हैं

∴ AB और CD समानांतर हैं।