Unit Vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Unit Vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

सदिश $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$ मात्रक सदिश हैं।

चूँकि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ मात्रक सदिश हैं, हम जानते हैं:

$|\overrightarrow{a}|=1\text{और}|\overrightarrow{b}|=1$.

सदिश गुणनफल $(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$ का परिमाण इस प्रकार दिया गया है:

$|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta =1\times 1\times \sin \theta =\sin \theta$.

चूँकि $(|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=1$ है, हमारे पास है:

$\sin \theta =1$, इसलिए $\theta ={90}^{\circ }$, जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ लंबवत हैं।

अदिश गुणनफल $(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$ है:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta =1\times 1\times \cos {90}^{\circ }=0$.

∴ $(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$ का मान 0 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

हल:

$\text{Let }\overrightarrow{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$

$a_1^2+a_2^2+a_3^2=1$

$\overrightarrow{b}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k},\overrightarrow{c}=\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k},\overrightarrow{d}=\hat{k}$

$\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{d}|}$

परिमाणों की गणना करने पर:

$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{9}=3$

$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{9}=3$

$|\overrightarrow{d}|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1$

समान प्रक्षेप स्थापित करने पर:

$\frac{2a_1-a_2+2a_3}{3}=\frac{a_1+2a_2-2a_3}{3}=\frac{a_3}{1}$

पहली समिका से:

$2a_1-a_2+2a_3=3a_3⟹2a_1-a_2=a_3$

दूसरी समिका से:

$a_1+2a_2-2a_3=3a_3⟹a_1+2a_2=5a_3$

हल करने पर,

$a_1=\frac{7}{\sqrt{155}},a_2=\frac{9}{\sqrt{155}},a_3=\frac{5}{\sqrt{155}}$

∴ $\frac{1}{\sqrt{155}}(7\hat{i}+9\hat{j}+5\hat{k})$ के अनुदिश एक मात्रक सदिश। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

व्याख्या:

$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ मात्रक सदिश हैं

इसलिए, |$\overrightarrow{a}$| = |$\overrightarrow{b}$| = 1

अब,

|$\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$| = 1 यदि

$|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta =1$

अर्थात, $1+1+2.1.1\cos \theta =1$

अर्थात, $\cos \theta =-\frac{1}{2}$

अर्थात, θ = $\frac{2\pi }{3}$

इसलिए $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$ मात्रक सदिश है, यदि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण $\frac{2\pi }{3}$ है। 

विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

सदिश $\overrightarrow{\mathrm{z}}$ की दिशा में इकाई सदिश को $\hat{z}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{z}}}{|\mathrm{z}|}$ द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

दिया गया है: $\overrightarrow{\mathrm{a}}=3\mathrm{i}-4\mathrm{j}$

⇒ सदिश $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ की दिशा में इकाई सदिश को $\hat{a}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}}{|\mathrm{a}|}$ द्वारा ज्ञात किया गया है।

⇒  $\hat{\mathrm{a}}=\frac{3\mathrm{i}-4\mathrm{j}}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{3\hat{\mathrm{i}}-4\hat{\mathrm{j}}}{5}$

सदिश $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ की दिशा में एक सदिश को $10\hat{a}$ द्वारा ज्ञात किया गया है जिसमें परिमाण 10 है। 

⇒ $10\hat{a}=6\hat{i}-8\hat{j}$

अतः विकल्प 2 सही है। 

व्याख्या:

दिया गया है, λî + 2λĵ + 2λk̂ ​एक इकाई सदिश है।

∴ $|\lambda \hat{i}+2\lambda \hat{j}+2\lambda \hat{k}|=1$

⇒ $\sqrt{{\lambda }^2+(2\lambda {)}^2+(2\lambda {)}^2}=1$

⇒ $\sqrt{{\lambda }^2+4{\lambda }^2+4{\lambda }^2}=1$

⇒ $\sqrt{9{\lambda }^2}=1$

⇒ 3λ = 1

⇒ $\lambda =\frac{1}{3}$

संकल्पना:

माना कि $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ दो सदिश हैं, तो सदिश $\overrightarrow{\mathrm{c}}$, $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ दोनों के लंबवत है। 

$\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=x_1\hat{i}+y_1\hat{j}+z_1\hat{k}\\ \overrightarrow{b}=x_2\hat{i}+y_2\hat{j}+z_2\hat{k}\\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& j& \hat{k}\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|\end{array}$

गणना:

यहाँ, $\overrightarrow{\mathrm{a}}=-\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{b}}=\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$

दोनों के लंबवत सदिश  $\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}$होगा। 

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ -1& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(1+1)-\hat{j}(-1-1)+\hat{k}(1-1)\\ & =2\hat{i}+2\hat{j}\end{array}$

$\begin{array}{r}|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|=\sqrt{(2{)}^2+(2{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\end{array}$

$$\begin{gathered} \text{Unit vector}=\frac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}|} \\ =\frac{2\hat{i}+2\hat{j}}{2\sqrt{2}} \\ =\frac{i+\hat{j}}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

 अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

• यदि a और b कोई दो इकाई सदिश हैं तो $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1$ ।

गणना:

दिया गया $|\overrightarrow{a}|=2,|\overrightarrow{b}|=1$ और $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1$

विचार करना,

$(3\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}).(2\overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b})$

$=(6{\overrightarrow{a}}^2+21\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-10\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}-35{\overrightarrow{b}}^2)$ .....(1)

  $|\overrightarrow{a}|=2,|\overrightarrow{b}|=1$ और $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1$ (1) में रखने पर

$=(6\times 4)+(21\times 1)-(10\times 1)-(35\times 1)$

$=24+21-10-35$

$=45-45$

$=0$

∴ $(3\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}).(2\overrightarrow{a}+7\overrightarrow{b})=0$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2) है।

अवधारणा:

सदिश $\overrightarrow{\mathrm{z}}$ की दिशा में इकाई सदिश इस प्रकार दिया जाता है, $\hat{z}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{z}}}{|\mathrm{z}|}$

गणना:

दिया गया है: $\overrightarrow{A}=2\hat{i}+5\hat{j}$ & $\overrightarrow{B}=2\hat{i}-\hat{j}$

⇒ $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$ = $4\hat{i}+4\hat{j}$

सदिश $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$ की दिशा में इकाई सदिश,

⇒ $|\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}|=\frac{4\hat{\mathrm{i}}+4\hat{\mathrm{j}}}{\sqrt{4^2+4^2}}$

⇒ $|\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}|=\frac{4(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}})}{4\sqrt{2}}$ 

⇒ $|\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}|=\frac{(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}})}{\sqrt{2}}$ 

अतः विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना:

1. |a| और |b| परिमाण के दो सदिशों a और b का अदिश गुणनफल निम्न प्रकार दिया जाता है  $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ =  |a||b| cos θ जहाँ θ सदिशों की दिशा में लिए गए सदिश a और b के बीच के कोण को निरूपित करता है।

2. हम अदिश गुणनफल को $\mid \overrightarrow{a}\mid .\mid \overrightarrow{b}\mid =$ |a||b| cosθ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहां |a| और |b| सदिश a और b के परिमाण का प्रतिनिधित्व करते हैं जबकि cos θ दोनों सदिशों के बीच के कोण के कोसाइन को दर्शाता है और a.b दो सदिशों के डॉट गुणनफल को इंगित करता है।

गणना:

दिया गया:

$\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ दो इकाई सदिश हों जैसे कि $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|<2$ है और 2θ $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण है

⇒ $\mid \overrightarrow{a}\mid =\mid \overrightarrow{b}\mid =1$

हमें दिया गया है $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|<2.$

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

⇒ $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2<2^2$

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})<4$

⇒ $\mid \overrightarrow{a}{\mid }^2+\mid \overrightarrow{b}{\mid }^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}<4$

⇒ 1 + 1 - 2 $\mid \overrightarrow{a}\mid .\mid \overrightarrow{b}\mid cos2\theta <4$

⇒ 1 + 1 - 2​ . 1 . 1 . cos2θ < 4

⇒ 2 - 2.cos2θ < 4

⇒ 1 - cos2θ < 2

⇒ 2 sin2θ < 2

⇒ sin2θ < 1

∴  -1≤  sin θ < 1 सही है।

संकल्पना:

 $\overrightarrow{q}$ की दिशा में परिमाण |p| का सदिश $\overrightarrow{r}$ निम्न द्वारा दिया गया है

$\overrightarrow{r}=|p|.\hat{q}=|p|.\frac{\hat{q}}{|q|}$

यदि $\overrightarrow{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ हो तो $\overrightarrow{a}$ के परिमाण को निम्न रूप में लिखा जाता है

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

गणना:

माना आवश्यक सदिश $\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{a}=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$

$\overrightarrow{b}=3\hat{i}+5\hat{j}+\sqrt{2}\hat{k}$

दिशा a में एक सदिश और परिमाण |b| निम्न द्वारा दिया गया है

$\overrightarrow{c}=|b|.\hat{a}=|b|.\frac{\hat{a}}{|a|}$

$\overrightarrow{c}=\sqrt{3^2+5^2+(\sqrt{2}{)}^2}.\frac{\widehat{\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}}}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$

$\overrightarrow{c}=6.\frac{\widehat{\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}}}{3}$

$\overrightarrow{c}=2(\widehat{\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}})$

अत: विकल्प 4 सही है।

संकल्पना:

यदि $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ दोनों सदिश $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ के लंबवत हैं, तो $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}$ है। 

इकाई सदिश, $\hat{\mathrm{c}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{c}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{c}}\right|}$  

गणना:

यहाँ दिए गए सदिश, $\overrightarrow{a}=\hat{\mathrm{i}}-2\hat{\mathrm{j}}+3\hat{\mathrm{k}}$  और $\overrightarrow{b}=2\hat{\mathrm{i}}+3\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$  हैं। 

माना कि, सदिश$\overrightarrow{\mathrm{c}}$ दोनों सदिश के लंबवत हैं,

इसलिए,   $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 1& -2& 3\\ 2& 3& -1\end{array}\right|$ 

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\hat{\mathrm{i}}(2-9)-\hat{\mathrm{j}}(-1-6)+\hat{\mathrm{k}}(3+4)$ 

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{c}}=-7\hat{\mathrm{i}}+7\hat{\mathrm{j}}+7\hat{\mathrm{k}}$ 

∴ $\left|\overrightarrow{\mathrm{c}}\right|=\sqrt{(-7{)}^2+7^2+7^2}$ = $7\sqrt{3}$ 

इसलिए दोनों सदिश के लंबवत इकाई सदिश निम्न हैं,

$\hat{\mathrm{c}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{c}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{c}}\right|}$ = $\frac{-7\hat{\mathrm{i}}+7\hat{\mathrm{j}}+7\hat{\mathrm{k}}}{7\sqrt{3}}$ 

⇒ $\hat{\mathrm{c}}=\frac{1}{\sqrt{3}}(-\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})$ 

सही विकल्प 1 है। 

गणना:

दिया गया, $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ सभी इकाई सदिश         --- (A)

तथा

${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|}^2={\left|\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\right|}^2=8$     --- (1)

निम्न लीजिए,

${\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2=8$

${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2a\cdot b=8$

1 + 1 + 2 ab = 8 (ab $\overrightarrow{a}$ इकाई सदिश है)

2ab = 6

ab = 3

निम्न लीजिए,

${\left|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|}^2=8$

${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+2bc=8$

b c = 3

इसी तरह, c a = 3

निम्न लीजिए,

$\overrightarrow{x}=\left|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|$

दोनों पक्षों का वर्ग करके,

${\overrightarrow{x}}^2={\left|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|}^2$

${\overrightarrow{x}}^2=4{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+2\left|2a\cdot b+2a\cdot c+b\cdot c\right|$

${\overrightarrow{x}}^2=4+1+1+2\left(6+6+3\right)$

$\overrightarrow{x}=\sqrt{36}$

 i.e |2â + b̂ + ĉ| = 6

संकल्पना:

• सदिश $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ की दिशा में इकाई सदिश û को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: $\hat{\mathrm{u}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{A}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{A}}\right|}$, जहाँ $\left|\overrightarrow{\mathrm{A}}\right|$सदिश $\overrightarrow{\mathrm{A}}$का परिमाण है। 
• सदिश $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ के परिमाण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 

$\left|\overrightarrow{\mathrm{A}}\right|=\sqrt{\overrightarrow{\mathrm{A}}.\overrightarrow{\mathrm{A}}}$.

$|\mathrm{a}\hat{\mathrm{i}}+\mathrm{b}\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{c}\hat{\mathrm{k}}|=\sqrt{(\mathrm{a}\hat{\mathrm{i}}+\mathrm{b}\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{c}\hat{\mathrm{k}}).(\mathrm{a}\hat{\mathrm{i}}+\mathrm{b}\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{c}\hat{\mathrm{k}})}$

$|\mathrm{a}\hat{\mathrm{i}}+\mathrm{b}\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{c}\hat{\mathrm{k}}|=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2}$.

गणना:

हमारे पास $\overrightarrow{\mathrm{A}}=2\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2\hat{\mathrm{k}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{B}}=-\hat{\mathrm{i}}-2\hat{\mathrm{j}}+2\hat{\mathrm{k}}$  है। 

∴ $\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}}=(2\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2\hat{\mathrm{k}})-(-\hat{\mathrm{i}}-2\hat{\mathrm{j}}+2\hat{\mathrm{k}})$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}}=3\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}$

 $\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}}$ का परिमाण निम्न होगा:

$|3\hat{\mathrm{i}}+1\hat{\mathrm{j}}+0\hat{\mathrm{k}}|=\sqrt{3^2+1^2+0^2}=\sqrt{10}$

अब, $\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}}$ की दिशा के साथ इकाई सदिश निम्न होगी:

$\hat{\mathrm{u}}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}}}{|\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}}|}$

⇒ $\hat{\mathrm{u}}=\frac{3\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}}{\sqrt{10}}$.