Parabola MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Parabola - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया परवलय है,

y2 = 4x

और इस परवलय की एक स्पर्श रेखा जो धनात्मक x-अक्ष के साथ 45° के कोण पर आनत है, इसलिए, इसका ढाल है

\(m \;=\; \tan(45^\circ) \;=\; 1.\)

y2 = 4x का एक मानक प्राचलिक रूप है

\(\bigl(x(t),\,y(t)\bigr) \;=\;\bigl(t^{2},\,2t\bigr), \)

क्योंकि \(y^{2} = 4x \implies (2t)^{2} = 4\,t^{2} \)

\(\bigl(t^{2},\,2t\bigr) \) पर स्पर्श रेखा की ढाल

y2 = 4x को अवकलित करने पर

\(2y\,\frac{dy}{dx} \;=\; 4 \)

\(\;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} \;=\; \frac{4}{\,2y\,} \;=\; \frac{2}{\,y\,}. \)

बिंदु \(\bigl(x,y\bigr) = \bigl(t^{2},\,2t\bigr) \) पर \(y = 2t \)

\(\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\,(t^{2},\,2t)} \) \(= \frac{2}{\,2t\,} = \frac{1}{t}.\)

हमें इस ढाल को 1 के बराबर करने की आवश्यकता है।

\(\frac{1}{t} \;=\; 1 \;\Longrightarrow\; t = 1. \)

अब स्पर्श बिंदु

\(\bigl(x(t),\,y(t)\bigr) = \bigl(t^{2},\,2t\bigr)\) में t = 1 प्रतिस्थापित करने पर,

\(x(1) = 1^{2} = 1, \)

\(y(1) = 2 \cdot 1 = 2. \)

इस प्रकार ढाल 1 के स्पर्शरेखा का स्पर्श बिंदु (1, 2) है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना:

\(\rm ​​\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\left(y+\frac{1}{4}\right) \)

⇒ y = (x² + x)

⇒ tan^-1\(\rm \sqrt{x(x+1)}\) + sin^-1\(\rm \sqrt{x^{2}+x+1}\) = π/2

⇒ 0 ≤ x² + x + 1 ≤ 1

⇒ \(\rm x^{2}+x \leq 0 \quad \quad ...(1)\)

साथ ही \(\rm x^{2}+x \geq 0 \quad \quad ...(2)\)

∴ x² + x = 0 ⇒ x = 0, -1

S में 2 अवयव हैं।

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

उत्तर (17)

हल: 

y² = 16x 

⇒ 4a = 16 ⇒ a = 4

Q ≡ \(\left(a t_{2}^{2}, 2 a t_{2}\right)\)

≡ \(\left(4 t_{2}^{2}, 8 t_{2}\right)\)

P ≡ \(\left(4 t_{1}^{2}, 8 t_{1}\right)\)

\(4 t_{1}^{2}\) = 1, 8t₁ = -4 ⇒ t₁ = \(\frac{-1}{2}\)

चूँकि P और Q नाभि जीवा की अंतिम बिंदु हैं, 

t1t2 = 1 ⇒ t2 = 2

⇒ Q = (16,16)

⇒ PF = \(\sqrt{3^{2}+4^{2}}\), FQ = \(\sqrt{12^{2}+16^{2}}\)

⇒ \(\frac{P F}{Q F}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=\frac{m}{n}\)

⇒ m² + n² = 17 

गणना:

दिए गए परवलय रेखा y = x के सापेक्ष सममित हैं।

A और B पर स्पर्श रेखाएँ y = x रेखा के समांतर होनी चाहिए, इसलिए स्पर्श रेखाओं की ढाल = 1

\(\left( \frac{dy}{dx} \right)_{\min A} = 1 = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{\min B}\)

बिंदु y = x² + 2 के लिए,

^{\(\frac{dy}{dx} = 2x = 1\)}

^{\(x = \tfrac12,\quad y = \bigl(\tfrac12\bigr)^2 + 2 = \tfrac14 + 2 = \tfrac94.\)}

इस प्रकार, बिंदु B = ( 1/2, 9/4) ⇒ बिंदु A = (9/4, 1/2)

\(AB = \sqrt{(\frac{1}{2} - \frac{9}{4})^2+ (\frac{9}{4} - \frac{1}{2})^2}\)

AB = \(\sqrt{(\frac{2-9}{4})^2+(\frac{9-2}{4})^2}\)

AB = \(\sqrt\frac{98}{16} = \frac{7\sqrt2 }{4}\)

त्रिज्या = AB/2 = \(\frac{7 \sqrt2}{8}\)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना:

परवलय:

गणना:

दिए गए समीकरण (y - 3)2 = 20(x - 1) की तुलना परवलय के सामान्य समीकरण (y - k)2 = 4a(x - h) के साथ करने पर, हम कह सकते हैं कि:

k = 3, a = 5, h = 1

शीर्ष (h, k) = (1, 3) है। 

संकल्पना:

उस बिंदु के निर्देशांक जहां जीवा परवलय को काटती है, परवलय के समीकरण को संतुष्ट करती है।

हिसाब:

दिया गया:

एक परवलय का समीकरण y ² = x है।

जीवा OA द्वारा x-अक्ष के साथ बनाया गया कोण θ है

माना परवलय की जीवा OA की लंबाई L है

अत: AM की लंबाई = L sinθ

और OM की लंबाई = L cosθ

अत: A का निर्देशांक = (L cos θ, L sin θ)

और यह बिंदु परवलय y2 = x के समीकरण को संतुष्ट करेगा।

⇒ (Lsin θ)2 = L cos θ

⇒L2 sin2 θ = L cos θ

⇒ L = cos θ. cosec2 θ

∴ जीवा की अभीष्ट लंबाई cos θ. cosec2 θ.

संकल्पना:

परवलय: बिंदु का वह मूल पथ जो इस प्रकार गति करता है जिससे निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी के बराबर (उत्केंद्रता = e =1) होती है। 

गणना:

दिया गया है: x2 = 16y

⇒ x2 = 4 × 4 × y

परवलय के मानक समीकरण x2 = 4ay के साथ तुलना करने पर

इसलिए, a = 4

अतः केंद्र बिंदु = (0, a) = (0, 4)

संकल्पना:

परवलय: एक बिंदु का बिंदुपथ जो इस प्रकार गति करता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी के बराबर होती है। (उत्केंद्रता = e = 1)

संकल्पना:

एक आयताकार अतिपरवलय \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)  के गुण निम्न हैं:

• इसका केंद्र निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (0, 0)
• इसका केंद्र बिंदु निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (- ae, 0) और (ae, 0)
• इसके शीर्ष को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (- a, 0) और (a, 0)
• इसकी उत्केंद्रता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(e = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)
• अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई = 2a और इसका समीकरण y = 0 है। 
• संयुग्म अक्ष की लम्बाई = 2b और इसका समीकरण x = 0 है। 
• इसके लैटस रेक्टम की लम्बाई को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\frac{2b^2}{a}\)

गणना:

दिया गया है: अतिपरवलय का समीकरण x2 - y2 =  1 है। 

चूँकि हम देख सकते हैं कि, दिया गया अतिपरवलय एक क्षैतिज अतिपरवलय है। 

इसलिए, अतिपरवलय के दिए गए समीकरण की तुलना \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है, 

⇒ a = 1 और b = 1

चूँकि हम जानते हैं कि, एक अतिपरवलय के लैटस रेक्टम की लम्बाई को \(\frac{2b^2}{a}\) द्वारा ज्ञात किया गया है।

इसलिए, दिए गए अतिपरवलय के लिए लैटस रेक्टम की लम्बाई 2 इकाई है। 

अतः विकल्प D सही उत्तर है। 

संकल्पना:

परवलय: एक बिंदु का मूल-पथ जो इस प्रकार गति करता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी के बराबर होती है। 

(उत्केंद्रता = e =1)

गणना:

दिया गया है: y2 = -12x

⇒ y2 = 4 × (-3) × x

परवलय के मानक समीकरण y² = 4ax के साथ तुलना करने पर

इसलिए, a = -3

अतः केंद्र बिंदु = (a, 0) = (-3, 0)

धारणा:

नाभिलंब: 

शांकव खंड का नाभिलंब जीवा (रेखाखंड) है जो फ़ोकस से होकर गुजरती है, प्रमुख अक्ष पर लंबवत है और जिसमें दोनों अंतबिंदु उसके वक्र पर हैं।

• परवलय y2 = 4ax के नाभिलंब की लंबाई 4a है
• एक परवलय के नाभिलंब के अंतिम बिंदु L = (a, 2a), और L’ = (a, -2a) हैं

गणना:

दिया गया समीकरण:

y2 − 8x + 6y + 1 = 0

⇒ y2 + 6y + 9 - 9 - 8x + 1 = 0

⇒ (y + 3)2 - 8x - 8 = 0

⇒ (y + 3)2 = 8x + 8

⇒ (y + 3)2 = 8 (x + 1)

माना कि नए निर्देशांक अक्ष X और Y हैं,

यहाँ X = x + 1 और Y = y + 3

⇒ Y2 = 4aX

अब उपरोक्त समीकरण के साथ तुलना करते हुए,

∴ 4a = 8 ⇒ a = 2

फोकस: (a, 0)

X = a और Y = 0

⇒ x + 1 = 2 और y + 3 = 0

⇒ x = 1 और y = -3

∴ परवलय का फोकस (1, -3) है

संकल्पना:

परवलय y2 = 4ax के लैटस रेक्टम की लम्बाई 4a है। 

गणना:

दिया गया है, परवलय y2 = 4kx बिंदु (-2, 1) से होकर गुजरता है,

⇒ बिंदु (-2, 1) परवलय y2 = 4kx के समीकरण को संतुष्ट करता है। 

⇒ (1)² = 4k (-2)

⇒ k = \(\rm \dfrac {-1}8\)

अब, लैटस रेक्टम की लम्बाई = 4k

⇒ लैटस रेक्टम की लम्बाई = 4(\(\rm \frac {-1}8\))

⇒ लैटस रेक्टम की लम्बाई = \(\frac {-1}{2}\)

लैटस रेक्टम की लम्बाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है। 

⇒ लैटस रेक्टम की लम्बाई = \(\frac {1}{2}\)

अतः यदि परवलय y2 = 4kx बिंदु (-2, 1) से होकर गुजरता है, तो लैटस रेक्टम की लम्बाई \(\frac {1}{2}\) है। 

संकल्पना:

y2 = - 4ax रूप वाले परवलय के गुण निम्नलिखित हैं जहाँ a > 0 है। 

• केंद्र बिंदु (-a, 0) दिया गया है। 
• शीर्ष (0, 0) दिया गया है। 
• संचालिका का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: x = a 
• अक्ष का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: y = 0 
• लैटस रेक्टम का लम्बाई को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 4a 
• लैटस रेक्टम का समीकरण निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: x = - a 

गणना:

दिया गया है: परवलय का समीकरण y2 = - 12x है। 

दिए गए समीकरण को निम्न रूप में पुनःलिखा जा सकता है: y2 = - 4 ⋅ 3 ⋅ x----(1)

अब समीकरण (1) की तुलना y2 = - 4ax के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ a = 3

चूँकि हम जानते हैं कि, एक परवलय के लैटस रेक्टम की लम्बाई को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: 4a

इसलिए, दिए गए परवलय के लैटस रेक्टम की लम्बाई: 4 ⋅ 3 = 12 इकाई है। 

अतः विकल्प B सही उत्तर है। 

संकल्पना:

परवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार गति करता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी के बराबर होती है। (उत्केंद्रता = e =1)

गणना:

दिया गया है: x2 = 20y

⇒ x2 = 4 × 5 × y

परवलय के मानक समीकरण x2 = 4ay के साथ तुलना करने पर

इसलिए, 4a = 4 × 5

अतः नाभिलंब की लम्बाई = 4a = 4 × 5 = 20