Hyperbola MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Hyperbola - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 3, 2025
Latest Hyperbola MCQ Objective Questions
Hyperbola Question 1:
अतिपरवलय 25x2- 75y2 = 225 की दो नाभियों के बीच की दूरी कितनी है?
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 1 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है,
अतिपरवलय समीकरण:
मानक रूप प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 225 से विभाजित करने पर:
इस प्रकार,
नाभियाँ
∴ दो नाभियों के बीच की दूरी
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।
Hyperbola Question 2:
एक अतिपरवलय H के शीर्ष (±6, 0) हैं और इसकी उत्केन्द्रता
Answer (Detailed Solution Below) 216
Hyperbola Question 2 Detailed Solution
गणना:
अवधारणा:
- अतिपरवलय का मानक समीकरण: यदि शीर्ष x-अक्ष पर (±a, 0) पर हैं, तो समीकरण है (x2/a2) - (y2/b2) = 1
- शीर्ष: दिए गए हैं (±6, 0), इसलिए a = 6 ⇒ a2 = 36
- उत्केन्द्रता: e = √5 / 2 एक अतिपरवलय के लिए, e = √(1 + b2/a2)
- अभिलम्ब: वक्र पर एक बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत रेखा। अभिलम्ब की प्रवणता स्पर्श रेखा की प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम है।
- दिया गया अभिलम्ब रेखा √2x + y = 2√2 के समानांतर है, इसलिए प्रवणता -√2 है।
गणना:
दिया गया है:
a = 6 ⇒ a2 = 36,
और e = √5 / 2
⇒ e2 = 5 / 4
⇒ 5 / 4 = 1 + b2 / 36 ⇒ b2 = 9
इसलिए अतिपरवलय है: (x2 / 36) - (y2 / 9) = 1
अवकलन करने पर:
(2x / 36) - (2y / 9) × (dy/dx) = 0 ⇒ x / 18 = (2y / 9)(dy/dx)
⇒ dy/dx = x / 4y
⇒ स्पर्श रेखा की प्रवणता = x / 4y
⇒ अभिलम्ब की प्रवणता = -4y / x
दिया गया है: अभिलम्ब की प्रवणता = -√2 ⇒ -4y / x = -√2 ⇒ 4y / x = √2
⇒ y = (x√2) / 4
अतिपरवलय में प्रतिस्थापित करने पर:
(x2 / 36) - (1 / 9) × ((x√2 / 4)2) = 1
⇒ (x2 / 36) - (1 / 9) × (2x2 / 16) = 1
⇒ (x2 / 36) - (x2 / 72) = 1
⇒ (x2)(1/36 - 1/72) = 1 ⇒ x2 × (1/72) = 1 ⇒ x2 = 72
⇒ x = 6√2
तब, y = (x√2) / 4 = (6√2 × √2) / 4 = 12 / 4 = 3
इसलिए, अतिपरवलय पर बिंदु (6√2, 3) है
(6√2, 3) से गुजरने वाली और प्रवणता -√2 वाली अभिलम्ब रेखा का समीकरण:
y - 3 = -√2(x - 6√2)
y-अक्ष पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए, x = 0 रखते हैं:
y = 3 + √2 × 6√2 = 3 + 12 = 15
इसलिए, रेखाखंड (6√2, 3) और (0, 15) के बीच स्थित है
लंबाई d = √[(6√2)2 + (15 - 3)2] = √[72 + 144] = √216
इसलिए, d2 का अभीष्ट मान 216 है।
Hyperbola Question 3:
परवलय
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 3 Detailed Solution
संप्रत्यय:
अतिपरवलय प्राचल:
- दिया गया है कि परवलय
का एक नाभि पर है। - संगत नियता
है। - निम्न संबंधों को स्मरण रखें:
(मूल बिंदु से नाभि की दूरी), नियता है, और . - नाभिलंब जीवा की लंबाई
है।
गणना:
दिया गया है:
तब,
अब,
इसलिए,
इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।
Hyperbola Question 4:
उस अतिपरवलय का समीकरण क्या है, जिसकी उत्केंद्रता
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 4 Detailed Solution
संकल्पना:
यदि एक अतिपरवलय का समीकरण है, तो नाभि के निर्देशांक (ae, 0) और (- ae, 0) होंगे, जहाँ e उत्केंद्रता है,
और b2 = a2(e2 - 1)
गणना:
माना अतिपरवलय का समीकरण
तब नाभि के निर्देशांक (ae, 0) और (- ae, 0) होंगे, जहाँ e उत्केंद्रता है।
नाभि के बीच की दूरी
= 2ae = 16
⇒ 2a(
⇒ a = 4
और b2 = a2(e2 - 1) = 32(2 - 1) = 32
⇒ b = 4
अत: अतिपरवलय का समीकरण x2 − y2 = 32 है।
∴ सही विकल्प (4) है।
Hyperbola Question 5:
रेखा x - y = 2 के समांतर अतिपरवलय 4x2 - 5y2 = 20 की स्पर्श रेखा का समीकरण _______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 5 Detailed Solution
संकल्पना:
अतिपरवलय
जहां m स्पर्शरेखा की प्रवणता है।
गणना:
दिया गया अतिपरवलय 4x 2 - 5y 2 = 20
⇒
चूँकि स्पर्श रेखा x - y = 2 के समांतर है
⇒ स्पर्श रेखा की प्रवणता = m = 1
तो स्पर्शरेखा का समीकरण निम्न है
y = x ±
⇒ y = x ± 1
∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।
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अतिपरवलय
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)
समीकरण |
|
|
अनुप्रस्थ अक्ष का समीकरण |
y = 0 |
x = 0 |
संयुग्म अक्ष का समीकरण |
x = 0 |
y = 0 |
अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई |
2a |
2b |
संयुग्म अक्ष की लम्बाई |
2b |
2a |
शीर्ष |
(± a, 0) |
(0, ± b) |
केंद्र-बिंदु |
(± ae, 0) |
(0, ± be) |
संचालिका |
x = ± a/e |
y = ± b/e |
केंद्र |
(0, 0) |
(0, 0) |
उत्केंद्रता |
|
|
नाभिकेंद्र की लम्बाई |
|
|
बिंदु (x, y) की फोकल दूरी |
ex ± a |
ey ± a |
- लैटस रेक्टम की लम्बाई =
गणना:
दिया गया है:
अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर:
इसलिए, a2 = 100 और b2 = 75
∴ a = 10
लैटस रेक्टम की लम्बाई =
अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभिलंब की लंबाई 4 है और उत्केंद्रता 3 है।
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
एक आयताकार अतिपरवलय
- इसका केंद्र इसके द्वारा दिया गया है: (0, 0)
- इसके फोकस इसके द्वारा दिए गए हैं: (- ae, 0) और (ae, 0)
- इसके शीर्ष इसके द्वारा दिए गए हैं: (- a, 0) और (a, 0)
- इसकी उत्केंद्रता इस प्रकार दी गई है:
- अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई = 2a और इसका समीकरण y = 0 है।
- संयुग्म अक्ष की लंबाई = 2b और इसका समीकरण x = 0 है।
- इसके नाभिलंब की लंबाई इस प्रकार है:
गणना:
यहाँ, हमें उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात करना है जिसकी नाभिलंब की लंबाई 4 है और उत्केंद्रता 3 है।
जैसा कि हम जानते हैं कि, क्षैतिज अतिपरवलय का नाभिलंब
⇒
⇒ b2 = 2a
जैसा कि हम जानते हैं कि, एक अतिपरवलय की उत्केंद्रता इसके द्वारा दी गई है:
⇒ a2e2 = a2 + b2
⇒ 9a2 = a2 + 2a
⇒ a = 1/4
∵ b2 = 2a
⇒ b2 = 1/2
तो, आवश्यक अतिपरवलय का समीकरण 16x2 - 2y2 = 1 है
इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।
एक अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी 16 है और इसकी उत्केंद्रता √2 है। इसका समीकरण क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना
अतिपरवलय का समीकरण है
अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी = 2ae
फिर से,
गणना:
अतिपरवलय का समीकरण है
एक अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी 16 है और इसकी उत्केंद्रता √2 है।
हम जानते हैं कि अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी = 2ae
⇒ 2ae = 16
⇒ a =
फिर से,
⇒
⇒
समीकरण (1) बन जाता है
⇒
⇒ x 2 - y 2 = 32
अतिपरवलय 16x2 – 9y2 = 1 की उत्केंद्रता क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 9 Detailed Solution
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अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)
समीकरण |
|
|
अनुप्रस्थ अक्ष का समीकरण |
y = 0 |
x = 0 |
संयुग्म अक्ष का समीकरण |
x = 0 |
y = 0 |
अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई |
2a |
2b |
संयुग्म अक्ष की लम्बाई |
2b |
2a |
शीर्ष |
(± a, 0) |
(0, ± b) |
केंद्र-बिंदु |
(± ae, 0) |
(0, ± be) |
संचालिका |
x = ± a/e |
y = ± b/e |
केंद्र |
(0, 0) |
(0, 0) |
उत्केंद्रता |
|
|
नाभिकेंद्र की लम्बाई |
|
|
बिंदु (x, y) की फोकल दूरी |
ex ± a |
ey ± a |
गणना:
दिया गया है:
16x2 – 9y2 = 1
∴ a2 = 1/16 और b2 = 1/9
उत्केंद्रता =
अतिपरवलय 3y2 - 2x2 = 12 के संचालिका का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
अतिपरवलय का समीकरण,
उत्केंद्रता, e =
संचालिका, x =
अतिपरवलय का समीकरण,
उत्केंद्रता, e =
संचालिका, y =
गणना:
दिया गया अतिपरवलिक समीकरण, 3y2 - 2x2 = 12
⇒
मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, a =
हम जानते हैं कि उत्केंद्रता, e =
⇒ e =
⇒ e =
चूँकि हम जानते हैं कि, संचालिका, y =
∴ संचालिका, y =
⇒ संचालिका, y =
सही विकल्प 4 है।
अतिपरवलय
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक अतिपरवलय का मानक समीकरण:
- फोकस के निर्देशांक = (± ae, 0)
- उत्केंद्रता (e) =
⇔ a2e2 = a2 + b2 - नाभिलंब की लम्बाई =
गणना:
दिया गया है:
अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर:
इसलिए, a2 = 16 और b2 = 9
⇒ a = 4 और b = 3 (a > b)
अब, उत्केंद्रता (e) =
=
=
=
फोकस के निर्देशांक = (± ae, 0)
= (± 5, 0)
एक अतिपरवलय
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक अतिपरवलय के मानक समीकरण के लिए,
केंद्र-बिंदु का निर्देशांक = (± ae, 0)
शीर्ष का निर्देशांक = (±a, 0)
उत्केंद्रता, e =
संचालिका का समीकरण, x = ± a/e
गणना:
दिया गया है:
मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है
a2 = 16 और b2 = 9
उत्केंद्रता e =
अब, संचालिका का समीकरण,
शांकव 25x2 - 4y2 = 100 की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
अतिपरवलय का सामान्य समीकरण निम्न है:
यहाँ, फोकस के निर्देशांक (±ae, 0) हैं।
और उत्केन्द्रता =
गणना:
समीकरण 25x2 - 4y2 = 100 को इस प्रकार लिखा जा सकता है
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है।
अतिपरवलय के सामान्य समीकरण से इसकी तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
⇒ a2 = 4 और b2 = 25
अब, उत्केन्द्रता निम्न द्वारा दी जाती है
इसलिए, उत्केन्द्रता
यदि अतिपरवलय की उत्केंद्रता √2 है तो अतिपरवलय का सामान्य समीकरण क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
अतिपरवलय
गणना:
मान लीजिए कि अतिपरवलय का समीकरण
उत्केंद्रता √2 है
⇒ √2 =
दोनों पक्षों का वर्ग करके हमें मिलता है
⇒ 2 =
⇒
⇒ a2 = b2
इसलिए आवश्यक समीकरण है,
उस अतिपरवलय का समीकरण क्या है जिसका केंद्र मूल (0, 0) पर, फोकस (±3, 0) पर और उत्केंद्रता
Answer (Detailed Solution Below)
Hyperbola Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
एक अतिपरवलय के मानक समीकरण
फोकस के निर्देशांक (± ae, 0)
उत्केंद्रता
गणना:
यहाँ, फोकस = (±3, 0) और उत्केंद्रता,
∴ ae = 3 and
तो, आवश्यक अतिपरवलय का समीकरण है