Hyperbola MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Hyperbola - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jul 3, 2025

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Latest Hyperbola MCQ Objective Questions

Hyperbola Question 1:

अतिपरवलय 25x2- 75y2 = 225 की दो नाभियों के बीच की दूरी कितनी है?

  1. 23 इकाई
  2. 43 इकाई
  3. 6 इकाई
  4. 26 इकाई

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 43 इकाई

Hyperbola Question 1 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

अतिपरवलय समीकरण: 25x275y2=225

मानक रूप प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 225 से विभाजित करने पर:

25x222575y2225=1x29y23=1

इस प्रकार, a2=9 और b2=3.

c2=a2+b2 से c की गणना करें:

c2=9+3=12c=12=23.

नाभियाँ (±c,0) पर हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी 2c निम्नवत है:

2c=2×23=43.

∴ दो नाभियों के बीच की दूरी 43 इकाई है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Hyperbola Question 2:

एक अतिपरवलय H के शीर्ष (±6, 0) हैं और इसकी उत्केन्द्रता 52 है। मान लीजिये कि N, H पर प्रथम चतुर्थांश में स्थित किसी बिंदु पर अभिलम्ब है और रेखा 2x+y=22 के समानांतर है। यदि H और y-अक्ष के बीच N के रेखाखंड की लंबाई d है, तो d2 बराबर है _____।

Answer (Detailed Solution Below) 216

Hyperbola Question 2 Detailed Solution

गणना:

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अवधारणा:

  • अतिपरवलय का मानक समीकरण: यदि शीर्ष x-अक्ष पर (±a, 0) पर हैं, तो समीकरण है (x2/a2) - (y2/b2) = 1
  • शीर्ष: दिए गए हैं (±6, 0), इसलिए a = 6 ⇒ a2 = 36
  • उत्केन्द्रता: e = √5 / 2 एक अतिपरवलय के लिए, e = √(1 + b2/a2)
  • अभिलम्ब: वक्र पर एक बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत रेखा। अभिलम्ब की प्रवणता स्पर्श रेखा की प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम है।
  • दिया गया अभिलम्ब रेखा √2x + y = 2√2 के समानांतर है, इसलिए प्रवणता -√2 है।

 

गणना:

दिया गया है:

a = 6 ⇒ a2 = 36,

और e = √5 / 2

⇒ e2 = 5 / 4

⇒ 5 / 4 = 1 + b2 / 36 ⇒ b2 = 9

इसलिए अतिपरवलय है: (x2 / 36) - (y2 / 9) = 1

अवकलन करने पर:

(2x / 36) - (2y / 9) × (dy/dx) = 0 ⇒ x / 18 = (2y / 9)(dy/dx)

⇒ dy/dx = x / 4y

⇒ स्पर्श रेखा की प्रवणता  = x / 4y

⇒ अभिलम्ब की प्रवणता = -4y / x

दिया गया है: अभिलम्ब की प्रवणता = -√2 ⇒ -4y / x = -√2 ⇒ 4y / x = √2

⇒ y = (x√2) / 4

अतिपरवलय में प्रतिस्थापित करने पर:

(x2 / 36) - (1 / 9) × ((x√2 / 4)2) = 1

⇒ (x2 / 36) - (1 / 9) × (2x2 / 16) = 1

⇒ (x2 / 36) - (x2 / 72) = 1

⇒ (x2)(1/36 - 1/72) = 1 ⇒ x2 × (1/72) = 1 ⇒ x2 = 72

⇒ x = 6√2

तब, y = (x√2) / 4 = (6√2 × √2) / 4 = 12 / 4 = 3

इसलिए, अतिपरवलय पर बिंदु (6√2, 3) है

(6√2, 3) से गुजरने वाली और प्रवणता -√2 वाली अभिलम्ब रेखा का समीकरण:

y - 3 = -√2(x - 6√2)

y-अक्ष पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए, x = 0 रखते हैं:

y = 3 + √2 × 6√2 = 3 + 12 = 15

इसलिए, रेखाखंड (6√2, 3) और (0, 15) के बीच स्थित है

लंबाई d = √[(6√2)2 + (15 - 3)2] = √[72 + 144] = √216

इसलिए, d2 का अभीष्ट मान 216 है।

Hyperbola Question 3:

परवलय H:x2a2y2b2=1 की एक नाभि(10,0) पर है और संगत नियता x=910 है। यदि H की उत्केन्द्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई क्रमशः e और l हैं, तो 9 (e2 + l) किसके बराबर है?

  1. 14
  2. 15
  3. 16
  4. 12

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 16

Hyperbola Question 3 Detailed Solution

संप्रत्यय:

अतिपरवलय प्राचल:

  • दिया गया है कि परवलय H:x2a2y2b2=1 का एक नाभि (10,0) पर है।
  • संगत नियता x=910 है।
  • निम्न संबंधों को स्मरण रखें: ae=c (मूल बिंदु से नाभि की दूरी), ae नियता है, और c2=a2+b2.
  • नाभिलंब जीवा की लंबाई l=2b2a है।

गणना:

दिया गया है:

ae=10 और ae=910

तब,

a2=9 और e=103

अब,

(ae)2=a2+b210=9+b2b2=1

l=2b2a=2×13=23

इसलिए,

9(e2+l)=9((103)2+23)=9(109+23)=10+6=16

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Hyperbola Question 4:

उस अतिपरवलय का समीकरण क्या है, जिसकी उत्केंद्रता 2 है और जिसकी नाभियाँ 16 इकाई दूर हैं?

  1. 9x− 4y= 36
  2. 2x− 3y2 = 7
  3. x− y2 = 16
  4. x2 − y2 = 32
  5. 2x− 3y2 = 9

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : x2 − y2 = 32

Hyperbola Question 4 Detailed Solution

संकल्पना:

यदि एक अतिपरवलय का समीकरण है, तो नाभि के निर्देशांक (ae, 0) और (- ae, 0) होंगे, जहाँ e उत्केंद्रता है,

और b2 = a2(e2 - 1)

गणना:

माना अतिपरवलय का समीकरण x2a2y2b2=1 होगा। 

तब नाभि के निर्देशांक (ae, 0) और (- ae, 0) होंगे, जहाँ e उत्केंद्रता है। 

नाभि के बीच की दूरी

= 2ae = 16

⇒ 2a(2) = 16

⇒ a = 42

और b2 = a2(e2 - 1) = 32(2 - 1) = 32

⇒ b = 42

अत: अतिपरवलय का समीकरण x2 − y2 = 32 है। 

सही विकल्प (4) है।

Hyperbola Question 5:

रेखा x - y = 2 के समांतर अतिपरवलय 4x2 - 5y2 = 20 की स्पर्श रेखा का समीकरण _______ है।

  1. x - y + 9 = 0
  2. x - y + 7 = 0
  3. x - y + 1 = 0
  4. x - y - 3 = 0
  5. x - y - 7 = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x - y + 1 = 0

Hyperbola Question 5 Detailed Solution

संकल्पना:

अतिपरवलय x2a2y2b2=1 की स्पर्शरेखा का समीकरण y=mx±a2m2b2 है

जहां m स्पर्शरेखा की प्रवणता है।

गणना:

दिया गया अतिपरवलय 4x 2 - 5y 2 = 20

x25y24=1 ⇒ a = 5 और b = 2

चूँकि स्पर्श रेखा x - y = 2 के समांतर है

⇒ स्पर्श रेखा की प्रवणता = m = 1

तो स्पर्शरेखा का समीकरण निम्न है

  y = x ± 54

⇒ y = x ± 1

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

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अतिपरवलय x2100y275=1 के लैटस रेक्टम की लम्बाई क्या है?

  1. 10
  2. 12
  3. 14
  4. 15

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 15

Hyperbola Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)

समीकरण 

x2a2y2b2=1

x2a2+y2b2=1

अनुप्रस्थ अक्ष का समीकरण 

y = 0

x = 0

संयुग्म अक्ष का समीकरण 

x = 0

y = 0

अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई 

2a

2b

संयुग्म अक्ष की लम्बाई 

2b

2a

शीर्ष 

(± a, 0)

(0, ± b)

केंद्र-बिंदु 

(± ae, 0)

(0, ± be)

संचालिका

x = ± a/e

y = ± b/e

केंद्र

(0, 0)

(0, 0)

उत्केंद्रता 

1+b2a2

1+a2b2

नाभिकेंद्र की लम्बाई 

2b2a

2a2b

बिंदु (x, y) की फोकल दूरी

ex ± a

ey ± a

  • लैटस रेक्टम की लम्बाई = 2b2a

 

गणना:

दिया गया है: x2100y275=1

अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: x2a2y2b2=1

इसलिए, a2 = 100 और b2 = 75

∴ a = 10

लैटस रेक्टम की लम्बाई =  2b2a2×7510=15

अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभिलंब की लंबाई 4 है और उत्केंद्रता 3 है।

  1. 2x2 - y2 = 1
  2. 16x2 - 2y2 = 1
  3. 6x2 - 2y2 = 1
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 16x2 - 2y2 = 1

Hyperbola Question 7 Detailed Solution

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अवधारणा:

एक आयताकार अतिपरवलय x2a2y2b2=1 के गुण निम्न हैं:

  • इसका केंद्र इसके द्वारा दिया गया है: (0, 0)
  • इसके फोकस इसके द्वारा दिए गए हैं: (- ae, 0) और (ae, 0)
  • इसके शीर्ष इसके द्वारा दिए गए हैं: (- a, 0) और (a, 0)
  • इसकी उत्केंद्रता इस प्रकार दी गई है: e=a2+b2a
  • अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई = 2a और इसका समीकरण y = 0 है।
  • संयुग्म अक्ष की लंबाई = 2b और इसका समीकरण x = 0 है।
  • इसके नाभिलंब की लंबाई इस प्रकार है: 2b2a

 

गणना:

यहाँ, हमें उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात करना है जिसकी नाभिलंब की लंबाई 4 है और उत्केंद्रता 3 है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, क्षैतिज अतिपरवलय का नाभिलंब 2b2a द्वारा दिया जाता है

⇒ 2b2a=4

⇒ b2 = 2a

जैसा कि हम जानते हैं कि, एक अतिपरवलय की उत्केंद्रता इसके द्वारा दी गई है: e=a2+b2a

⇒ a2e2 = a2 + b2

⇒ 9a2 = a2 + 2a

⇒ a = 1/4

∵ b2 = 2a

⇒ b2 = 1/2

तो, आवश्यक अतिपरवलय का समीकरण 16x2 - 2y2 = 1 है

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।

एक अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी 16 है और इसकी उत्केंद्रता √2 है। इसका समीकरण क्या है?

  1. x2 - y2 = 32
  2. x24y29=1
  3. 2x2 - 3y2 = 7
  4. y2 + x2 = 32

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : x2 - y2 = 32

Hyperbola Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना

अतिपरवलय का समीकरण है x2a2y2b2=1

अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी = 2ae

फिर से, b2=a2(e21)

 

गणना:

अतिपरवलय का समीकरण है x2a2y2b2=1 .... (1)

एक अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी 16 है और इसकी उत्केंद्रता √2 है।

हम जानते हैं कि अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी = 2ae

⇒ 2ae = 16

⇒ a = 1622 = 42

फिर से, b2=a2(e21)

b2=32(21)

b2=32

समीकरण (1) बन जाता है

x232y232=1

⇒ x 2 - y 2 = 32

अतिपरवलय 16x2 – 9y2 = 1 की उत्केंद्रता क्या है?

  1. 35
  2. 53
  3. 45
  4. 54

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 53

Hyperbola Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)

समीकरण 

x2a2y2b2=1

x2a2+y2b2=1

अनुप्रस्थ अक्ष का समीकरण 

y = 0

x = 0

संयुग्म अक्ष का समीकरण 

x = 0

y = 0

अनुप्रस्थ अक्ष की लम्बाई 

2a

2b

संयुग्म अक्ष की लम्बाई 

2b

2a

शीर्ष 

(± a, 0)

(0, ± b)

केंद्र-बिंदु 

(± ae, 0)

(0, ± be)

संचालिका

x = ± a/e

y = ± b/e

केंद्र

(0, 0)

(0, 0)

उत्केंद्रता 

1+b2a2

1+a2b2

नाभिकेंद्र की लम्बाई 

2b2a

2a2b

बिंदु (x, y) की फोकल दूरी

ex ± a

ey ± a

 

गणना:

दिया गया है:

16x2 – 9y2 = 1

x2116y219=1

 x2a2y2b2=1 के साथ तुलना करने पर 

∴ a2 = 1/16 और b2 = 1/9

उत्केंद्रता = 1+b2a2=1+(19)(116)=1+169=259=53 

अतिपरवलय 3y2 - 2x2 = 12 के संचालिका का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

  1. x = ±25
  2. y = ±35
  3. x = ±210
  4. y = ±410

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : y = ±410

Hyperbola Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

अतिपरवलय का समीकरण, x2a2y2b2=1 

उत्केंद्रता, e = 1+b2a2  

संचालिका, x  = ±ae 

 

अतिपरवलय का समीकरण, x2a2+y2b2=1  

उत्केंद्रता, e = 1+a2b2 

संचालिका, y = ±be  

 

गणना:

दिया गया अतिपरवलिक समीकरण, 3y2 - 2x2 = 12 

⇒ x26+y24=1 

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, a = 6 और b = 2 

हम जानते हैं कि उत्केंद्रता, e = 1+a2b2 

⇒ e = 1+64 

⇒ e = 102        

चूँकि हम जानते हैं कि, संचालिका, y = ±be 

∴ संचालिका, y = ±2102 

संचालिका, y = ±410  

सही विकल्प 4 है। 

अतिपरवलय x216y29=1 के फोकस के निर्देशांक क्या हैं?

  1. (± 5, 0)
  2. (± 4, 0)
  3. (± 3, 0)
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : (± 5, 0)

Hyperbola Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक अतिपरवलय का मानक समीकरण: x2a2y2b2=1 (a > b)

  • फोकस के निर्देशांक = (± ae, 0)
  • उत्केंद्रता (e) = 1+b2a2 ⇔ a2e2 = a2 + b2
  • नाभिलंब की लम्बाई = 2b2a

 

गणना:

दिया गया है: x216y29=1

अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: x2a2y2b2=1

इसलिए, a2 = 16 और b2 = 9

⇒ a = 4 और b = 3   (a > b)

अब, उत्केंद्रता (e) = 1+b2a2 

1+916

16+916

54

फोकस के निर्देशांक = (± ae, 0) 

= (± 5, 0)

एक अतिपरवलय x216y29=1 है, तो इसके संचालिका का समीकरण क्या है?

  1. x = 4/5
  2. x = -4/5
  3. x = ± 16/5
  4. x = 17/5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x = ± 16/5

Hyperbola Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक अतिपरवलय के मानक समीकरण के लिए, x2a2y2b2=1

केंद्र-बिंदु का निर्देशांक = (± ae, 0)

शीर्ष का निर्देशांक = (±a, 0)

उत्केंद्रता, e = 1+b2a2

संचालिका का समीकरण, x = ± a/e

गणना:

दिया गया है:

x216y29=1

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

a2 = 16 और b2 = 9

उत्केंद्रता e = 1+b2a2=1+916=16+916=2516=54

अब, संचालिका का समीकरण,

x=±ae=±4(54)=±165

शांकव 25x2 - 4y2 = 100 की उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए।

  1. 5
  2. 52
  3. 292
  4. 212

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 292

Hyperbola Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

अतिपरवलय का सामान्य समीकरण निम्न है:

x2a2y2b2=1

यहाँ, फोकस के निर्देशांक (±ae, 0) हैं।

और उत्केन्द्रता = e=1+b2a2

गणना:

समीकरण 25x2 - 4y2 = 100 को इस प्रकार लिखा जा सकता है

x24y225=1

यह एक अतिपरवलय का समीकरण है।

अतिपरवलय के सामान्य समीकरण से इसकी तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ a2 = 4 और b2 = 25

अब, उत्केन्द्रता निम्न द्वारा दी जाती है

e=1+254=292

इसलिए, उत्केन्द्रता 292 है।

यदि अतिपरवलय की उत्केंद्रता √2 है तो अतिपरवलय का सामान्य समीकरण क्या होगा?

  1. 2x2 - y2 = a2
  2. x2 - y2 = a2
  3. x2 - 2y2 = a2
  4. 2x2 - 8y2 = a2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : x2 - y2 = a2

Hyperbola Question 14 Detailed Solution

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अवधारणा:

अतिपरवलय x2a2y2b2=1 की उत्केंद्रता 'e' इसके द्वारा दी जाती है, a > b के लिए e = 1+b2a2

गणना:

मान लीजिए कि अतिपरवलय का समीकरण x2a2y2b2=1 है

उत्केंद्रता √2 है

⇒ √2 = 1+b2a2

दोनों पक्षों का वर्ग करके हमें मिलता है

⇒ 2 = 1+b2a2

⇒ b2a2 = 1

⇒ a2 = b2

इसलिए आवश्यक समीकरण है, x2a2y2a2=1 या x2 - y2 = a2

उस अतिपरवलय का समीकरण क्या है जिसका केंद्र मूल (0, 0) पर, फोकस (±3, 0) पर और उत्केंद्रता e=32 है?

  1. x28y26=1
  2. x24y25=1
  3. x25y24=1
  4. इनमें से कोई भी नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : x24y25=1

Hyperbola Question 15 Detailed Solution

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धारणा:

एक अतिपरवलय के मानक समीकरणx2a2y2b2=1 के लिए

फोकस के निर्देशांक (± ae, 0)

उत्केंद्रता e=1+b2a2

गणना:

यहाँ, फोकस = (±3, 0) और उत्केंद्रता, e=32

∴ ae = 3 and e=32a=2

b2=a2(e21)b2=4(941)=4×54=5

तो, आवश्यक अतिपरवलय का समीकरण है

x24y25=1

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