Ellipse MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Ellipse - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

PS + PS' = 2 × 3 √2

⇒ b² = a² (1 - e²) ⇒ 9 = 18( 1 - e²)

⇒ e = \(\frac{1}{\sqrt2}\)

नियता x = \(\frac{a}{e} = \frac{3\sqrt2}{\frac{1}{\sqrt2}{}} = 6\)

⇒ PS.PS' = \(PS.PS' = | \frac{1}{\sqrt{2}} (3\sqrt{2} \cos \theta - 6)|\)

= \(\frac{1}{2}| 18 cos^2\theta - 36|\)

⇒ (PS. PS')_{अधिकतम}  = 18 और (PS .PS')_{न्यूनतम}  = 9

योग = 27

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

4x2 + 9y2 = 1

यहाँ a = 1/2 और b = 1/3

अब

e = \(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt5}{3}\)

नाभियाँ = (±ae, 0)

= ( ± \((\frac{1}{2}\frac{\sqrt5}{3},0)\)

= (± \(\frac{\sqrt5}{6},0\))

इस प्रकार, P(x, y) दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु है

⇒ PQ + PR = 2a = 2 x 1/2 = 1

∴ विकल्प (b) सही है।

जीवा का समीकरण T = S₁

\(\frac{5}{2}\left(\frac{\mathrm{x}}{9}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{y}}{4}\right)=\frac{25}{36}+\frac{1}{16}\)

⇒ \(\frac{5 \mathrm{x}}{18}+\frac{\mathrm{y}}{8}=\frac{100+9}{144}=\frac{109}{144}\)

⇒ 40x + 18y = 109

⇒ α = 40, β = 18

⇒ α + β = 58

गणना:

यदि दीर्घवृत्त का समीकरण \({x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2} =1\) है, तो नाभि के निर्देशांक (ae, 0) और (-ae, 0) होंगे। 

जहाँ, e दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है

और b2 = a2(1 - e2)

गणना:

माना दीर्घवृत्त का समीकरण \({x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2} =1\)है। 

तब नाभि के निर्देशांक (ae, 0) और (- ae, 0) होंगे, जहाँ e उत्केंद्रता है। 

दिया गया है, नाभि (-4,0) और (4,0) पर,

⇒ ae = 4 or e = 4/a

और b2 = a2(1 - e2) = \(a^2 (1- {16 \over a^2})\)

⇒ b2 = a2 - 16 ___(1)

चूंकि (3\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{10}\)) से होकर गुजरने वाला दीर्घवृत्त \({x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2} =1\)

⇒ \({18\over a^2}+{10\over b^2} =1\)

(1) से मान रखने पर,

⇒ \({18\over a^2}+{10\over a^2-16} =1\)

⇒ 18(a2 - 16) + 10a2 = a2(a2 - 16)

⇒ a4 - 44a2 + 288 = 0

⇒ (a2 - 36)(a2 - 8) = 0

⇒ a2 = 36, 8

(1) से,

⇒ b2 = 20, -8

चूँकि b ऋणात्मक नहीं हो सकता है। 

इसलिए, a2 = 36 और b2 = 20

इसलिए, उत्केंद्रता = e = 4/a = 4/6

⇒ e = \(\frac{2}{3}\)

∴ सही विकल्प (5) है।

संकल्पना:

केंद्र (0,0) के साथ दीर्घवृत्त के समीकरण का रूप है, \({x^2 \over a^2 } +{y^2 \over b^2} = 1\)

दीर्घवृत्त \({x^2 \over a^2 } +{y^2 \over b^2} = 1\) के लिए जिसका दीर्घ अक्ष, y-अक्ष पर है, उत्केंद्रता = \(e = \sqrt{1 - {a^2 \over b^2}}\)

गणना:

दिया गया है: दीर्घवृत्त का केंद्र (0, 0) पर है, दीर्घ अक्ष y-अक्ष पर है और दीर्घवृत्त (3, 2) और (1, 6) से होकर गुजरता है।

माना दीर्घवृत्त का समीकरण \({x^2 \over a^2 } +{y^2 \over b^2} = 1\) है

(3,2) और (1,6) दीर्घवृत्त पर स्थित है

⇒ \({3^2 \over a^2 } +{2^2 \over b^2} = 1\) और \({1^2 \over a^2 } +{6^2 \over b^2} = 1\)

⇒ \({9 \over a^2 } +{4 \over b^2} = 1\) __(i)

और \({1 \over a^2 } +{36 \over b^2} = 1\) __(ii)

समीकरण (ii) से (i) को घटाने पर,

⇒ \({1-9 \over a^2 } +{36 -4 \over b^2} = 0\)

 ⇒ 32a²​ = 8b²

⇒ 4a² = b²

(i) में रखने पर 

⇒ \({9 \over a^2 } +{4 \over 4a^2} = 1\)

⇒ a² = 10

⇒ b² = 4 × 10 = 40 

तो, दीर्घवृत्त का समीकरण \({x^2 \over 10} +{y^2 \over 40} = 1\) होगा

अब दीर्घवृत्त \({x^2 \over 10} +{y^2 \over 40} = 1\) के लिए, दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता इस प्रकार दी गई है,

 \(e = \sqrt{1 - {10 \over 40}}\)

⇒ \(e = \sqrt{1 - {1 \over 4}}= \sqrt{ {3 \over 4}}\)

⇒ उत्केंद्रता = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

∴ सही विकल्प (1) है।

संकल्पना:

दीर्घवृत्त का समीकरण: \(\rm\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)​

उत्केंद्रता​ (e) = \(\rm\sqrt{1-\frac{b^2 }{a^2}}\)

जहाँ, शीर्ष = (± a, 0) और केंद्र-बिंदु = (± ae, 0)

गणना:

यहाँ, दीर्घवृत्त का शीर्ष (± 5, 0) और केंद्र-बिंदु (±4, 0) है। 

इसलिए, a = ±5 ⇒ \(a^2=25\) और 

ae = 4 ⇒ e = 4/5

अब, 4/5 = \(\rm\sqrt{1-\frac{b^2 }{5^2}}\)

\(⇒ \rm\frac{16}{25}=\rm\frac{25-b^2}{25}\\⇒ 16=25-b^2 \\⇒ b^2=9 \)

∴ दीर्घवृत्त का समीकरण = \(\rm \frac {x^2}{25} + \frac {y^2}{9} = 1\)

 अतः विकल्प (1) सही है।  

अवधारणा:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण, \(\rm\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}= 1\) है

नाभिलंब की लंबाई , L.R = \(\rm\frac{2a^{2}}{b}\) , यदि  b > a

गणना:

\(\rm\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{49}= 1\) ,

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर , a = 5 और b = 7 

हम जानते हैं कि, नाभिलंब की लंबाई = \(\rm\frac{2a^{2}}{b}\) है

⇒ L.R = \(\rm\frac{2\times5^{2}}{7}\) =  \(\rm\frac{50}{7}\) 

सही विकल्प 2 है।

संकल्पना:

दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा:

बिंदु (x1, y1) पर दीर्घवृत्त \(\rm \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) के लिए स्पर्श रेखा के समीकरण को \(\rm \frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

गणना:

x = 3 पर, हमारे पास निम्न होगा:

\(\rm \frac{3^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)

⇒ \(\rm \frac{y^2}{16}={16\over25}\)

⇒ y = ± \(16\over5\)

उपरोक्त सूत्र से, हम कह सकते हैं कि \(\left(3,{16\over5}\right)\) और \(\left(3,{-16\over5}\right)\) पर दीर्घवृत्त \(\rm \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) के लिए स्पर्श रेखा का आवश्यक समीकरण (क्रमशः) निम्न है

\(\rm \frac{x(3)}{25}+\frac{y\left({16\over5}\right)}{16}=1\)

⇒ \(\rm \frac{3x}{25}+\frac{y}{5}=1\)

⇒ 3x + 5y = 25

या

\(\rm \frac{x(3)}{25}+\frac{y\left({-16\over5}\right)}{16}=1\)

⇒ \(\rm \frac{3x}{25}-\frac{y}{5}=1\)

⇒ 3x - 5y = 25

संकल्पना:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण:

\(\rm {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1\), a > b

जहाँ 2a और 2b क्रमशः दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष की लम्बाई है और केंद्र (0, 0) है। 

उत्केंद्रता = \(\rm \sqrt{(a^2-b^2)}\over a\)

लैटस रेक्टम की लम्बाई = \(\rm 2b^2 \over a\)

केंद्र से केंद्र-बिंदु की दूरी = \(\rm \sqrt{a^2-b^2}\)

गणना:

दिया गया दीर्घवृत्त \(\rm {x^2\over100}+{y^2\over64} = 1\)  है। 

a2 = 100 ⇒ a = 10

और b2 = 64 ⇒ b = 8

उत्केंद्रता (e)

⇒ e = \(\rm \sqrt{100-64}\over 10\)

⇒ e = \(\rm \sqrt{36}\over 10\)

⇒ e = \(\rm 6\over 10\)

⇒ e = 0.6

अब नाभियों के बीच की दूरी = 2ae

= 2 × 10 × 0.6

∴ नाभियों के बीच की दूरी  = 12

संकल्पना:

गणना:

25x² + 16y² = 400

\( \Rightarrow \frac{{25{{\rm{x}}^2}}}{{400}} + \frac{{16{{\rm{y}}^2}}}{{400}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\rm{x}}^2}}}{{16}} + \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{25}} = 1\)

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: a = 4 ; b = 5

चूँकि ( a < b )

संकल्पना:

दीर्घवृत्त \(\rm \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) के नाभिलंब की लम्बाई \(\rm \frac{2a^2}{b}\) के बराबर है (a < b)। 

गणना:

दीर्घवृत्त के समीकरण को मानक रूप \(\rm \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) में लिखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है:

\(\rm \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(2\sqrt3)^2}=1\)

∴ a = 2 और b = 2√3

यहाँ a < b

नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2a^2}{b}\) = \(\rm \frac{2(2^2)}{2\sqrt3}\) = \(\rm \frac{4}{\sqrt3}\)

संकल्पना:

दीर्घवृत्त का सामान्य समीकरण निम्न है:

\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

यहाँ, फोकस के निर्देशांक (±ae, 0) हैं।

साथ ही, हमारे पास b2 = a2(1 - e2) है, जहां e उत्केन्द्रता है।

गणना:

चूँकि फोकस के निर्देशांक (±3, 0) हैं।

⇒ ae = 3

⇒ a × (1/3) = 3      (∵ e = 1/3)

⇒ a = 9

अब, b2 = a2(1 - e2)

\(⇒ b^{2}=81\left ( 1-\frac{1}{9} \right )\)

⇒ b2 = 72

एक दीर्घवृत्त के सामान्य समीकरण में a2 और b² का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

\(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\)

इसलिए, दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1\) है।

धारणा:

1. वृत्त का समीकरण x2 + y2 = r2

2. दीर्घवृत्त का समीकरण \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\; + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

3. परवलय का समीकरण y2 = 4ax, x2 = 4ay

4. अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \;\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

5. यदि a2 = b2 तब अतिपरवलय को आयताकार अतिपरवलय कहा जाता है और x2 − y2 = a2 आयताकार अतिपरवलय का सामान्य रूप है|

गणना:

दिया हुआ:

x = 3(cost + sint)

y = 4(cost - sint) 

\({\left( {\frac{x}{3}} \right)^2} = 1 + sin2t\) ----(1)

\({\left( {\frac{y}{4}} \right)^2} = 1 - sin2t\) ----(2)

समीकरण 1 और 2 जोड़कर;

\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 2\)  

इसलिए, दिया गया वक्र एक दीर्घवृत्त का प्रतिनिधित्व करता है।

संकल्पना:

एक दीर्घवृत्त का मानक समीकरण:\(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} + \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\) (a > b)

• फोकस के निर्देशांक = (± ae, 0)
• उत्केंद्रता (e) = \(\sqrt {1 - {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} \) ⇔ a2e2 = a2 – b2
• नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{75} = 1\)

एक दीर्घवृत्त के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: \(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} + \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)

इसलिए, a² = 100 और b² = 75

∴ a = 10

नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)= \(\rm \frac{2 \times 75}{10} = 15\)

संकल्पना:

एक दीर्घवृत्त के मानक समीकरण को:\(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} + \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)  द्वारा ज्ञात किया गया है। 

एक दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु के केंद्रबिंदु की दूरी का योग स्थिरांक होता है और यह दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष की लम्बाई के बराबर होता है। 

यदि a > b है, तो PS + PS' = 2a = प्रमुख अक्ष है। 

यदि b > a है, तो PS + PS' = 2b = प्रमुख अक्ष है। 

गणना:

दिया गया है:

दीर्घवृत्त का समीकरण \(\rm \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\) है। 

यहाँ a² = 4 और b² = 9

⇒ a = 2 और b = 3

इसलिए प्रमुख अक्ष लम्बाई 2b वाले y - अक्ष पर है। 

अब, केंद्रबिंदु की दूरी का योग = 2b = 2 × 3 = 6 इकाई