Motion in a Straight Line MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Motion in a Straight Line - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

t = 0 और t = 1 पर कण की स्थितियाँ हैं:

x(0) = 0 m, x(1) = 1 m

कण t = 0 और t = 1 पर विरामावस्था में है। इस प्रकार, प्रारंभिक और अंतिम वेग हैं:

v(0) = 0, v(1) = 0 (1)

तात्क्षणिक त्वरण α वाले कण का वेग v(1) इस प्रकार दिया गया है:

v(1) = v(0) + ∫ α dt 0 से 1 तक (2)

समीकरण (1) और (2) से: ∫₀¹ α dt = 0

यदि α अंतराल में हमेशा > 0 है, तो α-t वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल धनात्मक होगा, जो इस परिणाम का खंडन करता है। इसी प्रकार, यदि α हमेशा < 0 है, तो क्षेत्रफल ऋणात्मक होगा। इसलिए, α को अंतराल (0, 1) में चिह्न बदलना चाहिए।

इसलिए, केवल निष्कर्ष जो निकाले जा सकते हैं वे हैं: ∫₀¹ α dt = 0, α ≠ 0, और α को (0, 1) में चिह्न बदलना चाहिए (कम से कम एक बार)।

यदि α केवल एक बार चिह्न बदलता है (मान लीजिए t = tc) और α = α₁ 0 < t < tc के लिए और α = -α₂ tc < t < 1 में, जहाँ α₁ और α₂ धनात्मक स्थिरांक हैं, तो v-t आलेख के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल को 1 m बनाए रखने के लिए, हमारे पास होना चाहिए:

क्षेत्रफल = (1/2) × 1 × vअधिकतम = 1 ⇒ vअधिकतम = 2 m/s

इसके अलावा, vअधिकतम  = α₁ × tc = α₂ × (1 - tc)

यदि tc < 1/2, तो α₁ > 2; अन्यथा α₂ > 4

इसलिए, किसी बिंदु पर |α| ≥ 4 होना चाहिए। 

उत्तर: (A), (C)

गणना:

a_P = kt, k एक स्थिरांक है

a_Q = a, a एक स्थिरांक है

a_Q/P = a_Q – a_P = a – kt

चूँकि प्रारंभिक वेग प्रश्न में उल्लिखित नहीं हैं,

इसलिए हमें दो स्थितियों पर विचार करना होगा।

स्थिति-I

u_Q/P और a_Q/P एक ही दिशा में

क्रॉसिंग की कुल संख्या = 2

स्थिति-II

u_Q/P और a_Q/P विपरीत दिशा में

∴ क्रॉसिंग की कुल संख्या = 3

सही विकल्प: (2) −2 / (2x + 1)³ है। 

t = x² + x

हमारे पास है,

dt/dx = 2x + 1

⇒ v = dx/dt = 1 / (2x + 1)

⇒ dv/dx = −2 / (2x + 1)²

⇒ a = v × dv/dx = [1 / (2x + 1)] × [−2 / (2x + 1)2]

= −2 / (2x + 1)3

सही विकल्प: (2) 2/3 है। 

कार्य-ऊर्जा प्रमेय से

कार्य = Δ गतिज ऊर्जा

⇒ F . S = Δ गतिज ऊर्जा

⇒ (Δगतिज ऊर्जा)_A / (Δगतिज ऊर्जा)_B = - F_A S_A / F_B S_B

⇒ (-100) / (225) = - F_A(1000) / F_B(1500)

F_A / F_B = 2 / 3

सही उत्तर कथन I गलत है लेकिन कथन II सही है।

Key Points 

कथन I : वेग-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल दिए गए समय में पिंड द्वारा तय की गई दूरी देता है।\(\overrightarrow{\mathrm{S}}=\int \overrightarrow{\mathrm{V}} d t\)

इसलिए वेग समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन देता है।

अतः कथन I गलत है।

कथन II : त्वरण-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल दिए गए समय में वेग में परिवर्तन के बराबर होता है।

a = \(\frac{d V}{d t}\)

⇒ dV = adt

⇒ \(\int d \mathrm{~V}=\int a d t\)

अतः कथन - II सही है।

अवधारणा

• गति का समीकरण: वे गणितीय समीकरण जिनका उपयोग एक गतिमान निकाय पर कार्यरत बल को ध्यान में रखे बिना अंतिम वेग, विस्थापन, समय आदि को ज्ञात करने के लिए किया जाता है उन्हें गति के समीकरण कहा जाता है।
• ये समीकरण तभी मान्य होते हैं जब निकाय का त्वरण नियत होता है और वे सरल रेखा में गतिमान होते हैं।

गति के तीन समीकरण हैं:

V = u + at

V2 = u2 + 2 a S

\({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\)

जहां V = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग, s = गति के अधीन निकाय द्वारा तय दूरी, a = गति के अधीन निकाय का त्वरण और t = गति के अधीन निकाय द्वारा लिया समय

व्याख्या:

दिया गया है:

प्रारंभिक वेग (u) = 0

दूरी (S) = 20 m

समय (t) = 4 सेकंड

 \({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\) का प्रयोग कीजिये

20 = 0 + \(\frac{1}{2} \times a \times 4^2\)

त्वरण = a = 20/8 = 2.5 m/s²

सही उत्तर (v-u)/t है।

अवधारणा :

• त्वरण : वेग में परिवर्तन की दर को त्वरण कहते हैं। इसे a से दर्शाया जाता है।
  • त्वरण की SI इकाई m/s² है।
• गति के समीकरण : किसी गतिशील वस्तु पर कार्यरत बल पर विचार किए बिना उसका अंतिम वेग, विस्थापन, समय आदि ज्ञात करने के लिए प्रयुक्त गणितीय समीकरणों को गति के समीकरण कहा जाता है।
• V = u + at
• जहाँ, V = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग, a = गतिशील पिंड का त्वरण, तथा t = गतिशील पिंड द्वारा लिया गया समय।

स्पष्टीकरण :

उपरोक्त गति समीकरण से:

V = u  + at

अतः a = (V - u)/t

• त्वरण ज्ञात करने का सूत्र (vu) / t है। अतः विकल्प 4 सही है।

Additional Information 

• वेग और समय का गुणनफल (v x t) किसी पिंड के विस्थापन को दर्शाता है जो दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी को दर्शाता है।
• समय का व्युत्क्रम (1 / t) दोलनों की आवृत्ति को दर्शाता है जो दिए गए समय में दोलनों की कुल संख्या का मान देता है।
• प्रति इकाई समय में कार्य (W / t) शक्ति को दर्शाता है जो कार्य करने की दर का माप है।

अवधारणा:

• विस्थापन: स्थिति में परिवर्तन को विस्थापन कहते हैं। यह सबसे छोटी दूरी है जिसे दो बिंदुओं के बीच तय की जा सकती है।
• वेग: विस्थापन की दर को वेग कहते हैं। यह विस्थापन की तरह एक सदिश राशि है।

\(\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{ds}}{dt}\)

s विस्थापन है, t समय है

• त्वरण : वेग के परिवर्तन की दर को त्वरण कहते हैं।

\(\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{dv}}{dt}\)

व्याख्या:

वेग-समय आलेख नीचे दिया गया है।

वक्र के नीचे का क्षेत्रफल होगा (समलंब क्षेत्र)

\(A = \frac{1}{2} (v_2 + v_1)(t_2-t_1)\)

यहाँ हम देख सकते हैं कि हम वेग को समय के साथ गुणा कर रहे हैं, जो विस्थापन देगा।

अत: वेग-समय आलेख के अधीन क्षेत्र विस्थापन प्रदान करता है

Important Points

• त्वरण समय आलेख के अधीन क्षेत्रफल वेग प्रदान करता है
• वेग-समय आलेख की ढलान त्वरण प्रदान करती है
  दूरी-समय आलेख की ढलान गति प्रदान करती है

अवधारणा;

गति की समीकरण

गति की समीकरण एक समान त्वरण के साथ एक सीधी रेखा में गतिमान पिंड के लिए त्वरण, समय, दूरी, प्रारंभिक वेग और अंतिम वेग के बीच संबंध स्थापित करती हैं।

समीकरण हैं:

1. v = u + at 
2. \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)  
3. v2 = u2 + 2as 

v अंतिम वेग है, u प्रारंभिक वेग है, t समय है, a त्वरण है, s तय की गई दूरी है।

Calculation:

Given:

v = 50 m/s, a = 2.5 m/s2?

v2 = u2 + 2as 

502 = 2 × 2.5 × s

s = 500 m

अवधारणा:

• गति के समीकरणों का उपयोग निकाय की गति को वर्णित करने के लिए किया जाता है और यह इस प्रकार है-

\(S = ut+ \frac{1}{2}a t^{2}\)

V = u + at

V² = U² + 2as

जहाँ S = विस्थापन, t = समय a = त्वरण, V = अंतिम वेग,U = प्रारंभिक वेग

गणना:

दिया गया है: S = 70 m, t = 7 सेकंड u = 0m/s

• विस्थापन, प्रारंभिक वेग और समय में सम्बन्ध स्थापित करने वाला गति का समीकरण है-

\(⇒ S = ut+ \frac{1}{2}a t^{2}\)

दिए गए मानों के प्रतिस्थापन पर उपरोक्त समीकरण होगा-

\(\Rightarrow 70 = 0\times 7+ \frac{1}{2}a \times 7^{2}\)

\(\Rightarrow a = \frac{70\times 2}{7\times 7} = \frac{20}{7} = 2.85m/s^{2}\)

• इसलिए, विकल्प 2 उत्तर है।

सही उत्तर वेग है। 

Key Points

• त्वरण वह दर है जिस पर समय के साथ वेग बदलता है।
• न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, किसी पिंड पर लागू सभी बलों का अंतिम परिणाम उसका त्वरण है। त्वरण, एक सदिश राशि, उस आवृत्ति को निर्धारित करती है जिस पर  का वेग बदलता रहता है। त्वरण को व्यक्त करने के लिए सूत्र का उपयोग किया जा सकता है।
• किसी वस्तु की समग्र गति, दिशा की परवाह किए बिना, दूरी कहलाती है।
• "विस्थापन" शब्द किसी वस्तु की स्थिति में बदलाव को संदर्भित करता है। यह परिमाण और दिशा के साथ एक सदिश राशि है।
• किसी कण के द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को संवेग कहते हैं। संवेग इस अर्थ में एक सदिश राशि है कि इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

अवधारणा:

• गतिकी के समीकरण: एकसमान त्वरण से गतिमान कण के लिए u, v, a, t और s के बीच के विभिन्न संबंध निम्न अनुसार हैं, जहां संकेतों का उपयोग निम्न प्रकार किया जाता है:
• गति के समीकरणों को इस रूप में लिखा जा सकता है

V = U + at

\(s =ut+\frac{1}{2}{at^{2}}\)

V2 =U2+ 2as

जहां, U = आरंभिक वेग, V = अंतिम वेग, g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, t = समय, और h = तय की गई दूरी/ऊंचाई

जहां u = समय t = 0 सेकंड पर कण का आरंभिक वेग

v = समय t सेकंड पर अंतिम वेग

a = कण का त्वरण

s = समय t सेकंड मे तय की गई दूरी

व्याख्या:

दिया गया है - प्रारंभिक वेग u = 0 km/h, अंतिम वेग v = 72 km/h = 20 m/s, समय t = 5 मिनट

• गति के प्रथम नियम के अनुसार

⇒ v = u + a t

⇒ 20 = 0 + (a1 × 5 × 60)

\(\Rightarrow a = \frac{{20}}{{5 \times 60}} = \frac{1}{{15}}\, ms^2\)

• गति के दूसरे नियम के अनुसार

\(⇒ S = u t + \left( {\frac{1}{2} \times a \times {t^2}} \right)\)

\(⇒ S = 0 \times 300 + \left( {\frac{1}{2} \times \frac{1}{{15}} \times {{300}^2}} \right)\)

⇒ S = 3000 m = 3 km

• उपरोक्त वेग प्राप्त करने के लिए ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी 3 km है।

धारणा:

• औसत गति: कुल समय अंतराल, जिसके दौरान गति हुई है, से विभाजित तय की गई कुल पथ की लंबाई को कण की औसत गति कहा जाता है।

\(Average\;speed\;\left( {\bar v} \right) = \frac{{total\;path\;length\;\left( S \right)}}{{total\;time\;taken\;\left( t \right)}}\)

गणना:

वस्तु द्वारा तय की गयी कुल दूरी = 16 m + 16 m = 32 m

लिया गया कुल समय = 4 s + 2 s = 6 s 

\(Average\;speed\;\left( {\bar v} \right) = \frac{{total\;path\;length\;\left( S \right)}}{{total\;time\;taken\;\left( t \right)}}=\frac{32}{6}=5.33\, m/s\)

• अतः वस्तु की औसत गति 5.33 m/s है।

अवधारणा:

• वेग: किसी पिंड के विस्थापन के परिवर्तन की दर को उस पिंड का वेग कहा जाता है।
  • वेग एक सदिश राशि है जिसमें दिशा के साथ-साथ परिमाण दोनों होते हैं।
• त्वरण: वेग के परिवर्तन की दर को निकाय का त्वरण कहा जाता है।
  • त्वरण भी एक सदिश राशि है।
  • किसी भी वेग-समय आरेख का ढलान निकाय का त्वरण देता है।
• विस्थापन: दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम पथ लंबाई को विस्थापन कहा जाता है।
• दूरी: दो बिंदुओं के बीच की कुल पथ लंबाई को दूरी कहा जाता है।

व्याख्या:

• किसी भी आरेख की प्रवणता दो बिंदुओं के बीच एक ही बिंदु के बीच क्षैतिज परिवर्तन के ऊर्ध्वाधर परिवर्तन का अनुपात है।
• एक वेग-समय आरेख में, वेग (v) क्षैतिज अक्ष पर समय (t) पर ऊर्ध्वाधर अक्ष पर मौजूद है, इसलिए आरेख की प्रवणता निम्न द्वारा दी गई है:

\({\rm{Slope}} = \frac{{{\rm{\Delta }}v}}{{{\rm{\Delta }}t}}\)

• चूंकि वेग के परिवर्तन की दर को त्वरण के रूप में कहा जाता है, इसलिए वेग-समय आरेख की प्रवणता त्वरण देती है।
• इसलिए मंदित गति के लिए वेग-समय आरेख की प्रवणता ऋणात्मक है। इसलिए विकल्प 3 सही है।

Additional Information

• इसी प्रकार, विस्थापन-समय आरेख की प्रवणता वेग देती है।
• वेग-समय आरेख के तहत क्षेत्र विस्थापन देता है और त्वरण-समय आरेख के तहत क्षेत्र वेग में परिवर्तन देता है।

प्रयुक्त सूत्र:

दूरी = गति × समय

गणना:

माना ट्रेन की गति 'x' मीटर/सेकंड है और ट्रेन की लंबाई 'y' मीटर है।

एक ट्रेन 12 सेकंड में 120 मीटर लंबे प्लेटफार्म को पार करती है,

⇒ 12 × (x) = 120 + y      ----(1)

एक ट्रेन 165 मीटर लंबे प्लेटफार्म को 15 सेकंड में पार करती है।

⇒ 15 × (x) = 165 + y      ----(2)

समीकरण (2) - समीकरण (1) से हमें प्राप्त होता है,

⇒ 3x = 45

⇒ x = 15 मीटर/सेकंड = 15 × (18/5) किमी/घंटा = 54 किमी/घंटा

∴ ट्रेन की गति 54 किमी/घंटा है।