Center of Mass and Linear Momentum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Center of Mass and Linear Momentum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सही विकल्प: (1) 21 NS है। 

v₁ = √(2gh₁)

= √(2 × 9.8 × 40)

= √784 = 28 m/s

v₂ = √(2gh₂) = √(2 × 9.8 × 10)

= √196 = 14 m/s

आवेग = Δp = m(v_f − v_i) = m(v₂ − (−v₁))

= (1/2)(14 − (−28))

संकल्पना:

• किसी निकाय के द्रव्यमान के केंद्र को किसी वस्तु या वस्तुओं की प्रणाली के सापेक्ष परिभाषित स्थिति के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• यह प्रणाली के सभी भागों की औसत स्थिति है, जिसे उनके द्रव्यमान के अनुसार भारित किया जाता है।
• एकसमान घनत्व वाली दृढ़ वस्तुओं की  स्थिति में, द्रव्यमान का केंद्र निकाय के केंद्र बिंदु पर स्थित होता है।
• उदाहरण के लिए - एक समान डिस्क, वलय आदि के द्रव्यमान का केंद्र इसके केंद्र में होगा। कुछ निकायों या निकायों की प्रणाली में, द्रव्यमान का केंद्र वस्तु पर नहीं होता है।
• गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को उस बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके माध्यम से गुरुत्वाकर्षण बल किसी वस्तु या प्रणाली पर कार्य करता है। यदि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को एक समान मान लिया जाए।
• गुरुत्वाकर्षण का केंद्र तब द्रव्यमान के केंद्र के समान ही स्थिति में होता है। लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता हो।

स्पष्टीकरण:

द्रव्यमान का केंद्र गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के साथ मेल खा भी सकता है और नहीं भी। 

बलयुग्म

• समान परिमाण के बलों का एक युग्म जो क्रिया की विभिन्न रेखाओं के साथ विपरीत दिशाओं में कार्य कर रहा हो, बलयुग्म या बलाघूर्ण के रूप में जाना जाता है।
• एक युग्म बिना स्थानांतरण के घूर्णन उत्पन्न करता है। 

उदाहरण:

• जब हम किसी बोतल का ढक्कन पलट कर खोलते हैं तो हमारी उंगलियां ढक्कन पर एक बल युग्म लगा रही होती हैं।

Additional Information

हल:
 

इस निकाय में M द्रव्यमान का एक मालगाड़ी का डिब्बा शामिल है जो v वेग से गतिमान है, और \(\frac{dm}{dt}\) की दर से उस पर रेत गिर रही है। प्रारंभ में, रेत की क्षैतिज चाल v = 0 है।

समय t पर निकाय का संवेग इस प्रकार दिया गया है:
 

\(P(t) = Mv + 0\)
 

समय \( t + \Delta t\) पर, जब अतिरिक्त द्रव्यमान \(\Delta m \) मालगाड़ी के डिब्बे में जुड़ गया है:
 

\(P(t + \Delta t) = (M + \Delta m)v\)

संवेग में परिवर्तन है:
 

\(P(t + \Delta t) - P(t) = v \Delta m\)
 

\( \Delta t \) से भाग देने पर और \( \Delta t \to 0\) की सीमा लेने पर, v वेग पर मालगाड़ी के डिब्बे को गतिमान रखने के लिए आवश्यक बल है:

इस प्रकार, सही उत्तर है:
 

\(a) F = v \frac{dm}{dt} \)

यह बल मालगाड़ी के डिब्बे के वेग को बनाए रखने के लिए आवश्यक है क्योंकि रेत लगातार उस पर गिरती रहती है।

अवधारणा

• गतिज ऊर्जा (K): गति के आधार पर गतिमन निकाय की ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है।

\(K = \frac{1}{2}mv^2\)

m निकाय का द्रव्यमान है, v निकाय की गति है।

• संवेग (P): गति में निकाय के द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को निकाय का संवेग कहा जाता है।

p = mv

• गतिज ऊर्जा और संवेग के बीच संबंध: गतिज ऊर्जा संवेग के वर्ग को द्रव्यमान से विभाजित करके प्राप्त होती है

\(K = \frac{p^2}{2m}\)

गणना:

मान लीजिये द्रव्यमान m वाले निकाय की गतिज ऊर्जा और रैखिक संवेग क्रमशः K और P₁ है,

\(K = \frac{(P_1)^2}{4m}\)--- (1)

द्रव्यमान 2m वाले अन्य निकाय की गतिज उर्जा K समान है, मान लीजिये रैखिक संवेग P₂ है, तब

\(K = \frac{(P_2)^2}{m}\) --- (2)

समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते है-

\(\frac{(P_1)^2}{4m} = \frac{(P_2)^2}{m}\)

⇒ \(\frac{(P_1)^2}{(P_2)^2} = \frac{4m}{m}\)

⇒ \(\frac{(P_1)}{(P_2)} = \sqrt{\frac{4}{1}}\)

⇒ \(\frac{(P_1)}{(P_2)} = \frac{2}{1}\)

इसलिए, अनुपात होगा -

P₁ : P₂ = 2 : 1

तो, 2: 1 सही विकल्प है।

उत्तर : 3

हल:

प्रत्यास्थ संघट्ट में, गतिज ऊर्जा में हानि होती है। हालाँकि, यदि निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा हो तो संवेग संरक्षित रहता है।

अवधारणा:

संवेग:

संवेग किसी निकाय के द्रव्यमान और वेग का गुणनफल है। यह एक सदिश राशि है, जिसमें परिमाण और दिशा होती है।

• संवेग की इकाई kg m/s है।
• आयाम:[MLT^-1]

संवेग संरक्षण का नियम:

इस संरक्षण के नियम के अनुसार एक संवृत प्रणाली का कुल रैखिक संवेग समय के माध्यम से स्थिर रहता है, प्रणाली के भीतर अन्य संभावित परिवर्तन की परवाह किए बिना ।

P₁ = P₂

m₁ v₁ = m₂ v₂

जहाँ, P₁ =प्रणाली का प्रारंभिक संवेग, P₂ = प्रणाली का अंतिम संवेग, m₁ = पहले निकाय का द्रव्यमान, v₁ =पहले निकाय का वेग, m₂ =दूसरे निकाय का द्रव्यमान और v₂ = दूसरे निकाय का वेग।

गणना:

दिया गया है:  m₁ = 2 kg    m₂ = 3 kg     u₁ = 5 m/s        u₂ ​=  0 m/s

मान लीजिये संयुक्त निकाय का उभयनिष्ठ वेग V m/s है

संयुक्त निकाय का वेग      M = 2 + 3 = 5 kg

संवेग के संरक्षण के अनुसार

m₁ v₁ + m₂ v₂ = M V

⇒ (2 × 5) + (3 × 0) = 5 V

⇒ 10 + 0 = 5 V

⇒ V = 2 m/s

इसलिए दोनों गोलों का संयुक्त वेग 2 m/s है ।

अवधारणा:

गति का दूसरा नियम:

• संवेग परिवर्तन की दर लागू किये गये बल के समानुपाती होती है।

\(F = \dfrac{Δ p}{t}\)

F × t = Δ p

F बल है, t समय है, Δ p संवेग में परिवर्तन

गणना:

दिया गया है: प्रारंभिक संवेग p_i = 10 kg m s-1, बल (F) = 30 N, और समय (t) = 3 सेकंड

मान लीजिये अंतिम संवेग p_f है

• संवेग में परिवर्तन

⇒ Δ p = F × t

⇒ Δ p = 30 N × 3 s = 90 N s = 90 kg m s-1

• जैसा कि हम जानते हैं कि संवेग में परिवर्तन अंतिम संवेग और प्रारंभिक संवेग के बीच के अंतर के बराबर होता है, अर्थात,

⇒ Δ p = pf - pi 

⇒ pf = Δ p + pi

⇒ pf = 90 kg m s-1 + 10 kg m s-1 = 100 kg m s-1

• अत: सही विकल्प 100 kg m s-1 है

अवधारणा:

• संवेग (P) : द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को संवेग कहते हैं।
• संवेग का SI मात्रक kg m/s है।
• संवेग (P) = द्रव्यमान (m) × वेग (v)

व्याख्या :

P = m v

माना पिंड का प्रारंभिक वेग v

चूँकि पिंड का द्रव्यमान स्थिर है

तो, P1 = m v      ----(i)

प्रश्न के अनुसार

पिंड का नया वेग = 2v

नया संवेग (P2) = m × 2v

⇒ P2 = 2mv        ----(ii)

(ii) को (i) से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है

\(\frac {P_2} {P_1} = \frac{2mv}{mv}\)

⇒ P2 = 2 P1

∴ गति दोगुनी हो जाएगी।

Key Points 

• यदि किसी पिंड का वेग दोगुना कर दिया जाए तो उसका संवेग दुगना हो जाता है क्योंकि वेग उसके संवेग के समानुपाती होता है। अतः विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

• संघट्टन का प्रकार जिसमें गतिज ऊर्जा का नुकसान होता है और संघट्टन के बाद दोनों टकराने वाले कण एक साथ चलते हैं, उसे पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट कहा जाता है।
• इस प्रकार के संघट्ट में प्रत्यानयन का गुणांक 0 के बराबर होता है।
• इस संघट्ट में प्रणाली का संवेग स्थिर रहता है।

• संघट्ट से पूर्व संवेग(P1) = संघट्ट के बाद संवेग (P2)

P1 = m1u1 + m2u2

P2 = m1v1 + m2v2

गणना:

यहाँ, कार की गति 0 m/s है।

⇒ संघट्ट के बाद गति 8 m/s है।

"संवेग के संरक्षण का सिद्धांत" के अनुसार

⇒ इसलिए, 8 = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2) जहाँ m1 ट्रक का द्रव्यमान है, v1 ट्रक का वेग है, v2 कार का वेग है और m2 कार का द्रव्यमान है।

⇒ 8 = (2000 × 10 + m₂ × 0)/(2000 + m₂)

⇒ 16000 + 8 m₂ = 20000

इसलिए कार का द्रव्यमान 500 kg है।

अवधारणा :

• संवेग: गति में निकाय का एक गुण जो निकाय के द्रव्यमान और वेग के गुणनफल के बराबर होता है, संवेग कहलाता है।

P = mv

जहाँ P निकाय का संवेग है, m निकाय का द्रव्यमान है, और v निकाय का वेग है।

• संवेग संरक्षण: जब किसी प्रणाली में कोई बाहरी बल नहीं होता है तो प्रणाली का कुल संवेग (P) को संरक्षित किया जाएगा।
• गतिज ऊर्जा: किसी निकाय में उसकी गति के कारण होने वाली ऊर्जा को गतिज ऊर्जा के रूप में जाना जाता है।

संवेग के संदर्भ में गतिज ऊर्जा निम्न द्वारा दी गई है:

\(K=\frac{P^2}{2m}\)

जहाँ K निकाय की गतिज ऊर्जा है, P निकाय का संवेग है और m निकाय का द्रव्यमान है।

गणना :

\(K=\frac{P^2}{2M}\)

माना कि P का प्रारंभिक मान = 100, m = 100

30% की वृद्धि के बाद P = 130

प्रारंभिक गतिज ऊर्जा \(K_i=\frac{P_i^2}{2m}=\frac{100^2}{2\times 100}=50\)

अंतिम गतिज ऊर्जा \(K_f=\frac{P_f^2}{2m}=\frac{130^2}{2\times 100}=169/2\)

गतिज ऊर्जा में % वृद्धि = \(\frac{(K_f-K_i)}{K_i}\times100 = \frac{(\frac{169}{2}-50)}{50}\times100 = 69\) %

तो सही उत्तर विकल्प 3 है।

संकल्पना:

• चिरसम्मत यांत्रिकी में जब एक वस्तु को कुछ प्रारंभिक वेग के साथ ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है और जैसे-जैसे यह ऊपर जाता है वैसे इसका प्रारंभिक वेग गुरुत्वाकर्षण त्वरण के कारण कम होते रहता है, चूँकि यह नीचे की ओर क्रिया करता है।
• उच्चतम बिंदु पर अंतिम वेग शून्य हो जायेगा और उस स्थान तक पहुंचने के लिए लिए गए समय की गणना शुद्धगतिक समीकरण का प्रयोग करके की जा सकती है, जिसे निम्न रूप में व्यक्त किया गया है

v = u + gt

जहाँ अंतिम वेग = v, u = प्रारंभिक वेग, g= गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण और t = समय

व्याख्या:

दिया गया है:

तय की गई दुरी, s = 10 m

अंतिम वेग, v = 0 m/s

गुरुत्वीय त्वरण, g = 9.8 m/s²

वस्तु का त्वरण, a = –9.8 m/s² (उपर की ओर गति)

• वह वेग ज्ञात कीजिये जिसके साथ वस्तु को ऊपर की तरफ फेंका गया था

⇒ v2 = u2 + 2as

⇒ 0 = u2 + 2 × (–9.8 m/s2) × 10 m

⇒ –u2 = –2 × 9.8 × 10 m2/s2

⇒ u = 196 m2/s2

⇒ u = 14 m/s

अवधारणा:

• प्रक्षेप्य गति: प्रक्षेप्य गति, गुरुत्वीय त्वरण के अंतर्गत वायु में प्रक्षेपित किसी वस्तु की गति है।
• वस्तु को प्रक्षेप्य कहा जाता है, और इसके पथ को इसका प्रक्षेप पथ कहा जाता है।
  • प्रारंभिक वेग: प्रारंभिक वेग को x घटकों और y घटकों के रूप में दिया जा सकता है।

ux = u cosθ

uy = u sinθ

जहाँ, u का अर्थ प्रारंभिक वेग का परिमाण और θ का अर्थ प्रक्षेप कोण होता है।

• अधिकतम ऊँचाई: अधिकतम ऊँचाई तब होती है, जब vy = 0 होता है।

जहाँ, h अधिकतम ऊँचाई होती है।

• परास: गति की परास प्रतिबंध y = 0 द्वारा निर्धारित की जाती है।

जहाँ, R प्रक्षेप्य द्वारा तय की गई कुल दूरी होती है।

गतिज ऊर्जा (KE) = (1/2)m V2

गणना:

दिया गया है:

(ऊर्ध्वाधर के साथ कोण = 30°)

θ = 60° (क्षैतिज के साथ कोण 90o - 30o = 60o )

ux = u cosθ = u cos 60° = (1/2) u

uy = u sinθ = u sin 60° =√3/2 / 2

जमीन पर गतिज ऊर्जा, (KE) = (1/2)m u2 = K

शीर्ष पर, वेग = V = u / 2

शीर्ष पर गतिज ऊर्जा, (KE') = (1/2)m (u/2)2 = mu2/8 = K/4

इसलिए विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

• संवेग: संवेग किसी निकाय या कण के द्रव्यमान एवं वेग का गुणनफल है। यह एक सदिश राशि है।
  • संवेग परिमाण की मानक इकाई किलोग्राम-मीटर प्रति सेकंड (kg·m/s) है।

P = m v

जहाँ P = संवेग, m = निकाय का द्रव्यमान, v = निकाय का वेग

• रैखिक संवेग का संरक्षण: रेखीय संवेग संरक्षण के अनुसार गति में एक निकाय अपना कुल संवेग (द्रव्यमान और सदिश वेग का गुणनफल है) को बनाए रखता है जब तक कि उस पर कोई बाह्य बल नही लगाया जाता है।
• गणितीय रूप से-

प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग

P1 = P2

हम कह सकते हैं कि

M1V1 + M2V2 = 0

जहाँ M₁ = प्रक्षेप्य का द्रव्यमान, V₁ = प्रक्षेप्य का वेग, M₂ = टैंक का द्रव्यमान और V₂ = टैंक की अज्ञात प्रतिक्षेप गति

गणना:

दिया गया है कि-

M1 = 3 kg, V1 = 24 m/s, M2 = 0.4 टन = 400 kg

सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

M1V1 + M2V2 = 0

(3 × 24) + (400 × V₂) = 0

V₂ = -0.18 m/s,

टैंक 0.18 m/s के परिमाण के साथ पीछे की दिशा में प्रतिक्षेप करता है।

तो विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति:

\({x_{cm}} = \frac{{{m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} + \ldots + {m_n}{x_n}}}{{{m_1} + {m_2} + \ldots + {m_n}}}\)

द्रव्यमान के केंद्र का वेग:

\({V_{cm}} = \frac{{{m_1}{v_1} + {m_2}{v_2} + \ldots + {m_n}{v_n}}}{{{m_1} + {m_2} + \ldots + {m_n}}}\)

द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण:

\({a_{cm}} = \frac{{{m_1}{a_1} + {m_2}{a_2} + \ldots + {m_n}{a_n}}}{{{m_1} + {m_2} + \ldots + {m_n}}}\)

गणना:

\({\vec V_{cm}} = \frac{{{m_1}{v_1} + {m_2}{v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}\)

\(= \frac{{2 \times 20 - 4 \times 10}}{{2 + 4}}\) (ऋणात्मक, क्योंकि दोनों विपरीत दिशा में गति कर रहे हैं)

अवधारणा:

• गतिज ऊर्जा (K.E): अपनी गति के आधार पर एक निकाय के पास ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है ।

गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति इस प्रकार है:

\(KE = \frac{1}{2}m{v^2}\)

जहां m = निकाय का द्रव्यमान और v = निकाय का वेग

• संवेग (p): द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को संवेग कहा जाता है।

संवेग (p) = द्रव्यमान (m) × वेग (v)

गतिज ऊर्जा और रैखिक संवेग के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है:

जैसा कि हम जानते हैं,

 \(KE = \frac{1}{2}m{v^2}\)

अंश और हर को m से विभाजित करके, हम प्राप्त करते हैं

\(KE = \frac{1}{2}\frac{{{m^2}{v^2}}}{m} = \frac{1}{2}\frac{{\;{{\left( {mv} \right)}^2}}}{m} = \frac{1}{2}\frac{{{p^2}}}{m}\;\) [p = mv]

\(\therefore KE = \frac{1}{2}\frac{{{p^2}}}{m}\;\)

\(p = \sqrt {2mKE} \)

गणना:

दिया गया है:

K.E1 = K.E2 = K.E (मान लीजिए)

m₁ = 1 kg और m₂ = 4 kg

संवेग और गतिज ऊर्जा के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(P = \sqrt {2m\;K.E}\)

लेकिन चूँकि K.E समान है।

∴ \(P \propto \sqrt m \)

अथवा \(\frac{{{P_1}}}{{{P_2}}} = \sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} = \sqrt {\frac{{{1}}}{{{4}}}} =1: 2 \)

इसलिए विकल्प 1 सही है।