Electric Fields and Gauss' Law MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Electric Fields and Gauss' Law - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना :

मान लीजिए कि +q आवेश मूलबिंदु (x = 0) पर और +9q आवेश x = d पर रखा गया है।

मान लीजिए कि x-अक्ष पर दोनों आवेशों के बीच स्थित किसी बिंदु x (0 < x < d) पर विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है।

बिंदु x पर +q के कारण विद्युत क्षेत्र:

E_q = kq / x²

बिंदु x पर +9q के कारण विद्युत क्षेत्र (+9q से दूरी d - x है):

E_9q = k(9q) / (d - x)²

परिणामी विद्युत क्षेत्र के शून्य होने के लिए:

E_q = E_9q

⇒ kq / x² = k(9q) / (d - x)²

दोनों ओर से k और q को काटने पर:

1 / x² = 9 / (d - x)²

वर्गमूल लेने पर:

1 / x = 3 / (d - x)

वज्र गुणन करने पर:

d - x = 3x

⇒ d = 4x

⇒ x = d / 4

व्याख्या:

एकसमान विद्युत क्षेत्र में एक विद्युत द्विध्रुव एक बल आघूर्ण का अनुभव करता है जो द्विध्रुव को विद्युत क्षेत्र के साथ संरेखित करने का प्रयास करता है। एकसमान विद्युत क्षेत्र (E→" id="MathJax-Element-11-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">E→ E→ $\overrightarrow{E}$ ) में रखे विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण ( $\overrightarrow{P}$ ) पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण ( $\overrightarrow{\tau}$ ) द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र के सदिश क्रॉस गुणनफल द्वारा दिया जाता है।

बल आघूर्ण का सूत्र है:

$\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{P} \times \overrightarrow{E}$

दो सदिशों के सदिश गुणनफल के परिणामस्वरूप एक सदिश प्राप्त होता है जो दोनों के लंबवत होता है, और इसका परिमाण दो सदिशों के परिमाणों के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1: P→×E→" id="MathJax-Element-15-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">P→×E→ P→×E→  है। 

∴ विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\overrightarrow{P} \times \overrightarrow{E}$ है।

व्याख्या:

एक असमान विद्युत क्षेत्र में, एक विद्युत द्विध्रुव बल आघूर्ण और परिणामी बल दोनों का अनुभव करता है। बल आघूर्ण विद्युत क्षेत्र के साथ द्विध्रुव को संरेखित करने का कार्य करता है, जबकि परिणामी बल इस कारण उत्पन्न होता है कि विद्युत क्षेत्र की तीव्रता एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर भिन्न होती है, जिससे द्विध्रुव के धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों पर एक विभेदक बल बनता है।

इसलिए, एक असमान विद्युत क्षेत्र में, एक विद्युत द्विध्रुव बल आघूर्ण और साथ ही परिणामी बल दोनों का अनुभव करता है।

∴ सही उत्तर विकल्प 2 है।

व्याख्या:

घन से होकर गुजरने वाला कुल अभिवाह:
कुल अभिवाह की गणना इस प्रकार की जाती है:
घन से होकर गुजरने वाला कुल अभिवाह = (-q + 3q - q) / ε₀ = q / ε₀

समान क्षेत्र से गुजरने वाला अभिवाह:
चूँकि समान क्षेत्र से गुजरने वाला अभिवाह समान होता है, इसलिए x = (-a)/2, y = a/2 और z = a/2 स्थितियों के मान समान हैं।

प्रयुक्त अवधारणा:

सह-अक्षीय केबल में संचित चुंबकीय ऊर्जा आंतरिक चालक से होकर प्रवाहित स्थिर धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र (B) के कारण होती है।

किसी माध्यम में चुंबकीय ऊर्जा घनत्व दिया गया है:

u = B² / (2μ₀)

आयतन V में संचित कुल चुंबकीय ऊर्जा (U) है:

U = ∫ u dV

गणना:

सह-अक्षीय केबल के लिए:

B(r) = (μ₀ I) / (2πr)

dU = (B² / (2μ₀)) × (2πr dr L)

अक्ष से r दूरी पर (बेलनाकार क्षेत्र के अंदर) चुंबकीय क्षेत्र (B) ऐम्पियर के नियम द्वारा दिया गया है:

त्रिज्या r और मोटाई dr के बेलनाकार कोश में प्रति इकाई लंबाई में संचित ऊर्जा (dU/dL) है:

r = a से r = b तक समाकलन:

⇒ U = ∫[(μ₀ I² / (8π² r²)) × (2πr dr L)] a से b तक

⇒ U = (μ₀ I² L / (4π)) ∫(dr / r) a से b तक

⇒ U = (μ₀ I² L / (4π)) ln(b / a)

आंतरिक और बाह्य चालक के बीच संचित कुल चुंबकीय ऊर्जा है:

⇒ (μ₀ I² L / 4π) ln(b / a)

b = 4 a के लिए

2(μ₀ I² L / 4π) ln(2)

धारणा:​

विद्युत क्षेत्र की तीव्रता:

• किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की प्रबलता है।
• इसे उस बिंदु पर रखी गई इकाई धनात्मक आवेश द्वारा अनुभव किए गए बल के रूप में परिभाषित किया गया है।

\(\vec E = \frac{{\vec F}}{{{q_o}}}\)

जहाँ F = बल और qo = छोटा परीक्षण आवेश

• विद्युत क्षेत्र का परिमाण है

\(E = \frac{{kq}}{{{r^2}}}= \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{q}{{{r^2}}}\)

जहां K = विद्युत्स्थैतिक बल स्थिरांक कहा जानेवाला स्थिरांक, q = स्रोत आवेश और r = दूरी

• विद्युत क्षेत्र: एक आवेशित कण के आसपास का क्षेत्र जिसमें विद्युत्स्थैतिक बल को अन्य आवेशों द्वारा अनुभव किया जा सकता है, विद्युत क्षेत्र कहलाता है।
  • विद्युत क्षेत्र को E से दर्शाया जाता है।

व्याख्या:

• विद्युत क्षेत्र की तीव्रता एक सदिश राशि है क्योंकि इसे केवल तभी ठीक से परिभाषित किया जा सकता है जब इसका परिमाण और दिशा दोनों ज्ञात हों। तो विकल्प 2 सही है।

अवधारणा :

• गॉस का नियम : विद्युत क्षेत्र के लिए गॉस का नियम विद्युत आवेशों के वितरण द्वारा उत्पन्न स्थैतिक विद्युत क्षेत्र का वर्णन करता है।
  • यह बताता है कि किसी भी बंद सतह के माध्यम से विद्युत अभिवाह इस सतह से घिरे कुल विद्युत आवेश के समानुपाती होता है।

\(\phi_E = \frac{Q}{\epsilon_o}\)

जहाँ ϕ_E = किसी भी आयतन V को घेरे एक बंद सतह S के माध्यम से विद्युत अभिवाह, Q = V के साथ संलग्न कुल आवेश और ϵo = विद्युत स्थिरांक

• विद्युत अभिवाह किसी दिए गए क्षेत्र के माध्यम से विद्युत क्षेत्र का प्रवाह है।

• विद्युत अभिवाह एक आभासी सतह से गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या के लिए आनुपातिक है।

\({\phi}_E= E\cdot S = EScos\theta\)

जहाँ E = विद्युत क्षेत्र, S = सतह का क्षेत्र, E = परिमाण, θ = विद्युत क्षेत्र रेखाओं और S के लिए अभिलंब (लंब) के बीच का कोण, और ϕ_E = अभिवाह बंद बेलनाकार सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र।

व्याख्या:

• गॉस के नियम के अनुसार

\(ϕ_E = \frac{Q_(enclosed )}{ϵ_o}\)

• यदि गौसियन सतह की त्रिज्या दोगुनी हो जाती है, तो बाहरी विद्युत अभिवाह समान रहेगा।
• ऐसा इसलिए है क्योंकि विद्युत अभिवाह केवल सतह द्वारा लगाए गए आवेश पर निर्भर करता है ।

विकल्प 4 सही है।

अवधारणा:

गॉस का नियम:

• गॉस के नियम के अनुसार, कुल विद्युत फ्लक्स संवृत सतह से जुड़ा होता है है जिसे गॉसियन सतह कहाँ जाता है, \(\frac{1}{ϵ_o}\) संवृत सतह द्वारा संलग्न आवेश होता है।

\(\Rightarrow ϕ=\frac{Q}{ϵ_o}\)

जहाँ ϕ = विद्युत फ्लक्स संवृत सतह से जुड़ा होता है, Q = सतह में संलग्न कुल आवेश और ϵo = विद्युतशीलता

महत्वपूर्ण बिंदु:

1. गॉस का नियम किसी भी संवृत सतह के लिए सही है, चाहे उसकी आकृति या आकार kuch भी हो।
2. आवेश सतह के अंदर कहीं भी स्थित हो सकते हैं।

व्याख्या​:

गॉस का नियम:

• गॉस के नियम के अनुसार, कुल विद्युत फ्लक्स संवृत सतह से जुड़ा होता है है जिसे गॉसियन सतह कहाँ जाता है, \(\frac{1}{ϵ_o}\) संवृत सतह द्वारा संलग्न आवेश होता है।
• इसलिए यदि एक संवृत सतह में संलग्न कुल आवेश q है तो इसके साथ जुड़े कुल विद्युत फ्लक्स को इस प्रकार दिया जाएगा,

\(\Rightarrow ϕ=\frac{Q}{ϵ_o}\)       -----(1)

• समीकरण 1 द्वारा यह स्पष्ट है कि कुल फ्लक्स, संवृत सतह के साथ जुड़ा हुआ है जिसमें एक निश्चित मात्रा में आवेश रखा जाता है यह सतह की आकृति और आकार पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए, विकल्प 4 सही है।

सही उत्तर विकल्प 1 अर्थात Φ/2 है

अवधारणा:

विद्युत क्षेत्र का गॉस का नियम: इसके अनुसार संवृत सतह से निर्गत होने वाला कुल विद्युत अभिवाह इस परिबद्ध सतह के भीतर आवेश के समान आनुपातिक है। यह इस प्रकार है-

\(ϕ = \frac{q}{ϵ_0}\)

जहाँ ϕ विद्युत अभिवाह है, q परिबद्ध सतह के भीतर आवेश और ϵ₀ विद्युत स्थिरांक है।

व्याख्या:

दिया गया है:

मान लीजिये एक आवेश 'q' भुजा 'a' के एक घन के अंदर रखा गया है।

गॉस के नियम के अनुसार विद्युत अभिवाह

\(\Rightarrow ϕ = \frac{q}{ϵ_0}\)

\(\Rightarrow q' =\frac{q}{2}\)

इसलिए, इसके साथ जुडा हुआ विद्युत अभिवाह होगा-

\(\Rightarrow ϕ' =\frac{q'}{\epsilon_0}= \frac{\frac{q}{2}}{ϵ_0} = \frac{1}{2}\times \frac{q}{\epsilon_0} \)

\(\Rightarrow \phi '= \frac{1}{2} \times \phi = \frac{\phi}{2}\)

परिबद्ध सतह से निर्गत होने वाला विद्युत प्रवाह संवृत सतह के आकार या आयामों से स्वतंत्र होता है।

धारणा:

विद्युत फ्लक्स(Φ): किसी विद्युत् क्षेत्र में स्थित किसी पृष्ठ से गुजरने वाली वैद्युत बल रेखाओं की संख्या को सामान्यतः विद्युत फ्लक्स कहा जाता है। इसे Φ द्वारा निरूपित किया जाता है।

एक चयनित पृष्ठ के माध्यम से विद्युत फ्लक्स निम्न द्वारा दिया जाता है:

\({\rm{\Delta }}ϕ = \vec E.{\rm{\Delta }}\vec S = E{\rm{\Delta }}Scos\theta \)

जहाँ θ वैद्युत क्षेत्र और पृष्ठ के धनात्मक अभिलम्ब के बीच का कोण है।

गॉस का नियम:  यह बतात्ता है कि बंद पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश पृष्ठ के कुल वैद्युत क्षेत्र के ϵ0 से विभाजित के बराबर होता है।

\(\oint \vec E.\overrightarrow {ds} = \frac{{{q_{inside}}}}{{{ϵ_0}}}\)

जहाँ E = वैद्युत क्षेत्र, ds = लघु क्षेत्र, qinside = आतंरिक पृष्ठ का कुल आवेश, and ϵ0 = वायु या निर्वात की विद्युतशीलता

गणना:

प्रश्न के अनुसार, किसी आवेश को घन के किसी एक कोने पर रखा जाता है, और पूर्ण आवेशित कण के ​आवरण के लिए, 8 घनों की आवश्यकता पड़ती है।

\(\therefore ϕ =\frac{1}{8} \frac{q}{{{\varepsilon _0}}}\)

इसलिए, दिये गए घन से गुजराती वैद्युत फ्लक्स इस प्रकार है-

 \(\Rightarrow ϕ = \frac{q}{{8{\varepsilon _0}}}\) 

अवधारणा:

गॉस का नियम:

• इस नियम के अनुसार, गॉसियन सतह नामक एक संवृत सतह से जुड़ा कुल प्रवाह संवृत सतह से संलग्न आवेश का 1/εo गुणा है ।
•  

\(\Rightarrow \phi=\oint \vec{E}.\vec{dA}=\frac{Q}{\epsilon_o}\)

• यह नियम सभी संवृत सतहों पर लागू होता है।

व्याख्या:

• इस नियम के अनुसार, गॉसियन सतह नामक एक संवृत सतह से जुड़ा कुल प्रवाह संवृत सतह से संलग्न आवेश का 1/εo गुणा है ।
• इसलिए यह नियम सभी संवृत सतहों पर लागू होता है। इसलिए, विकल्प 1 सही है।

अवधारणा:

• द्विध्रुव: प्रणाली की ध्रुवता का माप विद्युत द्विध्रुवीय आघूर्ण है।
• विद्युत द्विध्रुव का सबसे सरल उदाहरण दूरी द्वारा अलग किए गए समान परिमाण और विपरित चिह्नों के विद्युत आवेशों की एक जोड़ी है।

द्विध्रुव से r दूरी पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र

\(E = \frac{Kp}{r^3}\sqrt{3cos^2θ+1}\)

जहाँ p द्विध्रुवीय आघूर्ण है, r द्विध्रुव से दूरी है, θ कोण है और K स्थिरांक है।

व्याख्या:

द्विध्रुव से r दूरी पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र

\(E = \frac{Kp}{r^3}\sqrt{3cos^2θ+1}\)

E α 1/r3

तो सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

विद्युत क्षेत्र रेखाएं

• विद्युत क्षेत्र रेखाएं काल्पनिक रेखाएं है जिनके अनुदिश एक धन परीक्षण आवेश गति करेगा, यदि उसे मुक्त छोड़ दिया जाता है।
• विद्युत क्षेत्र की रेखाएं विद्युत क्षेत्र को दर्शाने के लिए बनाई जाती हैं।

विद्युत क्षेत्र रेखाओं के गुणधर्म:

• विद्युत क्षेत्र रेखाएं धन आवेशों से शुरू होकर ऋण आवेशों पर समाप्त होते हैं। यदि एक भी धन आवेश है तो विद्युत क्षेत्र रेखाएं धन आवेश से शुरू होती हैं और अनंत पर समाप्त होती हैं। इसी तरह यदि एक ऋण आवेश भी है तो विद्युत क्षेत्र रेखाएं अनंत से शुरू होती हैं और ऋण आवेश पर समाप्त होती हैं।
• एक आवेश मुक्त क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र रेखाओं को बिना किसी अंतराल (टुकड़े) के निरंतर वक्र बनाया जा सकता है।

• विद्युत क्षेत्र रेखाओं पर किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा प्रदान करती है।
• बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित नहीं करती हैं।
• विद्युत क्षेत्र रेखाएं कभी भी संवृत पाश नही बनाती हैं।
• एक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र रेखाओं का घनत्व उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की प्रबलता को इंगित करता है।

व्याख्या:

• विद्युत क्षेत्र रेखाओं पर किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा प्रदान करती है ।
• बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित नहीं करती हैं।
• यदि एक बिंदु आवेश के कारण दो विद्युत क्षेत्र रेखाएं एक दूसरे को प्रतिच्छेदित करती हैं तो उस बिंदु पर दो अलग-अलग दिशाओं में दो स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं जो उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो अलग-अलग दिशाओं को दर्शाती हैं जो संभव नहीं है, क्योंकि एक बिंदु पर दिक्स्थान में विद्युत क्षेत्र की केवल एक दिशा होगी। इसलिए विकल्प 1 सही है।

संकल्पना:

• गॉस का नियम: एक बंद सतह के माध्यम से कुल विद्युत अभिवाह सतह में संलग्न आवेश का 1/εo गुना होता है। यानी \({\rm{\Phi }} = \frac{q}{{{\epsilon_o}}}\)

• लेकिन हम जानते है कि एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत अभिवाह निम्न है \(\oint \vec E \cdot \overrightarrow {ds} \)

\(\therefore\oint \vec E \cdot \overrightarrow {ds} = \frac{q}{{{\epsilon_o}}}\)

जहाँ, E = विद्युत क्षेत्र, q = सतह में संलग्न आवेश और εo = मुक्त स्थान की विद्युतशीलता

व्याख्या:

• जब विद्युत् आवेश को किसी वस्तु पर लगातार वितरित किया जाता है जिसकी ज्यामिति समरूप होती है तो इसमें विद्युतीय क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए गॉस के नियम का उपयोग किया जाता है।
• वस्तु एक समतल, सिलेंडर, गोला आदि हो सकती है।
• यह प्रमेय एक समान सतह से घिरे विद्युतीय क्षेत्र से जुड़े विद्युत अभिवाह को एक समान सतह से संलग्न कुल आवेश से संबंधित करता है। इसलिए विकल्प 1 सही है।

संकल्पना:

• गॉस का नियम: एक बंद सतह के माध्यम से कुल विद्युत प्रवाह सतह में संलग्न आवेश का 1/εo गुना अर्थात् \({\rm{\Phi }} = \frac{q}{{{\epsilon_o}}}\) होता है।
• लेकिन हम जानते है कि एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत प्रवाह निम्न है\(\oint \vec E \cdot \overrightarrow {ds} \)

\(\therefore\oint \vec E \cdot \overrightarrow {ds} = \frac{q}{{{\epsilon_o}}}\)

जहाँ, E = विद्युत क्षेत्र, q = सतह में संलग्न आवेश और εo = मुक्त स्थान की विद्युतशीलता 

वर्णन:

लाइन आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र -

• एक अनंत रूप से लंबे सीधे चालक के कारण विद्युत क्षेत्र निम्न है -

\(E=\frac{\lambda }{2\pi {{\epsilon }_{o}}r}~\)

जहाँ λ =  रैखिक आवेश घनत्व, r = सिलेंडर की त्रिज्या और εo = मुक्त स्थान की विद्युतशीलता।

• उपरोक्त समीकरण से यह स्पष्ट है कि एक अनंत रूप से लंबे सीधे तार का विद्युत क्षेत्र 1/r के आनुपातिक है। अतः विकल्प 1 सही है।