Mixed Operations on Sets MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mixed Operations on Sets - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

समावेशन-अपवर्जन का सिद्धांत (PIE):

• यह सिद्धांत कई समुच्चयों के संघ में तत्वों की संख्या की गणना करने के लिए प्रयोग किया जाता है जब समुच्चयों के बीच अतिव्यापी होता है।
• यह युग्मवार प्रतिच्छेदनों के आकार को घटाकर, त्रिगुणित प्रतिच्छेदनों को जोड़कर, और इसी तरह से अतिगणना को सही करता है।

गणना:

दिया गया है,

एक कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या = 100

n(A): गणित पसंद करने वालों की संख्या = 60

n(B): भौतिकी पसंद करने वालों की संख्या = 50

n(C): रसायन विज्ञान पसंद करने वालों की संख्या = 40

n(A ∩ B) = 30, n(B ∩ C) = 20, n(C ∩ A) = 25

n(A ∩ B ∩ C) = 15

हमें उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात करनी है जो कम से कम तीन विषयों में से एक विषय पसंद करते हैं:

⇒ n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

⇒ 60 + 50 + 40 − 30 − 20 − 25 + 15

⇒ 150 − 75 + 15 = 90

∴ कम से कम एक विषय पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या = 90

दिया गया:

सेट X = { a, b, c, d }

सेट Y = { f, b, d, g }

हमें X ∩ Y (समुच्चयों X और Y का प्रतिच्छेद) ज्ञात करना है।

प्रयुक्त सूत्र:

दो समुच्चयों X और Y का प्रतिच्छेद, जिसे X ∩ Y द्वारा दर्शाया जाता है, उन तत्वों का समुच्चय है जो X और Y दोनों में उभयनिष्ठ हैं।

गणना:

X में तत्व: { a, b, c, d }

Y में तत्व: { f, b, d, g }

दोनों सेटों में सामान्य तत्व: { b, d }

∴ X ∩ Y = { b, d }.

दिया गया है:

A = { 3, 5, 7, 9, 11 }

B = {7, 9, 11, 13}

C = {11, 13, 15}

गणना:

सबसे पहले, B ∪ C ज्ञात कीजिए

B ∪ C = {7, 9, 11, 13, 15}

अब, A ∩ (B ∪ C) ज्ञात कीजिए

A = {3, 5, 7, 9, 11}

B ∪ C = {7, 9, 11, 13, 15}

⇒ A ∩ (B ∪ C) = {7, 9, 11}

सही उत्तर विकल्प 1 है।

सही उत्तर है: {8, 10, 12}

समाधान: व्यंजक $((A\cap B)\cup (B\cap C))$ को हल करने के लिए, हमें पहले प्रतिच्छेदन $(A\cap B)and(B\cap C).$ ज्ञात करने की आवश्यकता है।

चरण 1: $(A\cap B)$ ज्ञात करें
(A = {2, 4, 6, 8, 10, 12})
(B = {8, 10, 12, 14, 16, 18})
दोनों समुच्चयों (A) और (B) में उभयनिष्ठ तत्व हैं: (8, 10, 12).

इसलिए, $(A\cap B=8,10,12).$

चरण 2: $(B\cap C)$ ज्ञात करें
(B = {8, 10, 12, 14, 16, 18})
(C = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13})
दोनों समुच्चयों (B) और (C) में उभयनिष्ठ तत्व हैं: (8, 10, 12).

इसलिए, $(B\cap C=8,10,12).$

चरण 3: $((A\cap B)\cup (B\cap C))$ ज्ञात करें
$(A\cap B=8,10,12)(B\cap C=8,10,12)$
अब हम इन दोनों समुच्चयों का संघ लेते हैं। चूँकि दोनों समान समुच्चय हैं:

$((A\cap B)\cup (B\cap C)=8,10,12\cup 8,10,12=8,10,12)$

दिया गया है:

A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17} 

B = {2, 4, ..., 18} 

N समष्टिय समुच्चय है।

गणना:

(A U B) ∩ B' = A

((A U B) ∩ B') U A' = A U A' = N

सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

डी मॉर्गन का नियम:

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

समुच्चय में वितरक नियम:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

गणना:

दिया गया है: A और B दो समुच्चय हैं। 

निम्न को ज्ञात करने के लिए: A ∩ (B ∪ A)^c

चूँकि हम जानते हैं, (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

इसलिए (B ∪ A)^c = B^c ∩ A^c

अब A ∩ (B ∪ A)^c = A ∩ (B^c ∩ A^c)

= (A ∩ B^c) ∩ (A ∩ A^c)             (वितरक नियम प्रयोग करने पर)

= (A ∩ B^c) ∩ ϕ                        (∵ x ∩ ϕ = ϕ)

= ϕ 

गणना:

दिया हुआ: चार समुच्चयों में क्रमशः 150, 180, 210 और 240 तत्व हैं

n(A) = 150

n(B) = 180

n(C) = 210

n(D) = 240

समुच्चय के प्रत्येक जोड़े में 15 तत्व हैं

n(A ∩ B) = 15

n(A ∩ C) = 15

n(A ∩ D) = 15

n(B ∩ C) = 15

n(B ∩ D) = 15

n(C ∩ D) = 15

समुच्चय के प्रत्येक त्रिक (ट्रिपल) में 3 तत्व हैं

n(A ∩ B ∩ C) = 3

n(A ∩ B ∩ D) = 3

n(A ∩ C ∩ D) = 3

n(B ∩ C ∩ D) = 3

A ∩ B ∩ C ∩ D = ϕ 

n(A ∩ B ∩ C ∩ D) = 0

अब 4 समुच्चय A, B, C और D के संघ में तत्वों की संख्या

n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(A ∩ D) - n(B ∩ C) - n(B ∩ D) - n(C ∩ D) + n(A ∩ B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ D) + n(A ∩ C ∩ D) + n(B ∩ C ∩ D) - n(A ∩ B ∩ C ∩ D)

= 150 + 180 + 210 + 240 - 6 × 15 + 4 × 3 - 0

= 702

संकल्पना:

माना कि A और B तत्वों के दो समुच्चय दर्शाते हैं।

• n(A) और n(B) क्रमशः समुच्चय A और B में मौजूद तत्वों की संख्या है।
• n(A ⋃ B) या तो समुच्चय A या B में मौजूद तत्वों की कुल संख्या है।
• n(A ⋂ B) समुच्चय A और B दोनों में मौजूद तत्वों की संख्या है।
• n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ⋂ B)

गणना:

माना कि A छात्रों का एक समुच्चय है जो "हितवाद" पढ़ते हैं और B छात्रों का समुच्चय है जो "हिंदुस्तान" पढ़ते हैं।

दी गई जानकारी से:

n(A ⋃ B) = 50 - 10 = 40

n(A) = 30

n(B) = 35

n(A ⋃ B) = n(A) + n(B) - n(A ⋂ B) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

40 = 30 + 35 - n(A ⋂ B)

⇒ n(A ⋂ B) = 25

∴ "हितवाद" और "हिन्दुस्तान" दोनों समाचार पत्रों को पढ़ने वाले छात्रों की संख्या n(A ⋂ B) = 25 है।

संकल्पना:

दिया गया है: n(Z) = 90 और Y और Z में तत्वों की संख्या 4 : 5 के अनुपात में हैं। 

निम्न का मान ज्ञात करने के लिए: b = ?

n(Y) = 16 + 18 + 17 + b

n(Z) = 12 + 18 + 17 + c = 90 

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{n}(\mathrm{y})}{\mathrm{n}(\mathrm{z})}=\frac{16+18+17+\mathrm{b}}{12+18+17+\mathrm{c}}=\frac{4}{5} \\ \Rightarrow \frac{51+\mathrm{b}}{90}=\frac{4}{5} \\ \Rightarrow (51+\mathrm{b})\times 5=360 \\ \Rightarrow 255+5\mathrm{b}=360 \\ \Rightarrow 5\mathrm{b}=105 \\ \Rightarrow \mathrm{b}=21 \end{gathered}$$

अतः विकल्प (3) सही है। 

गणना:

दिया गया है: n(Z) = 90, 

उपरोक्त आरेख से, हमें निम्न प्राप्त होता है

n(X) = a + 46, n(Y) = b + 51, n(X ∩ Y) = 16 + 18 = 34, n(Y ∩ Z) = 17 + 18 =35, n(X ∩ Z) = 12 + 18 = 30, n(X ∩ Y ∩ Z) = 18

n(X) + n(Y) + n(Z) - n(X ∩ Y) - n(Y ∩ Z) - n(X ∩ Z) + n(X ∩ Y ∩ Z) = 

a + 46 + b + 51 + 90 - 34 - 35 - 30 + 18

= a + b + 106

अतः विकल्प (4) सही है। 

गणना:

कथन -1: A – (B ∪ C) = (A - B) ∪ (A - C)

बायां पक्ष = (a, b, c, d) – (b, c, d, e, f, g) = a

दायां पक्ष= (a, b) ∪ (a, d) = a, b, d

यहाँ बायां पक्ष ≠ दायां पक्ष। इसलिए, यह कथन सही नहीं है। 

कथन - 2: A – B = A – (A ∩ B)

बायां पक्ष = a, b

दायां पक्ष = (a, b, c, d) – (c, d) = a, b

इसलिए, यह कथन सही है। 

कथन - 3: A = (A ∩ B) ∪ (A - B)

बायां पक्ष = a, b, c, d

दायां पक्ष = (c, d) ∪ (a, b) = a, b, c, d

इसलिए, यह कथन भी सही है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

संकल्पना:

P - Q = तत्वों का वह समुच्चय जो P से संबंधित है लेकिन Q से नहीं। 

P U Q = वह समुच्चय जिसमें P के सभी तत्व और Q के सभी तत्व शामिल हैं, तो सामान्य तत्व को केवल एक बार लिया गया है। 

P ∩ Q = सभी तत्वों का वह समुच्चय जो A और B दोनों के लिए सामान्य होते हैं। 

गणना:

माना कि P = {1, 2, 3, 4} और Q = {3, 4, 5, 6} है। 

⇒ P - Q = {1, 2}

⇒ Q - P = {5, 6}

⇒ P U Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

⇒ P ∩ Q = {3, 4}

⇒ (P - Q) ∪ (Q - P) ∪ (P ∩ Q) = {1, 2} U {5, 6} U {3, 4} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = P U Q

संकल्पना:

X का पूरक = U - X, जहाँ U सार्वसमुच्चय है। 

गणना:

हम जानते हैं, n(X) + n(Y) + n(Z) - n(X ∩ Y) - n(Y ∩ Z) - n(X ∩ Z) + n(X ∩ Y ∩ Z) = n(X ∪ Y ∪ Z)

यहाँ U - n(X ∪ Y ∪ Z) = p, जहाँ U एक सार्वसमुच्चय है। 

⇒ U - (a + b + 106) = p

⇒ U = p + (a + b + 106) 

अब X के पूरक में तत्वों की संख्या, U - n(X) = p + (a + b + 106) - (a + 16 + 18 + 12)

= p + b + 60

अतः विकल्प (1) सही है। 

गणना:

दिया गया है: (A ∪ B ∪ C) ∩ (A ∩ B′ ∩ C′)′ ∩ C′

⇒ (A ∪ B ∪ C) ∩ (A ∩ B′ ∩ C′)′ ∩ C′

⇒ ((A ∪ B ∪ C) ∩ (A' ∪ B ∪ C)) ∩ C′

⇒ ((A ∩ A') ∪ (B ∪ C)) ∩ C' .

⇒ (ϕ ∪ (B ∪ C)) ∩ C'

⇒ (B ∪ C) ∩ C'

⇒ (B ∩ C') ∪  (C ∩ C')

⇒ (B ∩ C') ∪ ϕ 

⇒ B ∩ C'

अभीष्ट तुल्य B ∩ C' है।

अवधारणा:

किसी भी सेट A, B और C के लिए निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

• वर्गसम नियम: A ∪ A = A
• तत्समकता का नियम: A ∪ ϕ = ϕ ∪ A = A
• वितरक नियम: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) और A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

गणना:

कथन 1 : A ∪ ϕ = A

हम जानते हैं कि कथन 1 सत्य है क्योंकि तत्समकता के नियम के अनुसार A ∪ ϕ = ϕ ∪ A = A

कथन 2: A ∪ A = A

हम जानते हैं कि कथन 2 सत्य है क्योंकि वर्गसम नियम के अनुसार A ∪ A = A

कथन 3: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

हम जानते हैं कि कथन 3 सत्य है क्योंकि वितरक नियम के अनुसार A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) and A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

कथन 4: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

हम जानते हैं कि कथन 4 सत्य है क्योंकि वितरक नियम के अनुसार A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) and A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

इसलिए, सभी कथन सत्य हैं।