Intersection of Sets MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Intersection of Sets - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

X = {8, 14, 20, .......368,374}

8 = 2 + 6 (1) और 374 = 2 + 6 (62)

इसलिए, X में 62 अवयव हैं। यदि हम (8,374), (14, 368) जैसे युग्म बनाते हैं, तो 31 युग्म होंगे। प्रत्येक युग्म से, यदि हम केवल एक संख्या चुन सकते हैं, तो चुनी गई किसी भी दो संख्याओं का योग 382 नहीं होगा। इस प्रकार, हम अधिकतम 31 संख्याएँ चुन सकते हैं ताकि दी गई शर्त पूरी हो।

हमारे पास है,

(-1, 0) ∈ A × A और (0, 1) ∈ A × A ⇒ -1, 0, 1 ∈ A

लेकिन, A × A में 9 तत्व हैं। इसलिए, A में 3 तत्व हैं।

अतः, A = {-1, 0, 1}

दिया गया है:

A = {1, 2, 3}

B = {3, 4, 5)

गणना:

प्रश्न के अनुसार

A ∩ B = {3}

A = {1, 2, 3}

∴ (A ∩ B) × A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3)}

सही उत्तर विकल्प 2 है।

प्रयुक्त अवधारणा:

n(B ∩ C) का न्यूनतम संभावित मान n(A ∩ B ∩ C) है। 

गणना:

n(B ∩ C) का न्यूनतम संभावित मान है,

⇒ n(A ∩ B ∩ C)

⇒ 3

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया है:

 n (A) = 10, n (B) = 6 और n (C) = 5 

A, B, C असंयुक्त समुच्चय हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

n (A U B U C) = n (A) + n (B) + n (C)

गणना:

n(A U B U C) = 10 + 6 + 5

= 21

सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

एक उचित उपसमुच्चय वह होता है जिसमें मूल समुच्चय के कुछ अवयव होते हैं।

एक अधिसमुच्चय वह होता है जिसमें मूल समुच्चय के अवयवों सहित सभी अवयव होते हैं।

गणना:

{1, 2, 3, 4} के अधिसमुच्चय और समुच्चय {4} के अधिसमुच्चय 

{4}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4), (1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}

अत: समुच्चय {4} के 8 अधिसमुच्चय हैं।

∴ समुच्चय की अभीष्ट संख्या 8 है।

संकल्पना:

दो समुच्चय X और Y का प्रतिच्छेदन तत्वों का वह समुच्चय होता है जो समुच्चय X और समुच्चय Y दोनों के लिए सामान्य होते हैं। इसे X ∩ Y द्वारा दर्शाया जाता है और इसे 'X प्रतिच्छेदन Y' पढ़ा जाता है। 

गणना:

A = {(2n, 3n): n ϵ N}

= {(2, 3), (4, 6), (6, 9), ………} और 

B = {(3n, 5n): n ϵ N}

= {(3, 5), (6, 10), (9, 15), ………}

दोनों पक्षों में कोई भी सदस्य सामान्य नहीं है। 

∴ A ∩ B = ϕ

अतः विकल्प (4) सही है। 

गणना:

दिया गया समुच्चय X निम्न है,

{2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98 }

हम X के उपसमुच्चय S का अधिकतम आकार इस प्रकार ज्ञात करना चाहते हैं कि कोई भी दो अवयवों का योगफल 100 के बराबर न हो।

X में वे युग्म जिनका योगफल 100 है:

(2, 98), (6, 94), (10, 90), (14, 86), (18, 82), (22, 78), (26, 74), (30, 70), (34, 66), (38, 62), (42, 58), (46, 54), (50, 50).{नोट: 50 X में केवल एक बार दिखाई देता है}

इसलिए,

S में तत्वों की संख्या को अधिकतम करने के लिए, यह सुनिश्चित करते हुए कि कोई भी दो तत्व 100 न हों:

• 12 जोड़ों में से प्रत्येक से एक तत्व चुनें (लेकिन दोनों नहीं)
• इसके अतिरिक्त, तत्व 50 को शामिल करें

S में अवयवों की अधिकतम संभव संख्या = 13

∴ S में अवयवों की अधिकतम संभव संख्या 13 है।

संकल्पना:

(A ⋂ B) समुच्चय (A और B) दोनों में मौजूद अवयव हैं। 

गणना:

यहाँ, A = {x: x एक प्राकृतिक संख्या है और 1 < x ≤ 4}, 

A = {2, 3, 4}

B = {x: x एक प्राकृतिक संख्या है और 4 < x ≤ 7}

B = {5, 6, 7}

यहाँ, एक अवयव भी दोनों समुच्चयों में सामान्य नहीं है। 

इसलिए, (A ∩ B) = ϕ 

अतः विकल्प (4) सही है। 

संकल्पना:

• P - Q = P ∩ QC      ----(1)
• डी मॉर्गन के नियम: (P ∪ Q)C = PC ⋂ QC and (P ⋂ Q)C = PC ∪ QC      ----(2)
• दोहरे पूरकता का नियम: (PC)C = P      ----(3)

• वितरण: P ⋂ (Q ∪ R) = (P ⋂ Q) ∪ (P ⋂ R)      ----(4)

गणना:

A - (A - B)

⇒ A - (A ∩ BC) [(1) का उपयोग करके]

⇒ A ∩ (A ∩ BC)C  [(1) का उपयोग करके]

⇒ A ∩ (AC ∪ B)   [(2) और (3) का उपयोग करके]

⇒ (A ∩ AC) ∪ (A ∩ B)  [4 का उपयोग करके)]

⇒ A ∩ B

इसलिए, A - (A - B) = A ∩ B है।

संकल्पना:

दो समुच्चय X और Y का प्रतिच्छेदन तत्वों का समुच्चय है जो समुच्चय X और समुच्चय Y दोनों के लिए सामान्य होते हैं। 

इसे X ∩ Y द्वारा दर्शाया जाता है और इसे 'X प्रतिच्छेदन Y' पढ़ा जाता है। 

गणनीयता समुच्चय में मौजूद तत्वों की संख्या होती है। 

गणना:

यहाँ, A = {x : x प्राकृतिक संख्या का एक वर्ग है और x, 100 से कम है} 

इसलिए, A = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} और 

B सम प्राकृतिक संख्याओं का एक समुच्चय है। 

इसलिए, B = {2, 4, 6, 8, ....., }

अब, A ∩ B = {4, 16, 36, 64} 

∴ गणनीयता = n(A ∩ B) = 4 

अतः विकल्प (1) सही है।            

संकल्पना:

दो समुच्चयों X और Y का सर्वनिष्ठ उन घटकों का समुच्चय है जो  समुच्चय  X और समुच्चय Y दोनों के लिए सर्वनिष्ठ हैं। इसे X ∩ Y द्वारा निरुपित किया जाता है और  ‘X सर्वनिष्ठ  Y ’पढ़ा जाता है। 

गणना:

A = {(n, 2n): n ϵ N} जब N  1, 2, 3, .......... है

= {(1, 2), (2, 4), (3, 6), ………} 

B = {(2n, 3n): n ϵ N} जब N  1, 2, 3, ..........है

= {(2, 3), (4, 6), (6, 9), ………}

दोनों समुच्चयों की कोई संख्या सर्वनिष्ठ नहीं है।

 A ∩ B = ϕ

∴ A ∩ B में कोई समुच्चय सर्वनिष्ठ नहीं है।

गणना:

दिया गया है:

A = {x ∈ R : x² + 6x – 7 < 0}

⇒ x² + 6x – 7 < 0

⇒ x² + 7x - x – 7 < 0

⇒ x (x + 7) – 1 (x + 7) < 0

⇒ (x – 1) (x + 7) < 0

∴ A ∈ (-7, 1)

अब, B = {x ∈ R : x² + 9x + 14 > 0}

⇒ x² + 9x + 14 > 0

⇒ x² + 7x + 2x + 14 > 0

⇒ x (x + 7) + 2(x + 7) > 0

⇒ (x + 7) (x + 2) > 0

∴ B ∈ (-∞, -7) ∪ (-2, ∞)

अब, A ∩ B

∴ A ∩ B = (-2, 1) ⇔ A ∩ B = {x ∈ R : - 2 < x < 1}

इसलिए, कथन 1 सत्य है,

अब, A ∪ B = R – {-7}

अतः कथन 2 गलत है। 

अवधारणा :

​संघनिष्ठ:

माना कि A और B दो समुच्चय हैं। A और B का संघनिष्ठ उन सभी तत्वों का समूह है जो A और B दोनों समुच्चयों में मौजूद हैं।

A और B के संघनिष्ठ को A ∩ B द्वारा निरूपित किया जाता है अर्थात A ∩ B = {x : x ∈ A और x ∈ B}

गणना :

दिया गया: A = {1, 2, 3, 4} और B = {x ∈ N : x ≤ 5}

समुच्चय B को फिर से B = {1, 2, 3, 4, 5} के रूप में लिखा जा सकता है

जैसा कि हम जानते हैं कि, A ∩ B = {x : x ∈ A और x ∈ B}

⇒ A ∩ B = {1, 2, 3, 4} = A

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

दिया गया है

n(Q) = 36, n(R) = 40 और n(Q U R) = 50,

गणना

n(Q U R) = n(Q) + n(R) - n(Q ∩ R)

⇒ 50 = 36 + 40 - n(Q ∩ R)

⇒ 50 = 76 - n(Q ∩ R)

n(Q ∩ R) = 26