Linear Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Linear Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

(i) एक वर्ग आव्यूह का ट्रेस = अभिलक्षणिक मानों का योग

(ii) एक वर्ग आव्यूह का सारणिक = अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल

(ii) यदि आव्यूह की प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग λ है, तो λ उस आव्यूह का एक अभिलक्षणिक मान है।

स्पष्टीकरण:

\(A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 5 \\ 2 & 5 & -3\end{array}\right]\)

प्रत्येक पंक्ति के अवयवों का योग 4 है इसलिए 4 एक अभिलक्षणिक मान है।

A का ट्रेस = 1 - 2 - 3 = -4

det(A) = \(\begin{vmatrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 5 \\ 2 & 5 & -3\end{vmatrix}\) = 1(6 - 25) + 1( 10 + 3) + 2(5 + 4) = -19 + 13 + 18 = 12

(1): 4 एक अभिलक्षणिक मान नहीं है।

इसलिए विकल्प (1) गलत है।

(2): आव्यूह का ट्रेस = अभिलक्षणिक मानों का योग = 4 + 3 + 1 = 9 ≠ -4

इसलिए विकल्प (2) गलत है।

(3): आव्यूह का ट्रेस = 4 - 4 + √13 - 4 - √13 = -4

और A का सारणिक = 4(-4 + √13)(-4 - √13) = 4(16 - 13) = 12

अतः विकल्प (3) सही है।

(4): आव्यूह का सारणिक = 4 (-2 + 2√7)(-2 - 2√7) = 4(4 - 28) = -96

अतः विकल्प (4) गलत है।

व्याख्या:

विकल्प (1) के लिए:

यदि हम V के आधार का कोई उचित उपसमुच्चय S लेते हैं, तो यह रैखिकतः स्वतंत्र समुच्चय है जिसका कार्डिनैलिटी dim V से कम है।

तब (I) से (IV) निष्कर्ष नहीं निकलता है।

विकल्प (1) सही नहीं है।

विकल्प (2) के लिए, यदि S आश्रित है, तो गैर-रैखिक प्रतिचित्रण f: S → W को परिभाषित करना संभव है (रैखिक प्रतिचित्रण की किसी एक शर्त को असत्य करके), जिसे तब V से W तक के रैखिक प्रतिचित्रण में विस्तारित नहीं किया जा सकता है।

इस प्रकार (I) से (III) निष्कर्ष निकलता है।

विकल्प (2) सही है।

यदि V के किसी उपसमुच्चय S पर सहमत होने वाले कोई भी दो रैखिक प्रतिचित्रण संपूर्ण V तक सर्वसम रूप से विस्तारित होते हैं, तो S का विस्तार संपूर्ण V होना चाहिए, लेकिन S स्वतंत्र होने की आवश्यकता नहीं है।

इसलिए (II) का तात्पर्य (IV) से है, लेकिन इसका तात्पर्य (III) से नहीं है।

विकल्प (4) सही है।

इसलिए विकल्प (2) और विकल्प (4) सही हैं।

संगति का अर्थ है, समीकरणों की प्रणाली के अनंत समाधान या अद्वितीय समाधान होना चाहिए

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 2&6&{ - 11}&:&b\\ 1&{ - 2}&7&:&c \end{array}} \right]\)

R2 → R2 - 2R1

R3 → R3 – R1

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 0&2&{ - 5}&:&{b - 2a}\\ 0&{ - 4}&{10}&:&{c - a} \end{array}} \right]\)

R3 → R3 + 2R2

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 0&2&{ - 5}&:&{b - 2a}\\ 0&0&0&:&{c - a + 2b - 4a} \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 3}&:&a\\ 0&2&{ - 5}&:&{b - 2a}\\ 0&0&0&:&{ - 5a + 2b + c} \end{array}} \right]\)

संगति के लिए ρ [A/b] = ρ [A] < n

दिया गया है:

2x – 3y + 2z = a,

5x + 4y – 2z = – 3 और

x – 13y + kz = 9

प्रयुक्त संकल्पना:

यदि x, y, और z के गुणांक का सारणिक शून्य के बराबर है, तब समीकरण के दिए गए निकाय का अद्वितीय हल नहीं होगा।

हल:

D = \(\begin{vmatrix}2 & - 3 & 2\\5 & 4 & -2\\1 & -13 & k\end{vmatrix}\) = 0

⇒ 2 (4k - 26) - (- 3) (5k + 2) + 2 (- 65 - 4) = 0

⇒ 8k - 52 + 15k + 6 - 138 = 0

⇒ 23k - 184 = 0

⇒ k = 8

\(\therefore\) विकल्प 1 सही है।

व्याख्या:

कथन P: दिया गया रैखिक रूपांतरण

\(T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

T(x, y, z, u) = (3x, 2y, 0, 0) \(\forall \) (x, y, z, u) ∈ \(\mathbb{R}^{4} \)

T का कर्नेल ज्ञात करने के लिए:

मान लीजिये (x, y, z, u) ∈ ker T

तब T(x, y, z, u) = (0, 0, 0, 0)

रैखिक रूपांतरण की परिभाषा का उपयोग करके, हमें (3x, 2y, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) प्राप्त होता है

⇒ x = 0, y = 0, और z और u स्वेच्छ हैं

इसलिए, ker T = {(0, 0, z, u) : z, u ∈ \(\mathbb{R} \)

चूँकि कर्नेल में दो मुक्त चर, z और u हैं

⇒ T की शून्यता = 2

कोटि-शून्यता प्रमेय का उपयोग करके T का कोटि ज्ञात करते हैं:

T का कोटि = dim \(\mathbb{R}^{4} \) - T की शून्यता = 4 - 2 = 2

⇒ T का कोटि = 2

अतः T का कोटि = T की शून्यता = 2

⇒ कथन P असत्य है।

कथन Q:

मान लीजिये \( T : \mathbb{R^3} → \mathbb{R^3} \) को \(T(x, y, z,) =( 3x, 2y, 0 ) ∀ (x, y, z ) ∈ \mathbb{R^3} \) द्वारा परिभाषित किया गया है।

Ker T = {(x, y, z) इस प्रकार कि T(x, y ,z) = 0}

Ker T = {(x, y, z) : (3x, 2y ,0) = 0}

Ker T = {(0, 0, z) : z ∈ \mathbb{R}}

इसलिए, Ker T ≠ {0, 0, 0}

⇒ T अव्युत्क्रमणीय है।

और \( S : \mathbb{R^2} → \mathbb{R^2} \) को S(x, y)= (2x, 3y) द्वारा परिभाषित किया गया है

Ker S = {(x, y) इस प्रकार कि S(x, y) = 0}

Ker S = {(x, y) : (2x, 3y) = 0} = {(0, 0)}

⇒ S व्युत्क्रमणीय है।

⇒ T अव्युत्क्रमणीय है और S व्युत्क्रमणीय है।

⇒ कथन Q भी असत्य है।

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

अवधारणा -

(1) यदि a, M का आइगेन मान है, तब Mn का आइगेन मान an है।

(2) यदि आव्यूह के सभी आइगेन मान भिन्न हैं तब आव्यूह विकर्णीय होगा।

स्पष्टीकरण -

दिया गया है - \(\rm M=\begin{bmatrix}4&-3\\\ 1&0\end{bmatrix}\)

अब दिए गए आव्यूह के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण है -

⇒ | M - λ I | = 0

⇒ \(\rm det\begin{bmatrix}4-λ&-3\\\ 1&-λ\end{bmatrix}=0\)

⇒ -λ (4 - λ ) + 3 = 0 ⇒ λ² - 4λ + 3 = 0

अब इस समीकरण को हल करने पर, हमें आव्यूह का आइगेन मान प्राप्त होता है-

 ⇒ λ2 - 3λ - λ  + 3 = 0  ⇒ (λ -3)(λ -1) = 0  ⇒ λ = 1, 3 

इसलिए, M का आइगेन मान 1 और 3 है।

अब दिए गए कथनों को हल करने पर -

(P) 𝑀8 + 𝑀12 विकर्णीय है।

अब 𝑀8 + 𝑀12 के आइगेन मान   \((1)^8 + (1)^{12} = 2 \ \ और \ \ (3)^8 +(3)^{12} =82(3)^8\)

अतः 𝑀8 + 𝑀12 के दोनों आइगेन मान भिन्न है, इसलिए, 𝑀8 + 𝑀12  विकर्णीय है।

(𝑄) 𝑀7 + 𝑀9 विकर्णीय है।

अब 𝑀7 + 𝑀9 के आइगेन मान  \((1)^7 + (1)^9 = 2 \ \ और \ \ (3)^7 +(3)^9 =10(3)^7\)

अतः 𝑀7 + 𝑀9 के दोनों आइगेन मान भिन्न है, इसलिए 𝑀7 + 𝑀9 विकर्णीय है।

अतः विकल्प (4) सत्य है।

अवधारणा:

विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए

व्याख्या:

A एक 3 × 3 आव्यूह है जिसमें वास्तविक प्रविष्टियाँ हैं।

इसलिए A का अभिलक्षणिक बहुपद 3 घात का होगा।

(1): चूँकि हम जानते हैं कि, विषम घात बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होना चाहिए, इसलिए A का एक वास्तविक आइगेन मान होना चाहिए।

(1) सत्य है

(2): जैसा कि हम जानते हैं कि आव्यूह का सारणिक आइगेन मान के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए यदि A का सारणिक 0 है, तो 0, A का एक आइगेन मान है।

(2) सत्य है

(3): A का सारणिक ऋणात्मक है और 3, A का एक आइगेन मान है।

यदि संभव हो तो मान लीजिए कि A के अन्य दो आइगेन मान वास्तविक नहीं हैं और वे α + iβ, α + iβ हैं।

इसलिए सारणिक = 3(α + iβ)(α - iβ) = 3(α² + β²) > 0 सभी α, β के लिए जो एक विरोधाभास है।

इसलिए A के तीन वास्तविक आइगेन मान होने चाहिए।

(3) सत्य है और (4) असत्य कथन है।

व्याख्या:

ℝ3 पर एक रैखिक संकारक T हो। तो T एक 3 × 3 आव्यूह है।

(a): T शून्येतर है और 0 T का एक आइगेन मान है। मान लीजिए अन्य दो आइगेन मान α, β हैं, तो f(x) = x(x - α)(x - β)

चूँकि f(X) = X g(X) इसलिए g(x) = (x - α)(x - β)

यदि α = 2, β = -2 तो g(x) = (x - 2)(x + 2) = x² - 4

इसलिए g(T) = T² - 4I

अब, T के आइगेन मान 0, 2, -2 हैं तो g(T) के आइगेन मान 4, 0, 0 हैं

इसलिए g(T) ≠ 0

(a) असत्य है।

(b): 0, T का एक आइगेन मान है जिसमें कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेन वेक्टर हैं।

इसलिए 0 के लिए GM = 2 

हम जानते हैं कि AM ≥ GM

इसलिए AM ≥ 2 ⇒ AM = 2 या AM = 3 आइगेन मान 0 के लिए

मामले के लिए AM = 2

मान लीजिए T = \(\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&λ\end{bmatrix}\) λ ≠ 0

इसलिए अभिलक्षणिक बहुपद f(x) = x²(x - λ)

इसलिए g(x) = x(x - λ) = x² - λx

इसलिए g(T) = T² - λT

अब, T का आइगेन मान 0, 0, λ है

T2 - λT का आइगेन मान 0 - 0λ, 0 - 0λ, λ² - λ² = 0, 0, 0 है

इसलिए g(T) = 0

यदि λ = 0 तो f(x) = x³ इसलिए g(x) = x² इसलिए g(T) = 0

(b) सही है।

विकल्प (4) सही है।

स्पष्टीकरण:

अभिलक्षणिक बहुपद p(T), T² से विभाज्य है।

p(x)/x2

तो p(x) = x 2 (x + a) जहाँ a शून्य भी हो सकता है।

विकल्प (1): मान लीजिए A \(\begin{bmatrix}0&2&3\\0&0&1\\0&0&a\end{bmatrix}\) यहां 0 और a अभिलक्षणिक मान हैं और 0 के लिए A का अभिलक्षणिक स्पेस है।

अतः विकल्प (1) गलत है।

यहाँ A 3 × 3 आव्यूह है और दो अभिलक्षणिक मान 0, 0 हैं। चूंकि सम्मिश्र अभिलक्षणिक मान हमेशा सम्मिश्र संयुग्मित होते हैं और वे जोड़ी में होते हैं। तो यहाँ तीसरा अभिलक्षणिक मान वास्तविक होना चाहिए।

विकल्प (2) सही है।

A = \(\begin{bmatrix}0&2&3\\0&0&1\\0&0&a\end{bmatrix}\) के लिए, A 3 ≠ 0

विकल्प (3) गलत है।

अभिलक्षणिक मान 0 का AM भी 2 है और अभिलक्षणिक मान 0 का GM 1 है

चूँकि AM ≠ GM इसलिए विकर्णीय नहीं है।

विकल्प (4) गलत है।

अवधारणा:

एक द्विघात रूप अपभ्रष्ट होता है यदि कम से कम एक आइगेन मान 0 है।

व्याख्या:

B = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]\) और S = \(\left\{\left[\begin{array}{l} \rm a \\\rm b \\\rm c\end{array}\right] \in \rm ℝ^3 \mid Q(a, b, c)=0\right\}\).

इसलिए द्विघात रूप Q(x, y, z) = x² + y² -2z² + 2xy है

अब, Q(a, b, c) = 0

⇒ a2 + b2 -2c2 + 2ab = 0....(i)

(1): xy-तल पर, z = 0 इसलिए c = 0

इसलिए (i) का तात्पर्य है

a 2 + b2 + 2ab = 0 ⇒ (a + b)² = 0 ⇒ a + b = 0

अर्थात, x + y = 0, जो एक रेखा है

इसलिए विकल्प (1) सत्य है

(2) xz-तल पर, y = 0 इसलिए b = 0

इसलिए (i) का तात्पर्य है

a2 - 2c2 = 0 ⇒ x2 - 2z2 = 0 जो दीर्घवृत्त का समीकरण नहीं है

इसलिए विकल्प (2) असत्य है

(3): (i) ⇒ a2 + b2 -2c2 + 2ab = 0

⇒ (a + b)² = 2c²

⇒ a + b = ± √2c

इसलिए S दो समतलों का संघ है।

विकल्प (3) सत्य है

(4): B = \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]\)

B के आइगेन मान -2, 2, 0 हैं

इसलिए Q एक अपभ्रष्ट द्विघात रूप है।

विकल्प (4) सत्य है।

अवधारणा:

(p, q) से (P, Q) तक सामान्यीकृत निर्देशांक परिवर्तन कैनोनिकल होता है यदि \(\frac{\partial (P, Q)}{\partial (p,q)}\) = 1

व्याख्या:

दिया गया है Q = pq(a+1), P = qb कैनोनिकल है यदि \(\frac{\partial (P, Q)}{\partial (p,q)}\) = 1

अब, \(\frac{\partial Q}{\partial p}\) = q(a+1), \(\frac{\partial Q}{\partial q}\) = (a+1)pqa, \(\frac{\partial P}{\partial p}\) = 0, \(\frac{\partial P}{\partial q}\) = bqb-1

\(\frac{\partial (P, Q)}{\partial (p,q)}\) = 1

⇒ \(\begin{vmatrix}\frac{\partial P}{\partial p}&\frac{\partial P}{\partial q}\\\frac{\partial Q}{\partial p}&\frac{\partial Q}{\partial q}\end{vmatrix}\) = 1

⇒ \(\begin{vmatrix}0&bq^{b-1}\\q^{a+1}&(a+1)pq^a\end{vmatrix}\) = 1

⇒ - bq^a+b = 1

केवल विकल्प (4) उपरोक्त संबंध को संतुष्ट करता है।

इसलिए विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

(a) मान लीजिए V एक सदिश समष्टि है। एक फलन β : V x V → ℝ, जिसे आमतौर पर β(x, y) = के रूप में दर्शाया जाता है, को V पर एक आंतरिक गुणनफल कहा जाता है यदि यह धनात्मक, सममित और द्विरेखीय है। अर्थात, यदि

(i) ≥ 0, = 0 केवल x = x के लिए

व्याख्या:

x = (x1, …, xn) और y = (y1, …, yn) ∈ ℝn

n = 2 के लिए

(1) 〈x, y〉 = \(\rm\displaystyle\sum_{i, j=1}^2\) xiyj = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2

इसलिए, A = \(\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}\)

यहाँ a > 0, d > 0 लेकिन ad - bc = 1 - 1 = 0

इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।

विकल्प (1) असत्य है

इसलिए, A = \(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\)

यहाँ a = 0, d = 0 लेकिन ad - bc = 0 - 1 = -1 < 0

इसलिए यह आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित नहीं करता है।

विकल्प (4) असत्य है

(2)

〈x, y〉 = \(\rm\displaystyle\sum_{i, j=1}^n\left(x_i^2+y_j^2\right)\)

= \((x_1^2 + y_1^2)+(x_1^2+y_2^2) + (x_2^2+y_1^2) + (x_2^2+y_2^2) \)

= \(2x_1^2 + 2y_1^2+2x_2^2+2y_2^2\)

x = (1,1) और y = (1,1) पर विचार करें

तब <2x,y> = 2(2)² + 2 (2)² + 2 (1)² + 2(1)² = 20

लेकिन 2 = 2( 2 (1)2 + 2(1)2 + 2 (1)2 + 2(1)2 ) = 16

इस प्रकार <2x,y> ≠ 2 और इसलिए एक आंतरिक गुणनफल नहीं है।

विकल्प (2) असत्य है।

इसलिए विकल्प (3) सत्य है।

अवधारणा:

(i) Q ∶ R 2 → R को धनात्मक निश्चित कहा जाता है यदि Q(x, y) > 0 ∀ (x, y) ≠ (0, 0)

(ii) एक सममित आव्यूह धनात्मक निश्चित है ⇔ इसके सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक हैं।

स्पष्टीकरण:

(1) Q(1, -1) = -1 \(\ngtr\) 0, इसलिए कोई धनात्मक निश्चितता नहीं है।

(3) Q(x, -x) = x ² - 2x ² + x ² = 0 \(\ngtr\) 0, इसलिए कोई धनात्मक निश्चितता नहीं है।

(4) Q(x, -x) = x ² - x ² = 0 \(\ngtr\) 0, इसलिए कोई धनात्मक निश्चितता नहीं है।

इसलिए, विकल्प (1), (3), (4) गलत हैं और विकल्प (2) सत्य है।

Alternate Method

(1). Q(x, y) = xy के लिए मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है,

\(A=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 \end{array}\right]\) तो det (A) = -¼ < 0

इसलिए, यह सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक नहीं हो सकते हैं।

∵ det (A) = λ ₁ λ 2 )

विकल्प (1) गलत है।

(2) \(A=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 / 2 \\ -1 / 2 & 1 \end{array}\right]\) तब chA(x) = x 2 - 2x + \(\frac{3}{4}\)

इसलिए, A के अभिलक्षणिक मान, x 2 - 2x + \(\frac{3}{4}\) = 0 हैं।

\(\Rightarrow x =\frac{2 \pm \sqrt{4-4 \times 3 / 4}}{2}=\frac{2 \pm 1}{2}\)

\(=\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\)

⇒ A के सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक हैं।

⇒ द्विघात रूप धनात्मक निश्चित है.

विकल्प (2) सत्य है

(3) \(A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\) तो det (A) = 0

⇒ A का एक अभिलक्षणिक मान शून्य है और दूसरा 2 है ।

⇒ सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक नहीं हैं।

⇒   Q(x, y) धनात्मक निश्चित नहीं है।

विकल्प (3) गलत है।

(4) \(A=\left[\begin{array}{cc} 1 & +1 / 2 \\ +1 / 2 & 0 \end{array}\right] \) तो det (A) = -1 / 4

⇒सभी अभिलक्षणिक मान धनात्मक नहीं हो सकते हैं।

⇒ Q(x, y) धनात्मक निश्चित नहीं है।

विकल्प (4) गलत है।

संप्रत्यय:

आव्यूह का कोटि:

किसी आव्यूह का कोटि आव्यूह के प्रतिबिम्ब की विमा होती है, जो रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों या स्तंभों की संख्या को दर्शाता है। इस मामले में, आव्यूह A का कोटि 7 है, जिसका अर्थ है कि 7 रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियाँ और स्तंभ हैं, जबकि स्थान के 3 आयाम शून्य समष्टि में हैं।

शून्य समष्टि:

चूँकि आव्यूह A \(10 \times 10\) है और इसका कोटि 7 है, इसलिए A की शून्य समष्टि (कर्ण) की विमा 10 - 7 = 3 है। इसका अर्थ है कि ऐसे 3 रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश v मौजूद हैं जिनके लिए Av = 0।

शून्यभावी आव्यूह पर विचार:

एक शून्यभावी आव्यूह वह होता है जहाँ \( A^k = 0\) किसी धनात्मक पूर्णांक k के लिए। इस मामले में, स्पष्ट रूप से कुछ भी संकेत नहीं करता है कि A शून्यभावी है, लेकिन सदिश समष्टि परिवर्तनों का विश्लेषण करते समय हमें A की घातों पर विचार करने की आवश्यकता है।

व्याख्या:

विकल्प 1:
यह सुझाव देता है कि आव्यूह A इस तरह से कार्य कर सकता है जहाँ v को A द्वारा एक शून्येतर मान पर प्रतिचित्रित किया जाता है, लेकिन A को फिर से लागू करने पर शून्य हो जाता है। यह एक अतुच्छ शून्य समष्टि वाले आव्यूह के मामले में संभव है।

यह कथन कुछ गुणों वाले आव्यूह के लिए सत्य हो सकता है, लेकिन यह हर मामले में आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

प्रति उदाहरण:

निम्नलिखित \( 2 \times 2\) आव्यूह पर विचार करें, जिसे आसानी से बड़ी विमाओं में विस्तारित किया जा सकता है:

यह एक साधारण आव्यूह है जो सदिशों के लिए दी गई शर्त को पूरा नहीं करता है। अब, आइए देखें कि क्या हम एक सदिश v पा सकते हैं जो शर्तों \(Av \neq 0\) और \(A^2v = 0\) को पूरा करता है।

\(A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

इस प्रकार, \(A^2 = 0\), जिसका अर्थ सभी सदिशों v के लिए, \( A^2v = 0\)।

\(v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

तब \(Av = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

विकल्प 2:

चूँकि आव्यूह का कोटि 7 है, यह दर्शाता है कि A कुछ सदिशों को शून्येतर मानों पर प्रतिचित्रित करता है। यदि v, A की शून्य समष्टि में नहीं है, तो v पर A को दो बार लागू करने से शून्य परिणाम नहीं हो सकता है।

यह कथन आवश्यक रूप से सत्य है, क्योंकि \(\mathbb{R}^{10}\) में ऐसे सदिश हैं (जो शून्य समष्टि में नहीं हैं) जिनके लिए \(A^2v \neq 0 \) है।

विकल्प 3:
जबकि आव्यूह का कोटि 7 है, यह गारंटी नहीं देता है कि आव्यूह में शून्येतर आइगेन मान हैं।

अतुच्छ शून्य समष्टि वाले आव्यूह में अभी भी शून्य आइगेन मान हो सकते हैं। यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

विकल्प 4: " \(A^7 = 0\)."
इसका अर्थ होगा कि A शून्यभावी है और इसे 7 बार लागू करने के बाद शून्य हो जाता है।

समस्या में कोई जानकारी नहीं है जो यह सुझाव देती है कि A शून्यभावी है। यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

सही उत्तर विकल्प 2) है।

गणना:

मान लीजिए A एक n x n आव्यूह है जिसके सभी शून्येतर आइगेन मानों के समुच्चय में ठीक r अवयव हैं।

मान लीजिए E = { a₁ , a₂ , . . . . . a_r}

प्रत्येक शून्येतर आइगेन मान के लिए कम से कम एक आइगेन वेक्टर होता है।

r शून्येतर अलग-अलग आइगेन वेक्टर के लिए।

परिसर स्थान कम से कम r है।

इसलिए विकल्प 3 सही है।

विकल्प (1):

मान लीजिए A = \(\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\) तब आइगेन मान 0, 0 हैं ⇒ r = 0

rank(A) = 1 = 2 - 1 \(\nless \) 2 - 1

विकल्प (2) गलत है

Rank(A) = 1 \(\nless \) r = 0

विकल्प (1) गलत है

विकल्प (4):

A के r शून्येतर आइगेन मान हैं

⇒ A² के r शून्येतर आइगेन मान हैं

लेकिन यदि A के r अलग-अलग आइगेन मान हैं इसका मतलब यह नहीं है कि A2 के r अलग-अलग आइगेन मान हैं।

मान लीजिए A = \(\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\) तब A के आइगेन मान i, -1 हैं

लेकिन A2 के आइगेन मान -1, -1 हैं जो अलग-अलग नहीं हैं।

विकल्प (4) गलत है