Integral Calculus MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integral Calculus - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 3, 2025

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Latest Integral Calculus MCQ Objective Questions

Integral Calculus Question 1:

tann(x) के समाकलन का लघुकरण सूत्र क्या है, जहाँ n > 1 है?

  1. In=1n1tann1(x)In2
  2. In=1ntann1(x)+In2
  3. In=1n1tann1(x)+In2
  4. In=1ntann1(x)In2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : In=1n1tann1(x)In2

Integral Calculus Question 1 Detailed Solution

व्याख्या:

स्पर्शज्या फलनों की घात का समाकलन:

In=tannxdx

लघुकरण सूत्र है

In=1n1tann1(x)In2

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है।

Integral Calculus Question 2:

दिया गया समाकल  I.n=sinn(x)dx" id="MathJax-Element-53-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> I.n=sinn(x)dx" id="MathJax-Element-61-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> I.n=sinn(x)dx" id="MathJax-Element-99-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> I.n=sinn(x)dx  है। यदि I.n=1nsinn1(x)cos(x)+n1nI.n2 है, तो sin4(x)dx क्या है?

  1. 14sin3(x)cos(x)+34sin2(x)dx
  2. 14sin3(x)cos(x)+3x8316sin(2x)
  3. 14sin3(x)cos(x)+34x
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 14sin3(x)cos(x)+3x8316sin(2x)

Integral Calculus Question 2 Detailed Solution

व्याख्या:

दिए गए लघुकरण सूत्र का उपयोग करने पर:

In=1nsinn1(x)cos(x)+n1nIn2 ,

n = 4 के लिए,

I4=14sin3(x)cos(x)+34I2

sin2(x)=1cos(2x)2 का उपयोग करने पर:

इसलिए, I2=sin2(x)dx=1cos(2x)2dx=x2sin(2x)4

I4 के व्यंजक में I2 को प्रतिस्थापित करने पर:

I4=14sin3(x)cos(x)+34(x2sin(2x)4)

सरलीकृत करने पर, I4=14sin3(x)cos(x)+3x8316sin(2x)

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

Integral Calculus Question 3:

मान लीजिए कि f(x), [0, 1] पर एक संतत फलन इस प्रकार है कि

01f(x)dx=0

निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य होना चाहिए?

  1. [0, 1] पर f(x) सर्वसम रूप से शून्य है।
  2. [0, 1] पर f(x) ऋणेतर है।
  3. f(x) का [0, 1] पर चिह्न परिवर्तित होना चाहिए।
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : f(x) का [0, 1] पर चिह्न परिवर्तित होना चाहिए।

Integral Calculus Question 3 Detailed Solution

व्याख्या:
f(x) का समाकल शून्य होने का अर्थ यह नहीं है कि f(x) सर्वसम रूप से शून्य है;

f(x) धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान ले सकता है, इसलिए इसके क्षेत्रफल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं

उदाहरण के लिए, f(x) = x - 0.5 स्थिति को संतुष्ट करता है। 

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।

Integral Calculus Question 4:

माना कि f(x)=xx,x>0 के लिए है। limx0+f(x) ज्ञात कीजिए।

  1. 0
  2. 1
  3. -1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1

Integral Calculus Question 4 Detailed Solution

व्याख्या:

f(x)=xx को f(x)=exln(x) के रूप में लिखा जा सकता है:

limx0+xln(x)=limx0+ln(x)1/x

एल 'हॉपिटल के नियम का उपयोग करने पर:​

limx0+ln(x)1/x=limx0+1/x1/x2=limx0+x=0

इस प्रकार, limx0+f(x)=e0=1

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

Integral Calculus Question 5:

सूची - I में द्वि-समाकल हैं और सूची - II में समाकल की कोटि को बदलने के बाद द्वि-समाकल हैं।

सूची - I

सूची - II

(A). 020xf(x,y)dydx (1). 01x1f(x,y)dydx
(B). 01y1f(x,y)dxdy (2). 010xf(x,y)dydx
(C). 02x2f(x,y)dydx (3). 02y2f(x,y)dxdy
(D). 010yf(x,y)dxdy (4). 020yf(x,y)dxdy


नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

  1. (A) - (IV), (B) - (I), (C) - (II), (D) - (III)
  2. (A) - (III), (B) - (II), (C) - (IV), (D) - (I)
  3. (A) - (III), (B) - (II), (C) - (I), (D) - (IV)
  4. (A) - (IV), (B) - (I), (C) - (III), (D) - (II)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : (A) - (III), (B) - (II), (C) - (IV), (D) - (I)

Integral Calculus Question 5 Detailed Solution

व्याख्या:

(A) 020xf(x,y)dydx

यह दर्शाता है कि f(x, y) को पहले y के सापेक्ष, फिर x के सापेक्ष समाकलित किया जाता है। 

बाहरी समाकल x के लिए 0 से 2 तक है, और आंतरिक समाकल y के लिए 0 से x तक है। 

⇒ x = 0 , x = 2 और y = 0 , y = x

समाकलन की कोटि बदलने पर:

y = 0 , y = 2 और x = y , x = 2

अब, समाकल बन जाता है

02y2f(x,y)dxdy

⇒ A → III

(B) 01y1f(x,y)dxdy

बाहरी समाकल y के लिए 0 से 1 तक है, और आंतरिक समाकल x के लिए y से 1 तक है। 

यह दर्शाता है कि f(x, y) को पहले x के सापेक्ष समाकलित किया जाता है, और समाकलन सीमा y पर निर्भर करती है। 

समाकलन की कोटि बदलने पर:

⇒ x = 0 से 1 और y = 0 से x

अब समाकल बन जाता है:

010xf(x,y)dydx

⇒ B → II

(C) 02x2f(x,y)dydx

यहाँ , x = 0 से 2 और y = x से 2

समाकलन की कोटि बदलने पर:

y = 0 से 2 और x = 0 से y

अब, समाकल बन जाता है,

020yf(x,y)dxdy

⇒ C → IV

(D) 010yf(x,y)dxdy

यहाँ y = 0 से 1 और x = 0 से y

समाकलन की कोटि बदलने पर:

यहाँ x = 0 से 1 और y = x से 1

अब, समाकल बन जाता है

01x1f(x,y)dydx

⇒ D → I

सूची-I का सूची-II से मिलान

(A) का मिलान (III) से होता है। 

(B) का मिलान (II) से होता है। 

(C) का मिलान (IV) से होता है। 

(D) का मिलान (I) से होता है। 

इसलिए, विकल्प (2) सही उत्तर है।

Top Integral Calculus MCQ Objective Questions

Integral Calculus Question 6:

यदि 02ax32axx2dx=pqπa5 है, तो p2 + q2 बराबर है:

  1. 113
  2. 103
  3. 131
  4. 301

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 113

Integral Calculus Question 6 Detailed Solution

व्याख्या:

02ax32axx2dx=pqπa5

मान लीजिए, u=2axx2

इसलिए 2axx2=u

अब, 2axx2=u का अर्थ  du=(2a2x)dx , या du = -2(x - a) dx

प्रतिस्थापन u=2axx2 का उपयोग करने पर:

1. जब x = 0 : u = 0 ,

2. जब x = 2a : u = 0 (चूँकि x = 2a पर 2axx2=0).

 

समाकलन की सीमाएँ x = a के परित: सममित हो जाती हैं

u के पदों में x को फिर से लिखते हुए, हम सममिति का उपयोग करके समाकल का मूल्यांकन करते हैं:

02ax32axx2dx=1036πa5

इस प्रकार p = 103, q = 6

p2+q2=1032+62=10609+36=10645

इसलिए, विकल्प (1) सही उत्तर है।

Integral Calculus Question 7:

समाकल 0ex2dx का मान है:

  1. π2
  2. 3π2
  3. π2
  4. 5π2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : π2

Integral Calculus Question 7 Detailed Solution

व्याख्या:

गामा फलन इस प्रकार परिभाषित है:

Γ(z)=0tz1etdt

t = x²

dt = 2x dx

dx = dt / (2√t)

हमारा समाकल बन जाता है:

0ex²dx=0et(dt/(2t))

=(1/2)0t1/2etdt

यह समाकल अब z = 1/2 के साथ गामा फलन के रूप से सुमेलित है:

(1/2)0t1/21etdt=(1/2)Γ(1/2)

Γ(1/2) = √π

इसलिए, 0ex²dx=(1/2)π=π/2

अतः, विकल्प (3) सही उत्तर है।

Integral Calculus Question 8:

मान लीजिए कि f(x), [0, 1] पर एक संतत फलन इस प्रकार है कि

01f(x)dx=0

निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य होना चाहिए?

  1. [0, 1] पर f(x) सर्वसम रूप से शून्य है।
  2. [0, 1] पर f(x) ऋणेतर है।
  3. f(x) का [0, 1] पर चिह्न परिवर्तित होना चाहिए।
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : f(x) का [0, 1] पर चिह्न परिवर्तित होना चाहिए।

Integral Calculus Question 8 Detailed Solution

व्याख्या:
f(x) का समाकल शून्य होने का अर्थ यह नहीं है कि f(x) सर्वसम रूप से शून्य है;

f(x) धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान ले सकता है, इसलिए इसके क्षेत्रफल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं

उदाहरण के लिए, f(x) = x - 0.5 स्थिति को संतुष्ट करता है। 

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।

Integral Calculus Question 9:

माना कि f(x)=xx,x>0 के लिए है। limx0+f(x) ज्ञात कीजिए।

  1. 0
  2. 1
  3. -1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1

Integral Calculus Question 9 Detailed Solution

व्याख्या:

f(x)=xx को f(x)=exln(x) के रूप में लिखा जा सकता है:

limx0+xln(x)=limx0+ln(x)1/x

एल 'हॉपिटल के नियम का उपयोग करने पर:​

limx0+ln(x)1/x=limx0+1/x1/x2=limx0+x=0

इस प्रकार, limx0+f(x)=e0=1

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

Integral Calculus Question 10:

tann(x) के समाकलन का लघुकरण सूत्र क्या है, जहाँ n > 1 है?

  1. In=1n1tann1(x)In2
  2. In=1ntann1(x)+In2
  3. In=1n1tann1(x)+In2
  4. In=1ntann1(x)In2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : In=1n1tann1(x)In2

Integral Calculus Question 10 Detailed Solution

व्याख्या:

स्पर्शज्या फलनों की घात का समाकलन:

In=tannxdx

लघुकरण सूत्र है

In=1n1tann1(x)In2

अतः विकल्प (1) सही उत्तर है।

Integral Calculus Question 11:

दिया गया समाकल  I.n=sinn(x)dx" id="MathJax-Element-53-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> I.n=sinn(x)dx" id="MathJax-Element-61-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> I.n=sinn(x)dx" id="MathJax-Element-99-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> I.n=sinn(x)dx  है। यदि I.n=1nsinn1(x)cos(x)+n1nI.n2 है, तो sin4(x)dx क्या है?

  1. 14sin3(x)cos(x)+34sin2(x)dx
  2. 14sin3(x)cos(x)+3x8316sin(2x)
  3. 14sin3(x)cos(x)+34x
  4. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 14sin3(x)cos(x)+3x8316sin(2x)

Integral Calculus Question 11 Detailed Solution

व्याख्या:

दिए गए लघुकरण सूत्र का उपयोग करने पर:

In=1nsinn1(x)cos(x)+n1nIn2 ,

n = 4 के लिए,

I4=14sin3(x)cos(x)+34I2

sin2(x)=1cos(2x)2 का उपयोग करने पर:

इसलिए, I2=sin2(x)dx=1cos(2x)2dx=x2sin(2x)4

I4 के व्यंजक में I2 को प्रतिस्थापित करने पर:

I4=14sin3(x)cos(x)+34(x2sin(2x)4)

सरलीकृत करने पर, I4=14sin3(x)cos(x)+3x8316sin(2x)

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

Integral Calculus Question 12:

सूची - I में द्वि-समाकल हैं और सूची - II में समाकल की कोटि को बदलने के बाद द्वि-समाकल हैं।

सूची - I

सूची - II

(A). 020xf(x,y)dydx (1). 01x1f(x,y)dydx
(B). 01y1f(x,y)dxdy (2). 010xf(x,y)dydx
(C). 02x2f(x,y)dydx (3). 02y2f(x,y)dxdy
(D). 010yf(x,y)dxdy (4). 020yf(x,y)dxdy


नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

  1. (A) - (IV), (B) - (I), (C) - (II), (D) - (III)
  2. (A) - (III), (B) - (II), (C) - (IV), (D) - (I)
  3. (A) - (III), (B) - (II), (C) - (I), (D) - (IV)
  4. (A) - (IV), (B) - (I), (C) - (III), (D) - (II)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : (A) - (III), (B) - (II), (C) - (IV), (D) - (I)

Integral Calculus Question 12 Detailed Solution

व्याख्या:

(A) 020xf(x,y)dydx

यह दर्शाता है कि f(x, y) को पहले y के सापेक्ष, फिर x के सापेक्ष समाकलित किया जाता है। 

बाहरी समाकल x के लिए 0 से 2 तक है, और आंतरिक समाकल y के लिए 0 से x तक है। 

⇒ x = 0 , x = 2 और y = 0 , y = x

समाकलन की कोटि बदलने पर:

y = 0 , y = 2 और x = y , x = 2

अब, समाकल बन जाता है

02y2f(x,y)dxdy

⇒ A → III

(B) 01y1f(x,y)dxdy

बाहरी समाकल y के लिए 0 से 1 तक है, और आंतरिक समाकल x के लिए y से 1 तक है। 

यह दर्शाता है कि f(x, y) को पहले x के सापेक्ष समाकलित किया जाता है, और समाकलन सीमा y पर निर्भर करती है। 

समाकलन की कोटि बदलने पर:

⇒ x = 0 से 1 और y = 0 से x

अब समाकल बन जाता है:

010xf(x,y)dydx

⇒ B → II

(C) 02x2f(x,y)dydx

यहाँ , x = 0 से 2 और y = x से 2

समाकलन की कोटि बदलने पर:

y = 0 से 2 और x = 0 से y

अब, समाकल बन जाता है,

020yf(x,y)dxdy

⇒ C → IV

(D) 010yf(x,y)dxdy

यहाँ y = 0 से 1 और x = 0 से y

समाकलन की कोटि बदलने पर:

यहाँ x = 0 से 1 और y = x से 1

अब, समाकल बन जाता है

01x1f(x,y)dydx

⇒ D → I

सूची-I का सूची-II से मिलान

(A) का मिलान (III) से होता है। 

(B) का मिलान (II) से होता है। 

(C) का मिलान (IV) से होता है। 

(D) का मिलान (I) से होता है। 

इसलिए, विकल्प (2) सही उत्तर है।

Integral Calculus Question 13:

प्रथम चतुर्थांश में वक्र y = ex और x = 1 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है:

  1. e - 3
  2. e2 - 1
  3. e/2
  4. e - 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : e - 1

Integral Calculus Question 13 Detailed Solution

व्याख्या:

प्रथम चतुर्थांश में वक्र y = ex और x = 1 से परिबद्ध क्षेत्र का आलेख है

qImage679896061398cfc3c5c52d20

 

x = 0 और x = 1

तब y = 0 और y = ex

A = x=01y=0exdxdy

A = e -1

इसलिए, विकल्प (4) सही उत्तर है।

Integral Calculus Question 14:

वक्र C, जहाँ r(t)=sinti^+costj^ (0 ≤ t ≤ π/2) द्वारा दिया गया है, C(1+x2y)ds का रेखा समाकल है:

  1. π/2
  2. 0
  3. π/2 + 1/3
  4. π/2 - 1/3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : π/2 + 1/3

Integral Calculus Question 14 Detailed Solution

व्याख्या:

मान लीजिए, x=sint,y=cost

चाप लम्बाई अवयव ds है:

ds=r(t)dt,

जहाँ, r(t)=ddt(sint,cost)=(cost,sint)

r(t)=(cost)2+(sint)2=cos2t+sin2t=1

इस प्रकार, ds = dt

x2=(sint)2,y=cost

इसलिए x2y=(sint)2cost

समाकल बन जाता है:

C(1+x2y)ds=0π2(1+(sint)2cost)dt

0π2(1+(sint)2cost)dt=0π21dt+0π2(sint)2costdt


0π2(sint)2costdt=01u2du के लिए,

01u2du=u33|01=133033=13

इसलिए, C(1+x2y)ds=π2+13

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है। 

Integral Calculus Question 15:

R3 में पृष्ठ z = x2 - y2 के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो ठोस बेलन x2 + y2 ≤ 1 के अंदर स्थित है।

  1. 2π3(551)
  2. π8(551)
  3. π6(551)
  4. π12(551)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : π6(551)

Integral Calculus Question 15 Detailed Solution

व्याख्या:

हम x और y को प्राचल मानकर पृष्ठ का प्राचलीकरण कर सकते हैं:

r(x, y) =

आंशिक अवकलज ज्ञात कीजिए

∂r/∂x = <1, 0, 2x>

∂r/∂y = <0, 1, -2y>

∂r/∂x x ∂r/∂y = < -2x, 2y, 1>

||∂r/∂x x ∂r/∂y|| = √((-2x)² + (2y)² + 1²) = √(4x² + 4y² + 1)

पृष्ठ क्षेत्रफल (A) xy-समतल में क्षेत्र D पर द्वि-समाकल द्वारा दिया जाता है, जो कि इकाई वृत्त x2+y21 है:

A=D(4x²+4y²+1)dA

चूँकि समाकलन का क्षेत्र एक वृत्त है

मान लीजिए, x = rcosθ , y = rsinθ और dA = r dr dθ

समाकलन की सीमाएँ r के लिए 0 से 1 और θ के लिए 0 से 2π हैं।

A=02π01(4r²+1)rdrdθ

माना कि u = 4r² + 1, इसलिए du = 8r dr

जब r = 0, u = 1, और जब r = 1, u = 5

01(4r²+1)rdr=(1/8)15udu=(1/8)(2/3)[u3/2]|15=(1/12)[551]

अब,

A=02π(1/12)(551)dθ=(1/12)(551)[θ]|02π=(1/12)(551)2π=(π/6)(551)

इसलिए, पृष्ठ क्षेत्रफल (π/6)(5√5 - 1) है। 

अतः विकल्प 3 सही उत्तर है।

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