Calculus of Variations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Calculus of Variations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

फलनक I[y(x)] = ${\int }_{x_1}^{x_2}F(x,y,y^{\prime })dx$, y(x₂) = y₂ और y(x1) निर्धारित नहीं है, के लिए ऑयलर समीकरण है

$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})$ = 0

और प्राकृतिक परिसीमा प्रतिबंध है

$\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{|}_{x=x_1}$ = 0

व्याख्या:

यहाँ F(x, y, y') = $y^{\prime 2}-y^2$

ऑयलर समीकरण का उपयोग करने पर,

-2y - $\frac{d}{dx}$(2y') = 0

⇒ y + y'' = 0

⇒ y'' + y = 0

व्यापक हल है

y = a cos x + b sin x....(i)

⇒ y' = - a sin x + b cos x ....(ii)

प्राकृतिक परिसीमा प्रतिबंध है

$\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{|}_{x=0}$ = 0

⇒ y' = 0

(ii) में रखने पर. 

b = 0

y(1) = 1 और b = 0 को (i) में रखने पर,

a cos 1 = 1 ⇒ a = $\frac{1}{\cos 1}$

इसलिए, चरम मान है

y = $\frac{\cos x}{\cos 1}$

विकल्प (2) सही है।

संप्रत्यय:

फलनक  ${\int }_{x_0}^{x_1}f(x,y,y^{\prime })dx$, $y(x_0)=y_0,y(x_1)=y_1$ निम्न को संतुष्ट करता है

$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }})=0$

व्याख्या:

यहाँ f = xy + y²y'

निम्न का प्रयोग करने पर,

$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }})=0$

⇒ x + 2yy' - $\frac{d}{dx}(y^2)$ = 0

⇒ x + 2yy' - 2yy' = 0

⇒ x = 0

y(1) = 2 रखने पर हमें मिलता है

1 = 0 जो सत्य नहीं है।

इसलिए, इस फलनक का कोई चरम मान नहीं है।

विकल्प (4) सही है।

संप्रत्यय:

फलन को न्यूनतम करने के लिए, हम फलन $F(x,y,y^{\prime })=\frac{1}{2}([y^{\prime }(x){]}^2+[y(x){]}^2)$ के लिए ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण का उपयोग करते हैं,

जो है $\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)=0$

व्याख्या:

$min\frac{1}{2}{\int }_{-1}^1([y^{\prime }(x){]}^2+[y(x){]}^2)dx$

निम्नलिखित प्रतिबंधों के अंतर्गत :

1. $y\in C^1[-1,1]$ (अर्थात, y(x) सतत रूप से अवकलनीय है).

2. ${\int }_{-1}^{1}xy(x)dx$= 0

3. $y(-1)=y(1)=1$

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण

$\frac{\partial F}{\partial y}=y(x)$

$\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=y^{\prime }(x)$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\right)=y^{″}(x)$

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर

$y(x)-y^{″}(x)=0$

यह एक द्वितीय-कोटि रैखिक अवकल समीकरण है,

$y^{″}(x)=y(x)$

इस अवकल समीकरण का व्यापक हल है:

$y(x)=A{e}^x+B{e}^{-x}$

जहाँ A और B अचर हैं जिन्हें परिसीमा प्रतिबंधों का उपयोग करके निर्धारित किया जाना है।

y(1) = 1 लागू करने पर:

$A{e}^1+B{e}^{-1}=1$

⇒$Ae+\frac{B}{e}=1$

2. y(-1) = 1 लागू करने पर:​ $A{e}^{-1}+B{e}^1=1$

⇒$\frac{A}{e}+Be=1$

समीकरण (1) और (2) से, हम A और B के लिए हल कर सकते हैं। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,

$Ae+\frac{B}{e}+\frac{A}{e}+Be=2$

⇒ $A(e+\frac{1}{e})+B(e+\frac{1}{e})=2$

⇒ $(A+B)(e+\frac{1}{e})=2$

इस प्रकार, $A+B=\frac{2}{e+\frac{1}{e}}=\frac{2}{\frac{e^2+1}{e}}=\frac{2e}{e^2+1}$

अब समीकरण (2) को समीकरण (1) से घटाने पर:

$Ae-\frac{A}{e}+Be-\frac{B}{e}=0$

⇒ $A(e-\frac{1}{e})+B(e-\frac{1}{e})=0$

इस प्रकार, $(A-B)(e-\frac{1}{e})=0$

चूँकि, $e-\frac{1}{e}\ne 0$ , यह होना चाहिए कि$A=B$

समीकरण (3) में A = B प्रतिस्थापित करने पर:

$2A(e+\frac{1}{e})=2$

A के लिए हल करने पर:

$A=\frac{1}{e+\frac{1}{e}}=\frac{e}{e^2+1}$

इस प्रकार, $A=B=\frac{e}{e^2+1}.$

$y(x)=\frac{e}{e^2+1}(e^x+e^{-x})$

यह विकल्प 3) से मेल खाता है।

संप्रत्यय:

फलन J(y) = ${\int }_a^{b}f(x,y,y^{\prime })dx$, y(a) = y₁, y(b) = स्वेच्छ है, का चरम मान लाग्रांज समीकरण को संतुष्ट करता है

$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }})$ = 0 और $\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}{|}_{x=b}$ = 0

व्याख्या:

J(y) = ${\int }_2^3(y^{\prime 2}+2y^5{y}^{\prime }+y^{10})dx$, y(0) = e2  तब

$\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}{|}_{x=3}$ = 0

⇒ 2y' + 2y⁵ = 0

⇒ y' + y⁵ = 0

$\frac{dy}{y^5}=-dx$

समाकलन करने पर प्राप्त होता है -

$\frac{1}{y^4}=4x-4c$

अब, y(0) = e² ⇒ -1/4e⁸ = c

इसलिए, $\frac{1}{y^4}=4x+\frac{1}{e^8}$ ⇒ $1=y^4(4x+\frac{1}{e^8})$

(3) सही है। 

संप्रत्यय:

यदि I(Y), फलनक J[y] = ${\int }_a^{b}f(x,y,y^{\prime })dx$ का एक चरम मान है जहाँ y(a) = c, y(b) = d, तब y(x) ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करता है

$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }})$ = 0

व्याख्या:

$X=\{u\in C^1[0,1]\mid u(0)=u(1)=0\}$ और J : X → ℝ को परिभाषित करें

$J(u)={\int }_0^1{e}^{-u^{\prime }(x{)}^2}dx$

यहाँ f = $e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$

ऑयलर-लग्रांज समीकरण का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है

$\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial u^{\prime }})$ = 0

⇒ 0 - $\frac{d}{dx}$(- 2u'$e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$) = 0

⇒ $\frac{d}{dx}$(u'$e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$) = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

u''$e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$ - u'$e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$(-2u'u'') = 0

u''$e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$(1 + 2u'²) = 0

u''$e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$ = 0

u'' = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

u = ax + b

दिया गया है, u(0) = u(1) = 0 जिसका अर्थ है कि a = b = 0

इसलिए, u = 0

अतः J अपना निम्नक प्राप्त नहीं करता है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण: फलनक J[y] = ${\int }_a^b$f(x, y, y')dx का चरम $\frac{\partial f}{\partial y}$ - $\frac{d}{dx}$($\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}$) = 0 को संतुष्ट करता है।

व्याख्या:

J(y(x)) = ${\displaystyle {\int }_0^1}$[(y')2 − y|y| y' + xy] dx, y(0) = 0, y(1) = 0

यदि y > 0 तो

f(x, y, y') = (y')2 − y²y' + xy

इसलिए $\frac{\partial f}{\partial y}$ - $\frac{d}{dx}$($\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}$) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

-2yy' + x - $\frac{d}{dx}$(2y' - y²) = 0

- 2yy' + x - 2y'' +2yy' = 0

y'' = x/2....(i)

यदि y < 0 तो

f(x, y, y') = (y')2 + y2y' + xy

इसलिए $\frac{\partial f}{\partial y}$ - $\frac{d}{dx}$($\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}$) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

2yy' + x - $\frac{d}{dx}$(2y' + y2) = 0

2yy' + x - 2y'' - 2yy' = 0

y'' = x/2....(ii)

इसलिए दोनों स्थितियों में हम प्राप्त करते हैं

y'' = x/2

समाकलन करने पर

y' = $\frac{x^2}{4}+c_1$

फिर से समाकलन करने पर

y = $\frac{x^3}{12}+c_{1}x+c_2$

y(0) = 0, y(1) = 0 का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

c₂ = 0 और 0 = $\frac{1}{12}$ + c₁ ⇒ c1 = - $\frac{1}{12}$

इसलिए हल निम्न है

y = $\frac{x^3}{12}-\frac{x}{12}$

विकल्प (3) सही है।

अवधारणा: यदि $J(y)={\int }_0^1[F(x,y,y^{\prime })]dx,$ है, तो इसका चरम मान है:

${\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}}-{\displaystyle \frac{d}{dx}}({\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}})=0$

व्याख्या:

$J(y)={\int }_0^1[2{\left(y^{\prime }\right)}^2+xy]dx,$ y(0)=0, y(1) = 1, $y\in C^2[0,1]$

प्रश्न के अनुसार

$F(x,y,y^{\prime })=2(y^{\prime }{)}^2+xy$

${\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}}-{\displaystyle \frac{d}{dx}}({\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}})$ = 0

${\displaystyle \frac{\partial (2(y^{\prime }{)}^2+xy)}{\partial y}}-{\displaystyle \frac{d}{dx}}({\displaystyle \frac{\partial (2(y^{\prime }{)}^2+xy)}{\partial y^{\prime }}})$ = 0

⇒ $x-{\displaystyle \frac{d}{dx}}(4y^{\prime })$ = 0

⇒ x - 4y'' = 0

$y^{″}={\displaystyle \frac{x}{4}}$

x के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$y^{\prime }={\displaystyle \frac{x^2}{8}}+c$

पुनः x के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$y(x)={\displaystyle \frac{x^3}{24}}+cx+d$

जहाँ, c और d समाकलन के अचर हैं

अब, $y(0)=d=0$

और $y(1)={\displaystyle \frac{1}{24}}+c=1\Rightarrow c={\displaystyle \frac{23}{24}}$

इसलिए हमारा चरम मान होगा $y(x)={\displaystyle \frac{x^3}{24}}+{\displaystyle \frac{23x}{24}}$

इसलिए विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

यूलर समीकरण:

आइए कार्यात्मक की जांच करें

$I\left(y\right)={\int }_{x1}^x\left(F(x,y,y^{\prime }\right))dx$

एक चरम मान के लिए, अनुमेय वक्रों के सीमा बिंदु स्थिर हैं y( x1 ) = y1 और y( x2 ) = y2

तब $\frac{\partial F}{\partial y}$ - $\frac{d}{dx}$( $\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}$) = 0 को यूलर समीकरण कहा जाता है

गणना:

दिया गया है: F( x , y , y' ) = y'2 -2xy

अब यूलर के समीकरण से

$\frac{\partial F}{\partial y}$ - $\frac{d}{dx}$($\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}$) = 0

-2x - 2y'' = 0

y'' = - x

अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

y' = $\frac{-x^2}{2}$ + A

अब फिर से, दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

y( x) = $\frac{-x^3}{6}$+ Ax + B . . . . . . (1)

जहाँ, A और B स्थिरांक हैं।

सीमांत प्रतिबंध का उपयोग करते हुए y(1) = 1 और y( -1) = -1

अब, समीकरण 1 से, हमें प्राप्त होता है

y(1) = $\frac{-1}{6}$+ A + B

1 = $\frac{-1}{6}$+ A +B

A + B = $\frac{7}{6}$ . . . . . . (2)

y( -1) = $\frac{1}{6}$ - A + B

-1 = $\frac{1}{6}$ - A + B

- A + B = $\frac{-7}{6}$ . . . . . . (3)

समीकरण 2 और 3 को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

B = 0

समीकरण (2) में B का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

A = $\frac{7}{6}$

अब समीकरण (1) से,

y(x) = $\frac{-x^3}{6}$+$\frac{7}{6}$x

विकल्प (3) सही है

अवधारणा:

एक विशिष्ट सममित समस्या I(y) = ${\int }_a^{b}F(x,y,y^{\prime })dx$ का चरम मान ज्ञात करना है, जहाँ y(a) = y₁, y(b) = y₂, J(y) = ${\int }_a^{b}G(x,y,y^{\prime })dx=L$ है, तो चरम मान यूलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करते हैं। 

$\frac{\partial H}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial H}{\partial y^{\prime }})$ = 0

जहाँ, H = F + λH

व्याख्या:

${\displaystyle J[y]={\int }_0^1{\left(y^{\prime }\right)}^{2}dx}$, y(0) = 1, y(1) = 6,${\displaystyle {\int }_0^{1}ydx=3}$

मान लीजिए H = $y^{\prime 2}+\lambda y$

माना 

$\frac{\partial H}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial H}{\partial y^{\prime }})$ = 0

⇒ λ - $\frac{d}{dx}(2y^{\prime })$ = 0

⇒ 2y'' = λ

⇒ y'' = λ/2

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है,

y' = $\frac{\lambda }{2}$x + a

पुनः समाकलन करने पर,

⇒ y = $\frac{\lambda x^2}{4}$ + ax + b

y(0) = 1, y(1) = 6

⇒ b = 1

और

6 = λ/4 + a + 1

⇒ 5 = λ/4 + a

⇒ λ + 4a = 20.....(i)

इसलिए, हमें y = $\frac{\lambda x^2}{4}$ + ax + 1 प्राप्त होता है,

साथ ही,${\displaystyle {\int }_0^{1}ydx=3}$

⇒ ${\displaystyle {\int }_0^1(\frac{\lambda x^2}{4}+ax+1)dx}$ = 3

⇒ ${[\frac{\lambda x^3}{12}+\frac{a{x}^2}{2}+x]}_0^1$ = 3

⇒ $\frac{\lambda }{12}+\frac{a}{2}+1$ = 3

⇒ $\frac{\lambda }{12}+\frac{a}{2}$ = 2

⇒ λ + 6a = 24....(ii)

समीकरण (ii) से समीकरण (i) को घटाने पर हमें प्राप्त होता है,

2a = 4 ⇒ a = 2

समीकरण (i) में a = 2 प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है,

λ + 8 = 20 ⇒ λ = 12

इसलिए चरम मान है,

y = 3x² + 2x + 1

इसलिए फलन का केवल एक चरम मान है।

इसलिए चरम मानों के समुच्चय का गणनांक 1 है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

संप्रत्यय:

फलन J(y) = ${\int }_a^{b}f(x,y,y^{\prime })dx$, y(a) = y₁, y(b) = स्वेच्छ है, का चरम मान लाग्रांज समीकरण को संतुष्ट करता है

$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }})$ = 0 और $\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}{|}_{x=b}$ = 0

व्याख्या:

J(y) = ${\int }_2^3(y^{\prime 2}+2y^5{y}^{\prime }+y^{10})dx$, y(0) = e2  तब

$\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }}{|}_{x=3}$ = 0

⇒ 2y' + 2y⁵ = 0

⇒ y' + y⁵ = 0

$\frac{dy}{y^5}=-dx$

समाकलन करने पर प्राप्त होता है -

$\frac{1}{y^4}=4x-4c$

अब, y(0) = e² ⇒ -1/4e⁸ = c

इसलिए, $\frac{1}{y^4}=4x+\frac{1}{e^8}$ ⇒ $1=y^4(4x+\frac{1}{e^8})$

(3) सही है। 

संप्रत्यय:

फलनक I[y(x)] = ${\int }_{x_1}^{x_2}F(x,y,y^{\prime })dx$, y(x₂) = y₂ और y(x1) निर्धारित नहीं है, के लिए ऑयलर समीकरण है

$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }})$ = 0

और प्राकृतिक परिसीमा प्रतिबंध है

$\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{|}_{x=x_1}$ = 0

व्याख्या:

यहाँ F(x, y, y') = $y^{\prime 2}-y^2$

ऑयलर समीकरण का उपयोग करने पर,

-2y - $\frac{d}{dx}$(2y') = 0

⇒ y + y'' = 0

⇒ y'' + y = 0

व्यापक हल है

y = a cos x + b sin x....(i)

⇒ y' = - a sin x + b cos x ....(ii)

प्राकृतिक परिसीमा प्रतिबंध है

$\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{|}_{x=0}$ = 0

⇒ y' = 0

(ii) में रखने पर. 

b = 0

y(1) = 1 और b = 0 को (i) में रखने पर,

a cos 1 = 1 ⇒ a = $\frac{1}{\cos 1}$

इसलिए, चरम मान है

y = $\frac{\cos x}{\cos 1}$

विकल्प (2) सही है।

संप्रत्यय:

यदि I(Y), फलनक J[y] = ${\int }_a^{b}f(x,y,y^{\prime })dx$ का एक चरम मान है जहाँ y(a) = c, y(b) = d, तब y(x) ऑयलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करता है

$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime }})$ = 0

व्याख्या:

$X=\{u\in C^1[0,1]\mid u(0)=u(1)=0\}$ और J : X → ℝ को परिभाषित करें

$J(u)={\int }_0^1{e}^{-u^{\prime }(x{)}^2}dx$

यहाँ f = $e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$

ऑयलर-लग्रांज समीकरण का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है

$\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial u^{\prime }})$ = 0

⇒ 0 - $\frac{d}{dx}$(- 2u'$e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$) = 0

⇒ $\frac{d}{dx}$(u'$e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$) = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

u''$e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$ - u'$e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$(-2u'u'') = 0

u''$e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$(1 + 2u'²) = 0

u''$e^{-u^{\prime }(x{)}^2}$ = 0

u'' = 0

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

u = ax + b

दिया गया है, u(0) = u(1) = 0 जिसका अर्थ है कि a = b = 0

इसलिए, u = 0

अतः J अपना निम्नक प्राप्त नहीं करता है। 

अतः विकल्प (1) सही है।