Final Value Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Final Value Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

प्रारंभिक मान प्रमेय निम्न प्रकार दी जाती है:

समय डोमेन में:

$Lt\stackrel{t=0}{\to }x(t)$

लाप्लास डोमेन में:

$Lt\stackrel{s=\infty }{\to }sx(s)$

अंतिम मान प्रमेय निम्न प्रकार दी जाती है:

समय डोमेन में:

$Lt\stackrel{t=\infty }{\to }x(t)$

लाप्लास डोमेन में:

गणना:

संकल्पना:

सिग्नल y(t) के स्थिर-अवस्था आउटपुट को निम्न रूप में ज्ञात किया गया है:

$y\left(\mathrm{\infty }\right)=\underset{z\to 1}{lim}\left(1-z^{-1}\right)Y\left(z\right)$ ---(1)

'या'

$y\left(\mathrm{\infty }\right)=\underset{z\to 1}{lim}\left(z-1\right)Y\left(z\right)$   

गणना:

दिया गया है:

$X(z)=\frac{2z^{-1}}{1-1.8z^{-1}+0.8z^{-2}}$

समीकरण (1) से,

$X\left(\mathrm{\infty }\right)=\underset{z\to 1}{lim}\left(1-z^{-1}\right)X\left(z\right)$

$X\left(\mathrm{\infty }\right)=\underset{z\to 1}{lim}\left(1-z^{-1}\right)\frac{2z^{-1}}{1-1.8z^{-1}+0.8z^{-2}}$

$X\left(\mathrm{\infty }\right)=\underset{z\to 1}{lim}\left(1-z^{-1}\right)\frac{2z^{-1}}{(1-z^{-1})(1-0.8z^{-1})}$

$X\left(\mathrm{\infty }\right)=\underset{z\to 1}{lim}\frac{2z^{-1}}{1-0.8z^{-1}}$

$X(\mathrm{\infty })=\frac{2}{1-0.8}$

$X(\mathrm{\infty })=10$

संकल्पना:

एक कारण संकेत x(n) के लिए, प्रारंभिक मान प्रमेय कहता है कि:

$x\left(0\right)=\underset{z\to \mathrm{\infty }}{lim}X\left(z\right)$

एक कारण संकेत x(n) के लिए, अंतिम मान प्रमेय कहता है कि:

$x\left(\mathrm{\infty }\right)=\underset{z\to 1}{lim}\left[z-1\right]X\left(z\right)$

विश्लेषण:

$X(z)=\frac{z(8z-7)}{4z^2-7z+3}$

$=\frac{z(8z-7)}{(z-1)(4z-3)}$

अंतिम मूल्य प्रमेय का उपयोग करना:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}x(n)=\underset{z\to 1}{lim}(z-1)X(z)$

$=\underset{z\to 1}{lim}(z-1)\frac{z(8z-7)}{(z-1)(4z-3)}$

= 1

व्याख्या:

लाप्लास रूपांतरण में अंतिम मान प्रमेय

परिभाषा: अंतिम मान प्रमेय (FVT) नियंत्रण सिद्धांत और सिग्नल प्रसंस्करण में एक मौलिक अवधारणा है, जो समय के साथ अनंत तक पहुँचने पर समय-परिवर्ती फलन के स्थिर-स्थिति मान को निर्धारित करने की एक विधि प्रदान करती है। यह अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित प्रणालियों के दीर्घकालिक व्यवहार का विश्लेषण करने में विशेष रूप से उपयोगी है।

सूत्र: अंतिम मान प्रमेय बताता है कि दिए गए फलन $f(t)$ के लिए, यदि $f(t)$ का लाप्लास रूपांतरण $F(s)$ मौजूद है, तो $t$ के अनंत तक पहुँचने पर $f(t)$ का अंतिम मान सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}f(t)=\underset{s\to 0}{lim}sF(s)$

यह प्रमेय इस शर्त के तहत लागू होता है कि $sF(s)$ के सभी ध्रुव (संभवतः $s=0$ को छोड़कर) सम्मिश्र समतल के बाएँ आधे भाग में हैं। यह सुनिश्चित करता है कि फलन $f(t)$ एक स्थिर-स्थिति मान तक पहुँचता है क्योंकि $t$ अनंत तक पहुँचता है।

कार्य सिद्धांत: अंतिम मान प्रमेय इसके लाप्लास रूपांतरण का विश्लेषण करके फलन के स्थिर-स्थिति मान को खोजने का एक सीधा तरीका प्रदान करता है। प्रमेय अनिवार्य रूप से समय डोमेन में फलन के व्यवहार को आवृत्ति डोमेन में इसके व्यवहार से संबंधित करता है, जिससे अंतिम मान की आसान गणना की अनुमति मिलती है।

उदाहरण: लाप्लास रूपांतरण $F(s)=\frac{5}{s(s+2)}$ वाले फलन $f(t)$ पर विचार करें। $f(t)$ का अंतिम मान ज्ञात करने के लिए, हम अंतिम मान प्रमेय का उपयोग करते हैं:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}f(t)=\underset{s\to 0}{lim}s\left(\frac{5}{s(s+2)}\right)=\underset{s\to 0}{lim}\frac{5}{s+2}=\frac{5}{2}=2.5$

इसलिए, $t$ के अनंत तक पहुँचने पर $f(t)$ का अंतिम मान 2.5 है।

लाभ: