Question
Download Solution PDFकिसी भी समय-परिवर्ती फलन f(t) के अंतिम मान को ज्ञात करने का सूत्र क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
लाप्लास रूपांतरण में अंतिम मान प्रमेय
परिभाषा: अंतिम मान प्रमेय (FVT) नियंत्रण सिद्धांत और सिग्नल प्रसंस्करण में एक मौलिक अवधारणा है, जो समय के साथ अनंत तक पहुँचने पर समय-परिवर्ती फलन के स्थिर-स्थिति मान को निर्धारित करने की एक विधि प्रदान करती है। यह अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित प्रणालियों के दीर्घकालिक व्यवहार का विश्लेषण करने में विशेष रूप से उपयोगी है।
सूत्र: अंतिम मान प्रमेय बताता है कि दिए गए फलन \(f(t)\) के लिए, यदि \(f(t)\) का लाप्लास रूपांतरण \(F(s)\) मौजूद है, तो \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर \(f(t)\) का अंतिम मान सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:
\(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} sF(s)\)
यह प्रमेय इस शर्त के तहत लागू होता है कि \(sF(s)\) के सभी ध्रुव (संभवतः \(s = 0\) को छोड़कर) सम्मिश्र समतल के बाएँ आधे भाग में हैं। यह सुनिश्चित करता है कि फलन \(f(t)\) एक स्थिर-स्थिति मान तक पहुँचता है क्योंकि \(t\) अनंत तक पहुँचता है।
कार्य सिद्धांत: अंतिम मान प्रमेय इसके लाप्लास रूपांतरण का विश्लेषण करके फलन के स्थिर-स्थिति मान को खोजने का एक सीधा तरीका प्रदान करता है। प्रमेय अनिवार्य रूप से समय डोमेन में फलन के व्यवहार को आवृत्ति डोमेन में इसके व्यवहार से संबंधित करता है, जिससे अंतिम मान की आसान गणना की अनुमति मिलती है।
उदाहरण: लाप्लास रूपांतरण \(F(s) = \frac{5}{s(s+2)}\) वाले फलन \(f(t)\) पर विचार करें। \(f(t)\) का अंतिम मान ज्ञात करने के लिए, हम अंतिम मान प्रमेय का उपयोग करते हैं:
\(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} s \left(\frac{5}{s(s+2)}\right) = \lim_{s \rightarrow 0} \frac{5}{s+2} = \frac{5}{2} = 2.5\)
इसलिए, \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर \(f(t)\) का अंतिम मान 2.5 है।
लाभ:
- व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण करने की आवश्यकता के बिना स्थिर-स्थिति मान को खोजने में सादगी।
- अवकल समीकरणों द्वारा वर्णित प्रणालियों के दीर्घकालिक व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए उपयोगी।
- फलन के समय डोमेन और आवृत्ति डोमेन निरूपण के बीच एक सीधा संबंध प्रदान करता है।
नुकसान:
- केवल तभी लागू होता है जब फलन \(f(t)\) \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर एक स्थिर-स्थिति मान तक पहुँचता है।
- फलन \(f(t)\) के लाप्लास रूपांतरण \(F(s)\) के अस्तित्व की आवश्यकता है।
- यदि फलन के ध्रुव सम्मिश्र समतल के दाहिने आधे भाग में या काल्पनिक अक्ष पर (\(s = 0\) को छोड़कर) हैं तो लागू नहीं होता है।
सही विकल्प विश्लेषण:
सही विकल्प है:
विकल्प 3: \(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0}sF(s)\)
यह विकल्प अंतिम मान प्रमेय का सही प्रतिनिधित्व करता है। सूत्र \(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0}sF(s)\) समय-परिवर्ती फलन \(f(t)\) के अंतिम मान को इसके लाप्लास रूपांतरण \(F(s)\) का विश्लेषण करके ज्ञात करने की एक विधि प्रदान करता है।
अतिरिक्त जानकारी
विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:
विकल्प 1: \(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s)\)
यह विकल्प गलत है क्योंकि यह \(s\) के अनंत तक पहुँचने के रूप में सीमा लेने का सुझाव देता है, जो \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर फलन \(f(t)\) का अंतिम मान प्रदान नहीं करता है। सही सीमा \(s\) के शून्य तक पहुँचने के रूप में होनी चाहिए।
विकल्प 2: \(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{t \rightarrow 0} tf(t)\)
यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें समय डोमेन सीमा शामिल है क्योंकि \(t\) शून्य तक पहुँचता है, जो \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर अंतिम मान खोजने से संबंधित नहीं है। अंतिम मान प्रमेय विशेष रूप से \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर सीमा से संबंधित है।
विकल्प 4: \(\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{t \rightarrow 0} f(t)\)
यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें फिर से समय डोमेन सीमा शामिल है क्योंकि \(t\) शून्य तक पहुँचता है, जो \(t\) के अनंत तक पहुँचने पर अंतिम मान खोजने में मदद नहीं करता है। सही दृष्टिकोण में लाप्लास रूपांतरण और \(s\) के शून्य तक पहुँचने पर सीमा शामिल है।
निष्कर्ष:
समय-परिवर्ती कार्यों के स्थिर-स्थिति व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए अंतिम मान प्रमेय को समझना आवश्यक है। प्रमेय का सही अनुप्रयोग इसके लाप्लास रूपांतरण का मूल्यांकन करके एक फलन के अंतिम मान के निर्धारण की अनुमति देता है। यह विधि प्रक्रिया को सरल करती है और फलन के समय डोमेन और आवृत्ति डोमेन निरूपण के बीच एक सीधा संबंध प्रदान करती है।
Last updated on Jul 18, 2025
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