Dimensional formulae and dimensional equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Dimensional formulae and dimensional equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:
दिया गया है: P = a³ × b² × c−1/2 × d−1

दोनों ओर लघुगणक लेने पर:

ln P = 3 ln a + 2 ln b − (1/2) ln c − ln d

अब, दोनों पक्षों में त्रुटि लेने पर:

|ΔP / P| = 3 × |Δa / a| + 2 × |Δb / b| + (1/2) × |Δc / c| + |Δd / d|

⇒ P में प्रतिशत त्रुटि

= 3(1%) + 2(3%) + (1/2)(4%) + 2%

= (3 + 6 + 2 + 2)%

= 13%

व्याख्या:

बल आघूर्ण और ऊर्जा

बल आघूर्ण = बल × दूरी = M L² T⁻²

ऊर्जा = कार्य = बल × दूरी = M L² T⁻²

पृष्ठ तनाव और आवेग

पृष्ठ तनाव = बल / लंबाई = M T⁻²

आवेग = बल × समय = M L T⁻¹

कोणीय संवेग और प्लांक नियतांक

कोणीय संवेग = M L² T⁻¹

प्लांक नियतांक = M L² T⁻¹

दाब और यंग गुणांक

दाब = बल / क्षेत्रफल = M L⁻¹ T⁻²

यंग गुणांक = प्रतिबल / विकृति = M L⁻¹ T⁻²

∴ सही उत्तर पृष्ठ तनाव और आवेग है।

व्याख्या:

कोणीय आवेग = [M L² T^-1]

गुप्त ऊष्मा = [M⁰ L² T^-2]

विद्युत प्रतिरोधकता = [M L³ T^-3 A^-2]

विद्युत वाहक बल = [M L² T^-3 A^-1]

∴ सही मिलान है (A)-(III), (B)-(I), (C)-(IV), (D)-(II)

संप्रत्यय:

स्व-प्रेरकत्व (L): स्व-प्रेरकत्व एक कुंडली का वह गुण है जो इसके माध्यम से प्रवाहित होने वाली धारा में परिवर्तन का विरोध करता है। इसे प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) के अनुपात को धारा के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है।

• सूत्र: स्व-प्रेरकत्व L दिया गया है:
• L = (emf) / (धारा के परिवर्तन की दर) = (V) / (dI/dt)

विमीय विश्लेषण:

• emf (V) की विमा ओम के नियम से प्राप्त होती है: V = W/Q = (ML²T^-2) / (AT)
• इस प्रकार, [V] = M¹L²T^-3A^-1
• धारा (I) की विमा A है।
• dI/dt की विमा A/T है।

गणना:

⇒ L = (V) / (dI/dt)

⇒ [L] = (M¹L²T^-3A^-1) / (A T^-1)

⇒ [L] = M¹L²T^-2A^-2

∴ स्व-प्रेरकत्व का विमीय सूत्र M¹L²T^-2A^-2 है।

व्याख्या:

विद्युत अभिवाह का विमीय सूत्र:

विद्युत अभिवाह को विद्युत क्षेत्र (E) और उस क्षेत्रफल (A) के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिससे क्षेत्र रेखाएँ गुजरती हैं, और विद्युत क्षेत्र और सतह के अभिलम्ब के बीच के कोण के कोसाइन के रूप में।

गणितीय रूप से, विद्युत अभिवाह को सूत्र द्वारा दिया जाता है:

Φ = E × A × cos(θ)

जहाँ:

E विद्युत क्षेत्र की तीव्रता (N/C में) है,

A वह क्षेत्रफल है जिससे क्षेत्र रेखाएँ गुजरती हैं (m² में), और

θ विद्युत क्षेत्र और सतह के अभिलम्ब के बीच का कोण है (जिसकी अधिकतम अभिवाह के लिए उपेक्षा की जा सकती है)।

विद्युत क्षेत्र की तीव्रता (E) का विमीय सूत्र M¹L¹T⁻³A⁻¹ है।

क्षेत्रफल (A) का विमीय सूत्र L² है।

इस प्रकार, विद्युत अभिवाह के लिए विमीय सूत्र है:

Φ = [M¹L¹T⁻³A⁻¹] x [L²] = M¹L³T⁻³A⁻¹

विद्युत अभिवाह विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल का गुणनफल है, और इसका विमीय सूत्र विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल के विमीय सूत्रों पर विचार करके प्राप्त किया जाता है।

∴ विद्युत अभिवाह का विमीय सूत्र M¹L³T⁻³A⁻¹ है।

अवधारणा:

• आयामों की सजातीयता का सिद्धांत: इस सिद्धांत के अनुसार यदि समीकरण के दोनों पक्षों पर होने वाली पदों के सभी आयाम समान हैं तो एक भौतिक समीकरण आयामीय रूप से सही होगा।
  • यह सिद्धांत इस तथ्य पर आधारित है कि केवल एक तरह की भौतिक मात्रा को जोड़ा, घटाया या तुलना की जा सकती है।
  • इस प्रकार, वेग को वेग में जोड़ा जा सकता है लेकिन बल में नहीं।

शोषण:

दिया गया है

F = ax2 + bx + c

• आयामी सजातीयता के सिद्धांत से, समीकरण के बाएं पक्ष आयाम समीकरण के दाएं पक्ष के बराबर होतस है।

बल का आयामी सूत्र (F) = [M L T-2]

विस्थापन का आयामी सूत्र  (x) = [L]

LHS = RHS

[M L T-2] = [b] ×  [L]

[b] = M L0 T-2

इसलिए विकल्प 4 सही है।

अवधारणा:

• आयामी सूत्र को द्रव्यमान, लंबाई, समय और एम्पियर के संदर्भ में भौतिक राशि की अभिव्यक्ति के रूप में परिभाषित किया जाता है।

व्याख्या:

• घनत्व: इसे प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया गया है।

यानी \(Density = \frac{{Mass}}{{Volume}}\)

अब,

द्रव्यमान का आयामी सूत्र = [M]

आयतन का आयामी सूत्र = [L³]

\(Density = \frac{{\left[ M \right]}}{{\left[ {{L^3}} \right]}}\)

∴ घनत्व = ML^-3 T⁰

∴ घनत्व का आयामी सूत्र है [ML^-3 T⁰]।

• कुछ मूलभूत आयामी सूत्र:

संकल्पना:

• किया गया कार्य: बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल को किया गया कार्य कहा जाता है।

किया गया कार्य (W) = F.s cos θ 

जहाँ F बल, s विस्थापन और θ, F और s के बीच का कोण है।

कार्य का विमीय सूत्र (W) = [ML2T-2]

• ऊर्जा: कार्य करने की क्षमता को ऊर्जा कहते हैं।

ऊर्जा (E) = किया गया कार्य (W)

इसलिए कार्य और ऊर्जा के लिए विमीय सूत्र समान हैं

ऊर्जा का विमीय सूत्र (E) = कार्य का विमीय सूत्र(W) = [ML2T-2]

यहाँ,

m = द्रव्यमान

T = समय

L = लंबाई

F = बल

s = विस्थापन

θ = लागू बल और विस्थापन की दिशा के बीच का कोण

व्याख्या:

उपरोक्त स्पष्टीकरण से हम देख सकते हैं कि

• कार्य का विमीय सूत्र ML2T-2 है।
• कार्य की SI इकाई जूल है।

अवधारणा:

• आयामी सूत्र: भौतिक राशि के आयाम इसकी प्रकृति का प्रतिनिधित्व करते हैं।
• आयामी सूत्र हमें विभिन्न भौतिक राशियों के बीच संबंध खोजने में मदद कर सकते हैं।
  • उदाहरण के लिए, कार्य और गतिज ऊर्जा के लिए आयामी सूत्र एक ही है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि वे आपस में संबंधित हैं।
• आयामहीन मात्रा के लिए, आयामी विश्लेषण संभव नहीं हो सकता।
  • उदाहरण के लिए, सापेक्ष घनत्व एक आयामहीन राशि है जो दो घनत्व का अनुपात है। हमें सापेक्ष घनत्व का आयाम नहीं ज्ञात होगा ।
• मौलिक राशियों के आयाम ज्ञात हैं और अन्य राशियों के लिए आयामी सूत्र मौलिक इकाइयों से प्राप्त होते हैं।
• उदाहरण:
  • घनत्व का आयाम निकालना :

1. घनत्व के लिए अभिव्यक्ति द्रव्यमान/आयतन है
2.  द्रव्यमान आयाम M के साथ एक मौलिक इकाई है।
3. आयतन लंबाई का एक घन है। तो, लंबाई L³ के लिए आयामी सूत्र है
4. घनत्व के लिए आयामी सूत्र है, M / L3 = ML -3

व्याख्या:

त्वरण की परिभाषा से,

\(A = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}}\)

\(\smallint dv = \smallint A\;dt\)

V = A × T

\(\frac{x}{T} = A\;T\)

⇒ x = A T²

आयामों के रूप में लिखना-

⇒ x = [F⁰AT²]

सही उत्तर विकल्प 3) अर्थात् M1 I-1 L2 T-2 है। 

संकल्पना:

• चुंबकीय प्रवाह: चुंबकीय प्रवाह दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल से होकर गुजरने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की संख्या को मापता है। 

चुंबकीय प्रवाह ϕ को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

ϕ = BAcosθ 

जहाँ B चुंबकीय क्षेत्र दृढ़ता है, A क्षेत्रफल सदिश है, और θ चुंबकीय क्षेत्र रेखा के संबंध में क्षेत्रफल सदिश द्वारा बनाया गया कोण है। 

वर्णन:

हम जानते हैं, ϕ = BAcosθ 

आयामी विश्लेषण के लिए, ϕ = BA

A (क्षेत्रफल) का आयामी सूत्र = L²       ----(1)

लेंज़ के नियम से हम जानते हैं कि F = q(v × B) ⇒ B = \(\frac{F}{qv}\)

बल, F = द्रव्यमान × त्वरण ⇒ M¹ L¹T^-2      ----(2)

आवेश, q = धारा × समय ⇒ I¹ T¹      ----(3)

वेग, v ⇒ L¹ T^-1      ----(4)

ϕ = BA में (1), (2), (3), और (4) को रखने पर

[ϕ] = \(\frac{F}{qv}\)A = \(\frac{M^1 L^1T^{-2} }{(I^1T^1)(L^1T^{-1})} L^2 \) = M1 I-1 L2 T-2

धारणा:

पृष्ठ तनाव:

• पृष्ठ तनाव वह गुण है जिसके आधार पर द्रव का मुक्त पृष्ठ सिकुड़कर अपना क्षेत्रफल न्यूनतम करने का प्रयास करता है। 
• गोलाकार आकार में पृष्ठ क्षेत्र न्यूनतम होता है और इस कारण से, वर्षा की बूंदें गोलाकार होती हैं।
• पृष्ठ तनाव को द्रव सतह पर खींची गई काल्पनिक रेखा की प्रति इकाई लंबाई बल के रूप में मापा जाता है।
  \(Surface\;tension = \frac{{Force}}{{length}}\)

• तापमान: यदि तापमान बढ़ता है तो तरल का पृष्ठ तनाव घटता है।
• घुलनशील अशुद्धताएं: कम घुलनशील अशुद्धियों के विषय में, पृष्ठ तनाव घट जाता है। लेकिन, द्रव में अधिक घुलनशील अशुद्धियों के कारण पृष्ठ तनाव बढ़ जाता है।

स्पष्टीकरण:

हम जानते हैं कि

\(Surface\;tension = \frac{{Force}}{{length}}\)

पृष्ठ तनाव के लिए विमीय सूत्र है -

\(Surface\;tension = \frac{{Force}}{{length}}=\frac{[ML{T}^{-2}]}{[L]}=[M{T}^{-2}]\)

संकल्पना:

• ऊर्जा - ऊर्जा को किसी कार्य को करने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया जाता है और यह E = mc² के बराबर होती है।
• यहाँ हमारे पास m द्रव्यमान और c प्रकाश का वेग है।
• गुरुत्वीय नियतांक - गुरुत्वीय नियतांक को "G" द्वारा निरूपित किया जाता है और यह आता है,

⇒ \(F = \frac {Gm_1 m_2}{r^2}\)

⇒\(G = \frac {F r^2}{m_1 m_2}\)

यहाँ F बल है, m₁, m₂ दो द्रव्यमान हैं और r दूरी है।

गणना:

ऊर्जा, E = mc2 

• ऊर्जा का विमीय सूत्र

[E] = [M¹(LT^-1)²]

⇒[E] = [M¹ L² T^-2]      ------(1)

 \(G = \frac {F r^2}{m_1 m_2}\)

गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक का विमीय सूत्र

[G] = [M^-1 L³ T^-2]      ------(2)

समीकरण (1) और (2) को विभाजित करें, हमारे पास है

\(\frac{{[E]}}{{[G]}} = \frac{{[{M^1}{L^2}{T^{ - 2}}]}}{{[{M^{ - 1}}{L^3}{T^{ - 2}}]}}\)

⇒ \(\left[ {\frac{E}{G}} \right]\) = [M2 L-1 T0]

अत: सही विकल्प (2) है

संकल्पना:

• किसी भी भौतिक राशि के मापन में एक स्थिर मूल, स्वेच्छगृहीत, अंतरराष्ट्रीय स्तर पर स्वीकृत संदर्भ मानक नामक इकाई के साथ तुलना की जाती है, और एक विमा एक गणितीय माप है जिसका उपयोग भौतिक राशि की प्रकृति का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
• विमामों की मूल अवधारणा यह है कि हम केवल उन्हीं विमामों को जोड़ या घटा सकते हैं जिनके विमा समान हैं।
• और विमा सूत्र को द्रव्यमान, लंबाई और समय के संदर्भ में भौतिक राशि की अभिव्यक्ति के रूप में परिभाषित किया जाता है।

प्रेरकत्व:

• किसी भी चालक की प्रवृत्ति, इसके माध्यम से बहने वाली विद्युत धारा में बदलाव का विरोध करती है, उसे उस चालक का प्रेरकत्व कहा जाता है।
• प्रेरकत्व की SI इकाई हेनरी है।
• प्रेरकत्व की विमा [M1 L2 T-2 A-2] है

तार के कुंडल का प्रेरकत्व निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(L = \frac{{{\mu _0}{N^2}A}}{L}\)

जहां N घुमावों की संख्या है

A अनुप्रस्थ काट क्षेत्र है

L परिनालिका की लंबाई है

μ₀ मुक्त स्थान की पारगम्यता है

प्रतिरोध:

• वह पदार्थ जिसके द्वारा एक विद्युत चालक, विद्युत प्रवाह का विरोध करता है उसे चालक का प्रतिरोध कहा जाता है।
• इसे R द्वारा दर्शाया गया है।
• प्रतिरोध की SI इकाई ओम (Ω) है।

\(Resistance\;\left( R \right) = \rho \frac{l}{A}\)

जहां ρ एक चालक की प्रतिरोधकता है, l चालक की लंबाई है और A अनुप्रस्थ काट क्षेत्र है।

प्रतिरोध(R) के लिए विमा = [M1 L2 T-3 A-2]

गणना:

हम जानते हैं कि 

L की विमा = [M1 L2 T-2 A-2]

R की विमा = [M1 L2 T-3 A-2]

अब दोनों का अनुपात-

\(\frac{L}{R} = \frac{{\left[ {{M^1}{L^2}{T^{ - 2}}{A^{ - 2}}} \right]}}{{\left[ {{M^1}{L^2}{T^{ - 3}}{A^{ - 2}}} \right]}} = \left[ {{M^0}{L^0}{T^1}{A^0}} \right]\)

इसलिए, M, L और T के संदर्भ में सही विकल्प [M0 L0 T] है। 

सही उत्तर विकल्प 4 है ) अर्थात MLT-1

अवधारणा:

• आयामी सूत्र का उपयोग आधारभूत राशियों - द्रव्यमान, लंबाई और समय के संदर्भ में किसी भी भौतिक राशि को व्यक्त करने के लिए किया जाता है।

• आवेग (J): एक निकाय की गति में परिवर्तन जब निकाय पर एक निश्चित समय के लिए एक बल द्वारा क्रिया की जाती है तो यह आवेग कहा जाता है ।

आवेग गणितीय रूप से इस प्रकार है : \(Δ p=FΔ t\)

जहां Δp संवेग में परिवर्तन है, F बल है, और Δt लिया गया समय है।

व्याख्या:

आवेग इस प्रकार है:

\(Δ p=FΔ t\)

आवेग  (J) \(= (m a)\:.t\)      ----(1)

बल के लिए आयामी सूत्र है (ma) = M[LT^-2]      ----(2) 

 ( \(\because\) a = वेग / समय = \(\frac{dispalcement/time}{time}\) = \(\frac{L/T}{T}\) = LT-2 )

समय के लिए आयामी सूत्र (t) = T      ----(3)

(2) और (3) को (1) में रखने पर,

आवेग का आयाम = M[LT-2] × T =  MLT^-1

सही उत्तर विकल्प 2 अर्थात त्वरण है।

संकल्पना:

त्वरण:

• त्वरण समय के संबंध में किसी वस्तु के वेग में परिवर्तन की दर है।
• वेग समय के संबंध में दूरी के परिवर्तन की दर से दिया जाता है।
• वेग = \(Distance \over Time\)
• वेग की विमा LT^-1 है।
• त्वरण = \(Velocity \over Time\)
• त्वरण का आयाम LT^-2 है।

Additional Information

• शक्ति P का विमीय सूत्र [ML²T^-3] है।
• संवेग को विमीय रूप [M¹ L¹ T^-1] से दर्शाया जाता है।
• घनत्व को विमीय रूप [M¹ L^-3 T⁰] से दर्शाया जाता है।