Complex Number elements MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Number elements - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए ω एक इकाई का अवास्तविक घनमूल है, इसलिए \( \omega^{3}=1 \) और \( 1+\omega+\omega^{2}=0 \).

सारणिक पर विचार करें

\( \Delta(x)= \begin{vmatrix} x+1 & \omega & \omega^{2}\\ \omega & x+\omega^{2} & 1\\ \omega^{2} & 1 & x+\omega \end{vmatrix}=0. \)

चरण 1 — स्तंभ संक्रिया: पहले स्तंभ को \(C_{1}-C_{2}\) से बदलें:

\( \Delta(x)= \begin{vmatrix} x+1-\omega & \omega & \omega^{2}\\ \omega-\omega^{2}-x & x+\omega^{2} & 1\\ \omega^{2}-1 & 1 & x+\omega \end{vmatrix} \)

चरण 2 — तीसरी पंक्ति के साथ प्रसार:
\( \Delta(x)= -3\! \begin{vmatrix} k^{2}-1 & 1\\ k-1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} k^{2}-1 & 2k+1\\ k-1 & k+2 \end{vmatrix}, \)

जो सरलीकृत हो जाता है,

\( \Delta(x)=x(x^{2}-1)-x\bigl(\omega+\omega^{2}\bigr) =x(x^{2}-1)+x =x^{3}. \)

चरण 3 — शून्य के बराबर करें:

\( \Delta(x)=0 \;\Longrightarrow\; x^{3}=0 \;\Longrightarrow\; x=0. \)

∴ समीकरण का मूल \( x = 0 \) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

सारणिक Δ = \(a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\)

अब, हमारे आव्यूह के लिए,

\(a=2,b=3+i,c=−1,d=3−i,e=0,f=i,g=−1,h=−i,i=1\)

उपसारणिकों की गणना करें

⇒ \( ei−fh=(0)(1)−(i)(−i)=0−(−1)=1\)

⇒ \(di−fg=(3−i)(1)−(i)(−1)=3−i+i=3\)

⇒ \(dh−eg=(3−i)(−i)−(0)(−1)=−3i+i 2=−3i−1=−1−3i\)

⇒ Δ = \(2(1)−(3+i)(3)+(−1)(−1−3i)\)

⇒ Δ = \(2−9−3i+1+3i\)

⇒ \(Δ=−6+0i\)

चूँकि हमें दिया गया है कि $\backslash (\Delta =A+iB\backslash )$ वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर, हम पाते हैं:

A = -6 और B = 0

इस प्रकार A + B = -6 + 0 = - 6

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

चूँकि ω इकाई का घनमूल है,

इस प्रकार, ω3 = 1 और ω4 = ω

व्याख्या:

हमें दिया गया है कि  \(\begin{vmatrix} 1&\omega&\omega^2 \\\ \omega&\omega^2&1 \\\ \omega^2&1&\omega \end{vmatrix}\) अर्थात (पहली पंक्ति के संदर्भ में सारणिक लेने पर), हमें प्राप्त होता है,

  \(\begin{vmatrix} 1&\omega&\omega^2 \\\ \omega&\omega^2&1 \\\ \omega^2&1&\omega \end{vmatrix}\)

= 1(ω3 - 1) - ω(ω2 - ω2) + ω2(ω - ω4) 

⇒ 1(1 - 1) - (0) + ω2(ω - ω) .......(ω3 = 1 और ω4 = ω)

⇒ 0

गणना:

हमें निम्नलिखित आव्यूह दिया गया है:

\( A(θ) = \begin{bmatrix} \sin θ & i \cos θ \\ i \cos θ & \sin θ \end{bmatrix} \)

\(A(θ) \) का सारणिक इस प्रकार परिकलित किया जाता है:

\( \text{det}(A(θ)) = \sin^2 θ - (i \cos θ)(i \cos θ) = \sin^2 θ + \cos^2 θ = 1 \)

चूँकि सारणिक 1 (अशून्य) है, आव्यूह Aθ \(\mathbb{R} \) में सभी θ के लिए व्युत्क्रमणीय है।

इसलिए, कथन I सही है।

हम पहले 2×2 आव्यूह के व्युत्क्रम के सूत्र का उपयोग करके A(θ)^-1 के व्युत्क्रम की गणना करते हैं:

\( A(θ)^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A(θ))} \begin{bmatrix} \sin θ & -i \cos θ \\ -i \cos θ & \sin θ \end{bmatrix} \)

चूँकि सारणिक 1 है, हमारे पास है:

\( A(θ)^{-1} = \begin{bmatrix} \sin θ & -i \cos θ \\ -i \cos θ & \sin θ \end{bmatrix} \)

अब, A(-θ) की गणना करते हैं:

\( A(-θ) = \begin{bmatrix} \sin(-θ) & i \cos(-θ) \\ i \cos(-θ) & \sin(-θ) \end{bmatrix} \)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं \(\sin(-θ) = -\sin(θ) \) और \(\cos(-θ) = \cos(θ) \) का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है:

\( A(-θ) = \begin{bmatrix} -\sin θ & i \cos θ \\ i \cos θ & -\sin θ \end{bmatrix} \)

यह \(A(θ)^{-1} \) के बराबर नहीं है, क्योंकि चिह्न भिन्न हैं।

इस प्रकार, कथन II सही नहीं है।

इसलिए, सही उत्तर है: विकल्प (1)

गणना:

हमें दो आव्यूह दिए गए हैं:

\( A(\theta) = \begin{bmatrix} \sin \theta & i \cos \theta \\ i \cos \theta & \sin \theta \end{bmatrix} \)

\( B(\theta) = A\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \begin{bmatrix} \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) & i \cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \\ i \cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) & \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) \end{bmatrix} \)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:

\( \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos(\theta) \)

\( \cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin(\theta) \)

आव्यूह \(B(\theta) \) बन जाता है:

\( B(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & i \sin \theta \\ i \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \)

अब, आव्यूह गुणनफल AB की गणना करने पर:

\( AB = \begin{bmatrix} \sin \theta & i \cos \theta \\ i \cos \theta & \sin \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & i \sin \theta \\ i \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \)

आव्यूह गुणनफल करने पर:

\( AB = \begin{bmatrix} \sin \theta \cos \theta + i \cos \theta i \sin \theta & \sin \theta i \sin \theta + i \cos \theta \cos \theta \\ i \cos \theta \cos \theta + \sin \theta i \sin \theta & i \cos \theta i \sin \theta + \sin \theta \cos \theta \end{bmatrix} \)

पदों को सरल करने पर:

\( AB = \begin{bmatrix} i \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & i \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta \\ i \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta & i \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \end{bmatrix} \)

अब, और सरल करने पर:

\( AB = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (1) है।

संकल्पना:

\(\rm i = \sqrt {-1}\)

i² = -1 , i³ = - i, i⁴ = 1, i⁶ = - 1 , i⁸ = 1 , i⁹ = i, i ¹² = 1, और i¹⁵ = - i

गणना:

दी गयी सारणिक \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{i}}&{{{\rm{i}}^2}}&{{{\rm{i}}^3}}\\ {{{\rm{i}}^4}}&{{{\rm{i}}^6}}&{{{\rm{i}}^8}}\\ {{{\rm{i}}^9}}&{{{\rm{i}}^{12}}}&{{{\rm{i}}^{15}}} \end{array}} \right|\) है। 

 चूंकि हमारे पास निम्न है, 

\(\rm i = \sqrt {-1}\)

i2 = -1 , i3 = - i, i4 = 1, i6 = - 1 , i8 = 1 , i9 = i, i 12 = 1, और i15 = - i

=\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{i}}&{{{\rm{-1}}}}&{{{\rm{-i}}}}\\ {{{\rm{1}}}}&{{{\rm{-1}}}}&{{{\rm{1}}}}\\ {{{\rm{i}}}}&{{{\rm{1}}}}&{{{\rm{-i}}}} \end{array}} \right|\)

=i(i - 1) + 1(-i - i) - i (1 + i)

= i² - i - 2i - i - i²

= - 4i

धारणा:

यदि \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right]\) तो A का सारणिक निम्न द्वारा दिया जाता है: |A| = (a­₁₁ × a₂₂) – (a₁₂ – a₂₁).

गणना:

माना कि, \({\rm{A}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2 + i}&{2 - i}\\ {1 + i}&{i - 1} \end{array}} \right|\)

⇒ |A| = (2 + i) (i – 1) – (2 – i) (1 + i)

= 2i + i² – 2 – i – (2 – i + 2i – i²)

= i – 1 – 2 – (2 + i + 1)                   (∵ i² = -1)

= i – 3 – 2 – i – 1

= -6

∴ |A| वास्तविक संख्या है।

संकल्पना:

यदि \({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}&{{{\rm{a}}_{13}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}}&{{{\rm{a}}_{23}}}\\ {{{\rm{a}}_{31}}}&{{{\rm{a}}_{32}}}&{{{\rm{a}}_{33}}} \end{array}} \right]\) है, तो A की सारणिक निम्न दी गयी है:

|A| = a₁₁ × {(a₂₂ × a₃₃) – (a₂₃ × a₃₂)} - a₁₂ × {(a₂₁ × a₃₃) – (a₂₃ × a₃₁)} + a₁₃ × {(a₂₁ × a₃₂) – (a₂₂ × a₃₁)}

गणना:

दिया गया है:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}&{\rm{y}}&0\\ 0&{\rm{x}}&{\rm{y}}\\ {\rm{y}}&0&{\rm{x}} \end{array}} \right| = 0\)

R₁ के साथ विस्तृत करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ x (x² – 0) – y (0 – y²) + 0 = 0

⇒ x³ + y³ = 0

\(\Rightarrow {\rm{\;}}{{\rm{y}}^3}{\rm{\;}}\left( {\frac{{{{\rm{x}}^3}}}{{{{\rm{y}}^3}}}{\rm{\;}} + {\rm{\;}}1} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}0{\rm{\;}}\)

\(\therefore \left( {\frac{{{{\rm{x}}^3}}}{{{{\rm{y}}^3}}}{\rm{\;}} + {\rm{\;}}1} \right) = {\rm{\;}}0{\rm{\;and\;}}{{\rm{y}}^3} \ne 0\)

\(\Rightarrow \frac{{{{\rm{x}}^3}}}{{{{\rm{y}}^3}}}{\rm{\;}} = {\rm{}} - 1\)

\(\Rightarrow \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}} = {\left( { - 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\)

अतः x/y, -1 का एक घनमूल है। 

संकल्पना:

यदि 1, ω और ω² एकल के घनमूल हैं, तो 1 + ω + ω² = 0 है। 

यदि वर्ग आव्यूह में किसी पंक्ति और स्तंभ में सभी तत्व शून्य है, तो सारणिक शून्य है। 

गणना:

D = \(\rm\begin{vmatrix} 1 & ω &ω^2 \\ ω & ω^2 &1 \\ ω^2& 1 & ω \end{vmatrix}\)

R₃ = R₃ + R₁ + R₂

D = \(\rm\begin{vmatrix} 1 & ω &1+ω+ω^2 \\ ω & ω^2 &1+ω+ω^2 \\ ω^2& 1 & 1+ω+ω^2 \end{vmatrix}\)

D = \(\rm\begin{vmatrix} 1 & ω &0 \\ ω & ω^2 &0 \\ ω^2& 1 & 0 \end{vmatrix}\) = 0

संकल्पना:

i2 = - 1

गणना:

दिया गया है, \(x+iy=\begin{vmatrix}6i & -3i & 1 \\\ 4 & 3i & -1 \\\ 20 & 3 & i \end{vmatrix}\)

⇒ x + iy = 6i (3i² + 3) + 3i (4i + 20) + 1(12 - 60i)

⇒ x + iy = 6i (3i2 + 3) + 12i2 + 60i + 12 - 60i

चूँकि हम जानते हैं कि i2 = - 1

⇒ x + iy = 6i [3(-1)+3] +12(-1) + 60i + 12 - 60i

⇒ x + iy = 0 

⇒ x + iy = 0 + i 0

⇒ x = 0 और y = 0

माना कि, x - iy

उपरोक्त समीकरण में x और y का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ x - iy = 0 - i0

⇒ x - iy = 0 

Hint

x - iy का मान ज्ञात करने के लिए x और y का मान ज्ञात कीजिए। 

x और y का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए सारणिक को हल कीजिए तथा वास्तविक और काल्पनिक भाग की तुलना कीजिए। 

संकल्पना:

ω एकत्व का घन मूल है।

एकत्व के घनमूल का गुण:

• ω3  = 1
• 1 + ω + ω2 = 0

गणना:

दिया, ω एकत्व का घन मूल है।

⇒ω3 = 1, ad 1 + ω + ω2 = 0

अब, सारणिक

 \(\rm \begin{vmatrix} 1 + ω & ω^2 & -ω \\\ 1 + ω^2 & ω & -ω^2 \\\ ω^2 + ω & ω & -ω^2 \end{vmatrix}\)

ω और -ω को क्रमशः C₂ और C₃ से उभयनिष्ठ लेकर

= \(\rm-ω^2 \begin{vmatrix} 1 + ω & ω & 1\\\ 1 + ω^2 &1 & ω \\\ ω^2 + ω & 1& ω \end{vmatrix}\)

= \(\rm -ω^2 [(1+ω)(ω-ω)-ω(ω +1-1-ω^2)+(1+ω^2-ω^2-ω)]\)

= \(\rm -ω^2 [-ω^2+1+1-ω]\)

= \(\rm ω -2ω^2+ 1\)

= \(\rm 1+ ω + ω^2-3ω^2\)

= 0 - 3ω 2

= -3ω2

इसलिए, सारणिक का मान -3ω2 है

अवधारणा:

(i)² = 1

(-i)⁴ = 1

गणना:

\(\rm \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{n^2}=1\)

परिमेयीकरण करने पर,

\(\rm \left (\frac{1 - i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} \right )^{n^{2}}\)= 1

\(\rm \left (\frac{(1 - i)^{2}}{1 - i^{2}} \right )^{n^{2}}\) = 1

\(\rm \left (\frac{1 + i^{2} - 2i}{1 - (-1)} \right )^{n^{2}}\) = 1

\(\rm \left (\frac{1 - 1 - 2i}{1 + 1} \right )^{n^{2}}\) = 1

\(\rm \left (\frac{- 2i}{2} \right )^{n^{2}}\)= 1

\(\rm \left (- i \right )^{n^{2}} \) = 1

अगर हम n = 2 रखते हैं तो

\(\rm \left (- i \right )^{n^{2}} \) = 1

समीकरण को संतुष्ट करता है।

इसलिए, विकल्प 1 सही है।

गणना:

दिया हुआ: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&-3i&1\\ y&1&{i}\\ 0&2i&-i \end{array}} \right|=6+11i\)

माना कि \(A=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&-3i&1\\ y&1&{i}\\ 0&2i&-i \end{array}} \right|\)

⇒ det A = x[-i - 2i2] - (-3i)[-yi - 0] + 1[2yi - 0]

As we know that, i2 = -1 

det A = x[-i + 2] + 3i[-yi] + [2yi]

det A = -ix + 2x + 3y + 2yi

det A = (2x + 3y) + (2y - x)i

According to the question, 

det A =  6 + 11i

(2x + 3y) + (2y - x)i = 6 + 11i

⇒ 2x + 3y = 6 and 2y – x = 11

उपरोक्त समीकरणों को हल करने से हमें मिलता है

संकल्पना:

यदि r(cos θ + i sin θ) एक सम्मिश्र संख्या है तो:

{r (cos θ + i sin θ)}n = rn (cos nθ + i sin nθ)

गणना:

दिया गया:

(cos 5θ – i sin 5θ)2 = z

समरूपता का उपयोग करना

Z = {cos (10 θ) – i sin (10 θ)}

z = (cos θ + i sin θ)– 10

अतिरिक्त जानकारी

अवकलन:

डी मोइवर का प्रमेय

प्रेरण z = r(cos + i sin ) द्वारा सिद्ध कीजिए 

⇒ zn = rn (cos nθ + i sin nθ)

चरण 1:

n = 1 के लिए सही दिखाएँ; z1 = r1 (cos θ + i sin θ)

चरण 2:

मान लें कि n = k; z^k = r^k (cos kθ + i sin kθ)

चरण 3:

n = k + 1 के लिए  सिद्ध कीजिए

zk + 1 = zk z1 = rk (cos kθ + i sin kθ) × r(cos θ + i sin θ)

= rk + 1 (cos (kθ + θ) + i sin (kθ + θ))

⇒ zk + 1 = rk + 1 (cos (k + 1)θ + i sin (k + 1)θ)

चरण 4:

निष्कर्ष

प्रेरण द्वारा, कथन  ∀ n ≥ 1, n ϵ N सत्य है 

संकल्पना:

यदि 1, ω और ω² एकल के घनमूल हैं, तो 1 + ω + ω² = 0 है। 

यदि वर्ग आव्यूह में किसी पंक्ति और स्तंभ में सभी तत्व शून्य है, तो सारणिक शून्य है। 

गणना:

D = \(\rm\begin{vmatrix} 1 & ω &ω^2 \\ ω & ω^2 &1 \\ ω^2& 1 & ω \end{vmatrix}\)

R₃ = R₃ + R₁ + R₂

D = \(\rm\begin{vmatrix} 1 & ω &1+ω+ω^2 \\ ω & ω^2 &1+ω+ω^2 \\ ω^2& 1 & 1+ω+ω^2 \end{vmatrix}\)

D = \(\rm\begin{vmatrix} 1 & ω &0 \\ ω & ω^2 &0 \\ ω^2& 1 & 0 \end{vmatrix}\) = 0