सीधी रेखा 2y = 3x + 12 द्वारा परवलय 4y = 3x² विच्छेद क्षेत्रफल ___ है।

संकल्पना:

• परवलय: एक परवलय एक समतल वक्र होता है जो दर्पण-सममित होता है और लगभग U- आकार का होता है।
• एक परवलय का सामान्य समीकरण निम्न है:  y = a(x - h)2 + k या x = a(y - k)2 + h, जहाँ (h, k) शीर्ष को दर्शाता है।
• एक नियमित परवलय का मानक समीकरण y2 = 4ax है
• एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण है। y = m x + c, जहाँ m ढलान है और c अंतःखंड है।

गणना:

परवलय को देखते हुए 4y = 3x2 को सीधी रेखा 2y = 3x + 12 से काटा जाता है।

आइए एक समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करके परवलय और सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें

अर्थात्, 2y = 3x + 12 in 4y = 3x2 में, हमें प्राप्त होता है

2(3x + 12)= 3x2

⇒ x2 - 2x - 8 = 0

⇒ x = 4 या -2 द्विघात समीकरण x2 - 2x - 8 = 0 के मूल हैं

अब इन मानों को सरल रेखा 2y = 3x + 12 के समीकरण में रखने पर हमें y का मान प्राप्त होता है

यानी, \(y=\frac{3x+12}{2}\)

इसमें x = 4 रखने पर हमें प्राप्त होता है

\(y=\frac{3(4)+12}{2}\)

⇒ y = 12

अब, x = - 2 को सरल रेखा 2y = 3x + 12 के समीकरण में रखने पर हमें y का मान प्राप्त होता है

\(y=\frac{3(-2)+12}{2}\)

⇒ y = 3

इसलिए परवलय और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु (-2, 3) और (4, 12) हैं

अंत में, हमें उपरोक्त आरेख में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है, अर्थात क्षेत्र का आवश्यक क्षेत्र OABO का क्षेत्रफल है

और यह क्षेत्र सीधी रेखा 2y = 3x + 12 और परवलय 4y = 3x² से घिरा है।

एक सीधी रेखा के y निर्देशांक हैं \(y=\frac{3x+12}{2}\) = f(x) और परवलय \(y=\frac{3x^2}{4}\) = g(x)

अतः f(x) - g(x) को समाकलित करने पर हमें सीधी रेखा और वक्र के नीचे का क्षेत्रफल प्राप्त होता है।

इसलिए, अभीष्ट क्षेत्रफल निम्न है

= \(\int\limits_{-2}^4[{f(x)-g(x)]}dx\)

= \(\int\limits_{-2}^4\bigg({\frac{3x+12}{2}-\frac{3x^2}{4}}\bigg)dx\)

इसे सरल बनाने और सीमाएँ लगाने पर हमें प्राप्त होता है,

= 27 वर्ग इकाई

अत: सही उत्तर विकल्प 4 है) ।