Area under the curve MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Area under the curve - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है: \(f(0) = 0 \) & \(f'(1) = 0\) और \(f(1) = \frac{1}{2}\)

\(\therefore f(x) = \frac{2x - x^2}{2}\)

\(f^{-1}(x)\) \(y = x\) पर \(f(x)\) का प्रतिबिंब है। 

साथ ही, \(2x + 2y = 3\) \(A(1, \frac{1}{2})\) और \(B(\frac{1}{2}, 1)\) से होकर गुजरता है। 

इस प्रकार परिबद्ध क्षेत्र \(A\)

\(= AreaOAB = 2[Area OCM + Area CMNA - Area ONA]\)

\(A = 2[\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{2} (\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) \times \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \int_0^1 (2x - x^2) , dx]\)

\(\Rightarrow A = 2[\frac{9}{32} + \frac{5}{32} - [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^1]\)

\(\Rightarrow A = 2[\frac{14}{32} -(1 - \frac{1}{3})] \)
\(​\Rightarrow A = \frac{28}{32} - \frac{2}{3} = \frac{7}{8} - \frac{2}{3} \) \(\Rightarrow A = \frac{21 - 16}{24} = \frac{5}{24} \)

⇒  48A = 10

संप्रत्यय:

• इस प्रश्न में असमिकाओं द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करना शामिल है।
• असमिकाएँ y = 1/x, 5x − 4y − 1 = 0, 4x + 4y − 17 = 0 और x-अक्ष द्वारा परिबद्ध एक क्षेत्र बनाती हैं।
• क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम:
  • दी गई वक्रों और रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
  • क्षेत्र को सरल क्षेत्रों में विभाजित करते हैं: त्रिभुज और समाकल।
  • वक्र y = 1/x के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए समाकलन का उपयोग करते हैं।
• 1/x का समाकलन: x के सापेक्ष 1/x का समाकलन log_ex है।
• अंतिम क्षेत्रफल परिकलित त्रिभुजाकार क्षेत्रों और निश्चित समाकलों का एक संयोजन होगा।

परिकलन:

दिया गया है,

x > 0, y > 1/x, 5x − 4y − 1 > 0, 4x + 4y − 17 < 0

प्रतिच्छेदन बिंदु इस प्रकार परिकलित किए जाते हैं:

⇒ 5x − 4y − 1 = 0 और y = 1/x (1, 1) पर मिलते हैं

⇒ 5x − 4y − 1 = 0 और 4x + 4y − 17 = 0 (2, 1.25) पर मिलते हैं

⇒ 4x + 4y − 17 = 0 और y = 1/x (4, 0.25) पर मिलते हैं

क्षेत्र को विभाजित करें:

शीर्षों (1,1), (2,1.25), (4,0.25) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल

x = 1 और x = 4 के बीच y = 1/x के नीचे का क्षेत्र

क्षेत्रफल = (1/2) x (आधार 1.5) x (ऊँचाई 4/3)

⇒ 1/2 x 3/2 x 4/3 = 1

अब, दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल:

क्षेत्रफल = (1/2) x (आधार 2) x (ऊँचाई 10/4)

⇒ 1/2 x 2 x 2.5 = 2.5

अब वक्र y = 1/x के नीचे के क्षेत्रफल को घटाएँ:

∫₁⁴ (1/x) dx = log_e4

सभी क्षेत्रफलों को जोड़ें:

कुल क्षेत्रफल = 1 + 2.5 − log_e4

कुल क्षेत्रफल = 33/8 − log_e4

∴ इसलिए, दिए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल 33/8 − log_e4 है।

इसलिए, सही विकल्प 2 है।

गणना:

2y = 5x² और y = x² + 6 के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज ± 2 है।

⇒ 

⇒ α³ = 600

इसलिए, सही उत्तर 600 है। 

अवधारणा:

क्षेत्र का क्षेत्रफल:

• वक्रों के बीच का क्षेत्र दिए गए अंतराल पर फलनों के अंतर को समाकलित करके पाया जा सकता है।
• निश्चित समाकलों का प्रयोग करें तथा परिबद्ध क्षेत्र ज्ञात करने के लिए उचित सीमा लागू करें।

गणना:

दिया गया क्षेत्र है: \( \{(x,y): |4 - x^2| \leq y \leq x^2, y \leq 4, x \geq 0\} \)

क्षेत्रफल गणना में तीन समाकलन शामिल हैं:

\( A = \int_0^4 \sqrt{4 + y} \, dy - \int_0^2 \sqrt{4 - y} \, dy - \int_2^4 \sqrt{y} \, dy \)

प्रत्येक समाकल का मूल्यांकन करने पर:

\( \int_0^4 \sqrt{4 + y} \, dy = \left[ \frac{2}{3} (4 + y)^{3/2} \right]_0^4 = \frac{2}{3} \left( 8^{3/2} - 4^{3/2} \right) \)

\( \int_0^2 \sqrt{4 - y} \, dy = \left[ \frac{2}{3} (4 - y)^{3/2} \right]_0^2 = \frac{2}{3} \left( 2^{3/2} - 4^{3/2} \right) \)

\( \int_2^4 \sqrt{y} \, dy = \left[ \frac{2}{3} y^{3/2} \right]_2^4 = \frac{2}{3} \left( 4^{3/2} - 2^{3/2} \right) \)

मान प्रतिस्थापित करने पर:

\( A = \frac{2}{3} (16 \sqrt{2} - 8) + \frac{2}{3} (2 \sqrt{2} - 8) - \frac{2}{3} (8 - 2 \sqrt{2}) \)

\( = \frac{40 \sqrt{2} - 48}{3} = \frac{80 \sqrt{2}}{6} - 16 \)

दिया गया है: \( \frac{80 \sqrt{2}}{\alpha} - \beta = \frac{80 \sqrt{2}}{6} - 16 \)

पदों की तुलना करने पर,

\( \alpha = 6, \quad \beta = 16 \)

\( \alpha + \beta = 6 + 16 = 22 \)

अतः सही उत्तर 22 है।

गणना

दिया गया है:

परवलय: y² = 4x

रेखा: x = 3

चूँकि y² = 4x है, तब y = \(2\sqrt{x}\) (प्रथम चतुर्थांश में, y > 0)

अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 x (क्षेत्र OCAO का क्षेत्रफल)

⇒ क्षेत्रफल = \(2 \int_{0}^{3} y \, dx\)

⇒ क्षेत्रफल = \(2 \int_{0}^{3} 2\sqrt{x} \, dx\)

⇒ क्षेत्रफल = \(4 \int_{0}^{3} x^{\frac{1}{2}} \, dx\)

⇒ क्षेत्रफल = \(4 \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{3}\)

⇒ क्षेत्रफल = \(4 \times \frac{2}{3} \left[ (3)^{\frac{3}{2}} - 0 \right]\)

⇒ क्षेत्रफल = \(\frac{8}{3} (3\sqrt{3})\)

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = \(8\sqrt{3}\) वर्ग इकाई

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

संकल्पना:

x = a और x = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = \(\rm\int_{a}^{b}ydx\)

y = a और y = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = \(\rm\int_{a}^{b}xdy\)

गणना:

यहाँ, x² = y  और रेखा y = 1 परवलय को काटती है। 

∴ x² = 1

x = 1 और -1

अब, 

\( \text{Area =}\int_{-1}^{1} y d x \)

यहां, वक्र  y- अक्ष के सममित है, हम एक तरफ क्षेत्र को पा सकते हैं और फिर इसे 2 से गुणा कर सकते हैं, हम क्षेत्रफल को प्राप्त करेंगे, 

\( \text{Area } -1= \int_{0}^{1} y d x \)

\( \text{Area}_1 = \int_{0}^{1} x^{2} d x \)

\(= \rm\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\)

यह क्षेत्र y = x2 और x-axis के बीच है I

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें इस क्षेत्रफल को वर्ग के क्षेत्रफल से घटाना होगा अर्थात।

\((1 \times 1)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)

\(Total\;Area=2\times{\frac{2}{3}} =\frac{4}{3}\) वर्ग इकाई I

अवधारणा:

\(\int\sqrt{a^2-x^2}\;dx=\frac{x}{2} {\sqrt{x^2-a^2}}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}+c\)

फलन y = √f(x), f(x) 0 के लिए परिभाषित है। इसलिए y ऋणात्मक नहीं हो सकता।

गणना:

दिया गया है:

y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\) और x - अक्ष 

x - अक्ष पर, y शून्य होगा। 

y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\)

⇒ 0 = \(\rm \sqrt{16-x^2}\)

⇒ 16 - x² = 0

⇒ x2 = 16

∴ x = ± 4

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (4, 0) और (−4, 0) हैं। 

चूँकि, वक्र y = \(\rm \sqrt{16-x^2}\) है

तो, y ≥ o [सदैव]

तो, हम वृत्ताकार भाग लेंगे जो x-अक्ष के ऊपर है

वक्र का क्षेत्रफल, A \(\rm =\int_{-4}^{4}\sqrt{16-x^2}\;dx\)

हम जानते हैं कि,

\(\int√{a^2-x^2}\;dx=\frac{x}{2} {√{x^2-a^2}}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac{x}{a}+c\)

= \( \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- x^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac x4]_{-4}^{4 }\) 

= \( \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- 4^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac 44]- \rm [ \frac x 2 \sqrt{(4^2- (-4)^2) }+ \frac {16}{2}sin^{-1} \frac {4}{-4})]\)

= 8 sin-1 (1) + 8 sin-1 (1)

= 16 sin-1 (1)

= 16 × π/2

= 8π वर्ग इकाई 

गणना:

संलग्न क्षेत्र

\( = 2\mathop \smallint \nolimits_0^{\pi /4} \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\)

\( = 2\left[ {\sin x + \cos x} \right]_0^{\pi /4}\)

\( = 2\left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) - \left( {0 + 1} \right)} \right]\)

\( = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\)

संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल 

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को ऊर्ध्वाधर रूप से योग द्वारा ज्ञात कीजिए। 

• इस स्थिति में हम यह ज्ञात करते हैं कि क्षेत्रफल आयत की ऊंचाई x = f(y) और चौड़ाई dy का योग होता है। 
• यदि हमें y = f(x) दिया गया है, तो हमें इसे x = f(y) के रूप में पुनःव्यक्त करने की आवश्यकता है और हमें इसका योग नीचे से शीर्ष तक करने की आवश्यकता है।

इसलिए, \({\bf{A}} = \mathop \smallint \nolimits_{\bf{a}}^{\bf{b}} {\bf{xdy}} = \mathop \smallint \nolimits_{\bf{a}}^{\bf{b}} {\bf{f}}\left( {\bf{y}} \right){\bf{dy}}\)

गणना:

दिया गया वक्र: x = 4 - y2

⇒ y2 = 4 - x
⇒ y2 = - (x - 4)

उपरोक्त वक्र परवलय का समीकरण है,

हम जानते हैं कि y - अक्ष पर; x = 0

⇒ y2 = 4 - x

⇒ y2 = 4 - 0 = 4

⇒ y = ± 2

⇒ (x, y) = (0, 2) या (0, -2) प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। 

वक्र के तहत क्षेत्रफल  \( = \mathop \int \nolimits_{-2}^2 {\rm{xdy}}\)

\(= \rm \int_{-2}^2 (4-y^2)dy\)

\(\rm = \left[4y- {\frac{{{{ {{\rm{y}} } }^3}}}{3}} \right]_{-2}^2\)

\(= \frac{32}{3}\) वर्ग इकाई

दिया गया है:

परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0

संकल्पना​:

दो वक्रों y₁ और y₂ के बीच के क्षेत्रफल की संकल्पना को x = a और x = b के बीच लागू करने पर 

\(\rm A=\int_a^b(y_1-y_2)\ dx\)

गणना:

परवलय y = 3x2 और x2 - y + 4 = 0

तब 3x² = x² + 4

⇒ x² = 2

⇒ x = ± √ 2

तब क्षेत्रफल है

\(\rm A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(x^2+4-3x^2) \ dx\)

\(\rm A=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(4-2x^2) \ dx\)

\(\rm A=[4x-2\frac{x^3}{3}]_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\)

\(\rm A=4[\sqrt2-(-\sqrt2)]-\frac{2}{3}[{\sqrt2}^3-{(-\sqrt2)}^3]\)

\(\rm A=8\sqrt2-\frac{8}{3}\sqrt2\)

\(\rm A=\frac{16\sqrt2}{3}\) वर्ग इकाई

अतः विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

वृत्त का समीकरण x2 + y2 = a2 द्वारा दिया गया है

आइए पट्टी को y-दिशा के साथ लें और इसे 0 से 'a' में समाकलित करें इससे पहले चतुर्थांश का क्षेत्रफल मिलेगा और एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए 4 से गुणा करें

\(y = \sqrt {x^2 - a^2}\)

प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\mathop \smallint \limits_0^a y\;dx\) = \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

वृत्त का क्षेत्रफल = 4 × \(\mathop \smallint \limits_0^a \sqrt {{a^2} - {x^2}} \;dx\)

संकल्पना:

वक्र y = f(x) के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

A = \(\rm \int_{x_1}^{x_2}f(x) dx\)

जहाँ x1 और x2 अंतिम बिंदु हैं जिसके बीच क्षेत्रफल की आवश्यकता होती है। 

Imp. Note: कुल क्षेत्र x-अक्ष के नीचे के क्षेत्र और एक्स-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र के अलावा होगा।

गणना:

f(x) = y = 4x³

दिया गया अंतिम बिंदु x1 = -2, x2 = 3

वक्र का क्षेत्रफल (A) = \(\rm \left|\int_{-2}^3 4x^3dx\right|\)

⇒ A = \(\rm \left|\int_{-2}^0 4x^3dx\right| + \left|\int_0^3 4x^3dx\right|\)

⇒ A = \(\rm \left|4\left[x^4\over4\right]_{-2}^0\right| + \left|4\left[x^4\over4\right]_0^3\right|\)

⇒ A = \(\rm \left|\left[0- 2^4\right]\right| + \left|\left[3^4 - 0\right]\right| \)

⇒ A = \(\rm \left|-16\right| + \left|81\right|\)

⇒ A = 97

Additional Information

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C 

स्पष्टीकरण:

दिए गए वक्रों के समीकरण हैं

y = x² --- (1) और y = 16 --- (2)

दोनों समीकरणों (1) और (2) को हल करके हमारे पास है:

x² = 16

x = 4, -4

∴ प्रतिच्छेदन के बिंदु (4, 16) और (-4, 16) हैं।

आकृति से हमारे पास है

\(Required~Area~=~∫_{-4}^4(16-x^2)~dx \)

समाकल गुण का उपयोग करके हमारे पास है

\(A=~2∫_{0}^4(16-x^2)~dx \)

\(= 2\left[ {16x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^4\)

\(= 2\left[ {16x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^4\)

\( = 2\left[ {64 - \frac{{64}}{3}} \right] \)

\(= 2 \times 64 \times \frac{2}{3}\;\)

\(A=\frac{256}{3}~sq.units\)

Alternate Method

एक अन्य विधि भी है जिसके द्वारा हम समस्या को हल कर सकते हैं,

क्षैतिज पट्टी पर विचार करके और समरूपता की स्थिति से हमारे पास है:

\(Area~=~2\int_0^{16}x~dy\)

\(Area~=~2\int_0^{16}\sqrt{y}~dy\)

\(Area~=~2~\times~\frac{2}{3}~\times~[y^{\frac{3}{2}}]_0^{16} \)

\(Area~=~2\times \frac{2}{3}\times [16^{\frac{3}{2}}-0]\)

क्षेत्रफल = \(\frac{256}{3}~sq.unit\)

संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल:

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को क्षैतिज रूप से जोड़कर ज्ञात कीजिए। 

इस स्थिति में हम क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं जो आयत, ऊंचाई y = f(x) और चौड़ाई dx का योग है। 

हमें बाएँ से दाएँ तक योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। 

∴ क्षेत्रफल =  \( \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{ydx}} = {\rm{\;}}\mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{dx}}\)

गणना:

यहाँ, हम वक्र y = x2, x - अक्ष और कोटि अंक x = - 1 और x = 2 द्वारा परिबाधा क्षेत्रफल को ज्ञात करना है। 

इसलिए, दिए गए वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्रफल को \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

चूँकि हम जानते हैं कि,\(\smallint {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{dx}} = \frac{{{{\rm{x}}^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} + {\rm{C}}\)

क्षेत्रफल = \(\rm \mathop \int \nolimits_{-1}^2{x^2}\;dx\)

= \( \rm \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{-1}^2\)

= \(\left[\frac 83 - \frac {-1}{3}\right] = \frac 93=3\)

क्षेत्रफल = 3 वर्ग इकाई 

संकल्पना:

x = a से x = b तक फलन y = f(x) और x-अक्ष के अंतर्गत क्षेत्र निश्चित समाकल \(\rm \displaystyle \left|\int_a^b f(x)\ dx\right|\) द्वारा उन वक्रों के लिए दिया जाता है जो पूरी तरह से दिए गए सीमा में x-अक्ष के एक ही पक्ष पर हैं।

यदि वक्र x-अक्ष के दोनों पक्षों पर हैं तो हम दोनों पक्षों के क्षेत्रों की अलग-अलग गणना करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं।

निश्चित समाकल: यदि  ∫ f(x) dx = g(x) + C तो \(\rm \displaystyle \int_a^b f(x)\ dx = [ g(x)]_a^b=g(b)-g(a).\)

\(\rm \displaystyle \int x^n\ dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\).

गणना:

\(\rm \displaystyle \int x^4\ dx = \dfrac{x^5}{5}+C\).

एक वक्र के क्षेत्र के लिए उपरोक्त अवधारणा का उपयोग करके हम कह सकते हैं कि आवश्यक क्षेत्र है:

\(\rm I=\displaystyle \int_1^5 x^4\ dx\)

\(\rm = \left [\dfrac{x^5}{5}\right ]_1^5\)

\(\rm =\dfrac{5^5}{5}-\dfrac{1^5}{5}\)

\(\rm =\dfrac{3125-1}{5}\)

\(\rm =\dfrac{3124}{5}\).