Application of Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Application of Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jun 30, 2025

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Latest Application of Integrals MCQ Objective Questions

Application of Integrals Question 1:

Comprehension:

निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :

प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए वक्र y = f(x) का (x, f(x)) पर स्पर्शरखा की ढाल 4 है और वक्र मूलबिंदु से होकर गुजरता है।

वक्र, x-अक्ष और रेखा x = 4 द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

  1. 8 वर्ग इकाई
  2. 16 वर्ग इकाई
  3. 32 वर्ग इकाई
  4. 64 वर्ग इकाई

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 32 वर्ग इकाई

Application of Integrals Question 1 Detailed Solution

गणना:

qImage6847eba9a36458e0b0f25d21

 

दिया गया है,

वक्र का समीकरण y = 4x है, और रेखा x = 4 वक्र को बिंदु (4, 16) पर प्रतिच्छेद करती है। हमें वक्र, x-अक्ष और रेखा x = 4 से परिबद्ध क्षेत्रफल को ज्ञात करना है।

ध्यान का क्षेत्र एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार x-अक्ष के साथ x = 0 से x = 4 तक है और ऊँचाई 16 इकाई है, जो बिंदु (4, 16) के संगत है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

Area=12×base×height

आधार (4 इकाई) और ऊँचाई (16 इकाई) के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

Area=12×4×16=32square units

∴ क्षेत्रफल 32 वर्ग इकाई है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Application of Integrals Question 2:

Comprehension:

निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :

प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए वक्र y = f(x) का (x, f(x)) पर स्पर्शरखा की ढाल 4 है और वक्र मूलबिंदु से होकर गुजरता है।

वक्र का स्वरूप क्या है?

  1. (1,4) से गुजरने वाली एक सरल रेखा है। 
  2. (-1,4) से गुजरने वाली एक सरल रेखा है। 
  3. एक परवलय जिसका शीर्ष मूलबिंदु पर और नाभि (2,0) पर है। 
  4. एक परवलय जिसका शीर्ष मूलबिंदु पर और नाभि (1, 0) पर है। 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : (1,4) से गुजरने वाली एक सरल रेखा है। 

Application of Integrals Question 2 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

(x, f(x)) पर वक्र y = f(x) के स्पर्श रेखा का ढाल प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए 4 है, और वक्र मूलबिंदु से होकर गुजरता है।

स्पर्श रेखा का ढाल फलन का अवकलज है, इसलिए हमारे पास है:

f(x)=4

x के सापेक्ष f'(x) = 4 का समाकलन करने पर:

f(x)=4x+C

वक्र मूलबिंदु से होकर गुजरता है, इसलिए जब x = 0, y = 0 है। इन मानों को समीकरण f(x) = 4x + C में प्रतिस्थापित करने पर:

0=4(0)+CC=0

इसलिए, वक्र का समीकरण है:

f(x)=4x

यह मूलबिंदु से होकर गुजरने वाली, 4 के ढाल वाली एक सरल रेखा का समीकरण है।

वक्र एक सरल रेखा है जिसका ढाल 4 है और जो मूलबिंदु से होकर गुजरती है।

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

Application of Integrals Question 3:

यदि परवलय P1 : 2y = 5x2 और P2 : x2 – y + 6 = 0 द्वारा घिरे क्षेत्रफल P1 और y = αx, α > 0 द्वारा घिरे क्षेत्रफल के बराबर है, तो α3 बराबर है _____।

Answer (Detailed Solution Below) 600

Application of Integrals Question 3 Detailed Solution

गणना:

qImage682efba99effb42ff7a49a9c

2y = 5x2 और y = x2 + 6 के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज ± 2 है।

qImage682efbaa9effb42ff7a49a9d

 

⇒ 

⇒ α3 = 600

इसलिए, सही उत्तर 600 है। 

Application of Integrals Question 4:

यदि क्षेत्रफल
{(x,y):|4x2|yx2,y4,x0}का (802αβ),α,βN, है, तो α+β बराबर है

Answer (Detailed Solution Below) 22

Application of Integrals Question 4 Detailed Solution

संप्रत्यय:

क्षेत्रफल का क्षेत्र:

  • वक्रों के बीच का क्षेत्रफल दिए गए अंतराल पर फलनों के अंतर को समाकलित करके ज्ञात किया जा सकता है।
  • संलग्न क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निश्चित समाकलों का प्रयोग करें और सीमाओं को उचित रूप से लागू करें।

qImage6821fa3b46aa5161f40e2073

गणना:

दिया गया क्षेत्र:

क्षेत्रफल की गणना में तीन समाकल शामिल हैं:

प्रत्येक समाकल का मूल्यांकन:

मानों को प्रतिस्थापित करें:

दिया गया है:

पदों की तुलना करने पर,

इसलिए, सही उत्तर 22 है।

Application of Integrals Question 5:

वक्र y2 = 4x और रेखा x = 3 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है:

  1. 33
  2. 38
  3. 8
  4. 83
  5. 10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 83

Application of Integrals Question 5 Detailed Solution

गणना

qImage67b6fd0a024335ac07546736

दिया गया है:

परवलय: y² = 4x

रेखा: x = 3

चूँकि y² = 4x है, तब y = 2x (प्रथम चतुर्थांश में, y > 0)

अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 x (क्षेत्र OCAO का क्षेत्रफल)

क्षेत्रफल = 203ydx

क्षेत्रफल = 2032xdx

क्षेत्रफल = 403x12dx

⇒ क्षेत्रफल = 4[x3232]03

क्षेत्रफल = 4×23[(3)320]

क्षेत्रफल = 83(33)

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = 83 वर्ग इकाई

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

Top Application of Integrals MCQ Objective Questions

रेखा y = 1 से घिरे परवलय x2 = y का क्षेत्रफल क्या है?

  1. 13 वर्ग इकाई 
  2. 23 वर्ग इकाई 
  3. 43 वर्ग इकाई 
  4. 2 वर्ग इकाई 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 43 वर्ग इकाई 

Application of Integrals Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

x = a और x = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल abydx

F7 5f3573a3f346800d0e2814b3 Aman.K 20-08-2020 Savita Dia

y = a और y = b के बीच वक्र y = f(x) के तहत घिरा क्षेत्रफल निम्न दिया गया है, क्षेत्रफल = abxdy

गणना:

F5 5f3574b68881b70d100bb46f Aman.K 20-8-2020 Savita Dia

यहाँ, x2 = y  और रेखा y = 1 परवलय को काटती है। 

∴ x2 = 1

x = 1 और -1

अब, 

Area =11ydx

यहां, वक्र  y- अक्ष के सममित है, हम एक तरफ क्षेत्र को पा सकते हैं और फिर इसे 2 से गुणा कर सकते हैं, हम क्षेत्रफल को प्राप्त करेंगे, 

Area 1=01ydx

Area1=01x2dx

=[x33]01=13

यह क्षेत्र y = x2 और x-axis के बीच है I

छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें इस क्षेत्रफल को वर्ग के क्षेत्रफल से घटाना होगा अर्थात।

(1×1)13=23

TotalArea=2×23=43 वर्ग इकाई I

वक्र y = 16x2 और x - अक्ष द्वारा परिबद्ध भाग का क्षेत्रफल क्या है?

  1. 8π वर्ग इकाई 
  2. 20π वर्ग इकाई 
  3. 16π वर्ग इकाई 
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 8π वर्ग इकाई 

Application of Integrals Question 7 Detailed Solution

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अवधारणा:

a2x2dx=x2x2a2+a22sin1xa+c

फलन y = √f(x), f(x) 0 के लिए परिभाषित है। इसलिए y ऋणात्मक नहीं हो सकता।

गणना:

दिया गया है:

y = 16x2 और x - अक्ष 

x - अक्ष पर, y शून्य होगा। 

y = 16x2

⇒ 0 = 16x2

⇒ 16 - x2 = 0

⇒ x2 = 16

∴ x = ± 4

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु (4, 0) और (−4, 0) हैं। 

F6 Aman 15-1-2021 Swati D1

चूँकि, वक्र y = 16x2 है

तो, y ≥ o [सदैव]

तो, हम वृत्ताकार भाग लेंगे जो x-अक्ष के ऊपर है

वक्र का क्षेत्रफल, A =4416x2dx

हम जानते हैं कि,

a2x2dx=x2x2a2+a22sin1xa+c

[x2(42x2)+162sin1x4]44 

[x2(4242)+162sin144][x2(42(4)2)+162sin144)]

= 8 sin-1 (1) + 8 sin-1 (1)

= 16 sin-1 (1)

= 16 × π/2

= 8π वर्ग इकाई 

वक्र y = sin x, y = cos x, 0 ≤ x ≤ π/2 के बीच संलग्न क्षेत्र क्या है?

  1. 21
  2. 2+1
  3. 2(21)
  4. 2(2+1)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 2(21)

Application of Integrals Question 8 Detailed Solution

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गणना:

F1 Tapesh 25.2.21 Pallavi D 3

संलग्न क्षेत्र

=20π/4(cosxsinx)dx

=2[sinx+cosx]0π/4

=2[(12+12)(0+1)]

=2(21)

परवलय x = 4 - y2 और y - अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल वर्ग इकाई में कितना है?

  1. 232 वर्ग इकाई 
  2. 323 वर्ग इकाई 
  3. 332 वर्ग इकाई 
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 323 वर्ग इकाई 

Application of Integrals Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल 

F1 A.K 12.5.20 Pallavi D3

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को ऊर्ध्वाधर रूप से योग द्वारा ज्ञात कीजिए। 

  • इस स्थिति में हम यह ज्ञात करते हैं कि क्षेत्रफल आयत की ऊंचाई x = f(y) और चौड़ाई dy का योग होता है। 
  • यदि हमें y = f(x) दिया गया है, तो हमें इसे x = f(y) के रूप में पुनःव्यक्त करने की आवश्यकता है और हमें इसका योग नीचे से शीर्ष तक करने की आवश्यकता है।


इसलिए, A=abxdy=abf(y)dy

गणना:

दिया गया वक्र: x = 4 - y2

⇒ y2 = 4 - x
⇒ y2 = - (x - 4)

उपरोक्त वक्र परवलय का समीकरण है,

हम जानते हैं कि y - अक्ष पर; x = 0

⇒ y2 = 4 - x

⇒ y2 = 4 - 0 = 4

⇒ y = ± 2

⇒ (x, y) = (0, 2) या (0, -2) प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। 

F1 SachinM Madhuri 01.03.2022 D2

वक्र के तहत क्षेत्रफल  =22xdy

=22(4y2)dy

=[4yy33]22

=323 वर्ग इकाई

परवलय y = 3x2 और x- y + 4 = 0 से घिरा क्षेत्रफल है:

  1. 162
  2. 1633
  3. 163
  4. 1632

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1632

Application of Integrals Question 10 Detailed Solution

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दिया गया है:

परवलय y = 3x2 और x- y + 4 = 0

संकल्पना​:

दो वक्रों y1 और y2 के बीच के क्षेत्रफल की संकल्पना को x = a और x = b के बीच लागू करने पर 

A=ab(y1y2) dx

गणना:

परवलय y = 3x2 और x- y + 4 = 0

तब 3x2 = x2 + 4

⇒ x2 = 2

⇒ x = ± √ 2

तब क्षेत्रफल है

A=22(x2+43x2) dx

A=22(42x2) dx

A=[4x2x33]22

A=4[2(2)]23[23(2)3]

A=82832

A=1623 वर्ग इकाई

अतः विकल्प (4) सही है।

निम्नलिखित में से किस समाकलन द्वारा त्रिज्या 'a' वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है?

  1. ab(a2+x2)dx
  2. 02π(a2x2)dx
  3. 4×0a(a2x2)dx
  4. 0a(a2x2)dx

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 4×0a(a2x2)dx

Application of Integrals Question 11 Detailed Solution

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व्याख्या:

F1 Ateeb 19.3.21 Pallavi D12

वृत्त का समीकरण x2 + y2 = a2 द्वारा दिया गया है

आइए पट्टी को y-दिशा के साथ लें और इसे 0 से 'a' में समाकलित करें इससे पहले चतुर्थांश का क्षेत्रफल मिलेगा और एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए 4 से गुणा करें

y=x2a2

प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 0aydx = 0aa2x2dx

वृत्त का क्षेत्रफल = 4 × 0aa2x2dx

अंतिम बिंदु x = [-2, 3] के बीच वक्र y = 4x3 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

  1. 97
  2. 65
  3. 70
  4. 77

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 97

Application of Integrals Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

वक्र y = f(x) के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

A = x1x2f(x)dx

जहाँ x1 और x2 अंतिम बिंदु हैं जिसके बीच क्षेत्रफल की आवश्यकता होती है। 

Imp. Note: कुल क्षेत्र x-अक्ष के नीचे के क्षेत्र और एक्स-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र के अलावा होगा।

गणना:

f(x) = y = 4x3

दिया गया अंतिम बिंदु x1 = -2, x2 = 3

वक्र का क्षेत्रफल (A) = |234x3dx|

⇒ A = |204x3dx|+|034x3dx|

⇒ A = |4[x44]20|+|4[x44]03|

⇒ A = |[024]|+|[340]|

⇒ A = |16|+|81|

⇒ A = 97

 

Additional Information

समाकल गुण:

  • ∫ xn dx = xn+1n+1+ C ; n ≠ -1
  • 1xdx=lnx + C
  • ∫ edx = ex+ C
  • ∫ adx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
  • ∫ sin x dx = - cos x + C
  • ∫ cos x dx = sin x + C 

वक्र y = x2 और रेखा y = 16 से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

  1. 32/3
  2. 256/3
  3. 64/3
  4. 128/3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 256/3

Application of Integrals Question 13 Detailed Solution

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स्पष्टीकरण:

दिए गए वक्रों के समीकरण हैं

y = x2 --- (1) और y = 16 --- (2)

दोनों समीकरणों (1) और (2) को हल करके हमारे पास है:

x2 = 16

x = 4, -4

प्रतिच्छेदन के बिंदु (4, 16) और (-4, 16) हैं।

F1 Shraddha Shubham 18.12.2020 D1

आकृति से हमारे पास है

Required Area = 44(16x2) dx

समाकल गुण का उपयोग करके हमारे पास है

A= 204(16x2) dx

=2[16xx33]04

=2[16xx33]04

=2[64643]

=2×64×23

A=2563 sq.units

Alternate Method

एक अन्य विधि भी है जिसके द्वारा हम समस्या को हल कर सकते हैं,

क्षैतिज पट्टी पर विचार करके और समरूपता की स्थिति से हमारे पास है:

Area = 2016x dy

Area = 2016y dy

Area = 2 × 23 × [y32]016

Area = 2×23×[16320]

क्षेत्रफल = 2563 sq.unit

वक्र y = x - 1 और y2 = 2x + 6 से घिरा क्षेत्रफल का मान क्या है?

  1. 21
  2. 24
  3. 18
  4. 20

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 18

Application of Integrals Question 14 Detailed Solution

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व्याख्या:

दिए गए वक्र y = x - 1 और y2 = 2x + 6 हैं। 

F1 Vinanti Defence 31.12.22 D1

इन्हे हल करने पर हमें प्राप्त होगा,

y2 = 2(y + 1) + 6

⇒ y2 - 2y - 8 = 0

⇒ (y - 4)(y + 2) = 0

⇒ y = -2, 4

अब, हम निम्न के द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं

A = 24[y+1(y223)]dy

24(4+yy22)dy

[4y+y22y36]24

16+8323(8+2+43)

∴ A = 18

वक्र y = x2 और रेखा x = -1, x = 2 और x - अक्ष के तहत क्षेत्रफल कितना है?

  1. 3 वर्ग इकाई 
  2. 5 वर्ग इकाई 
  3. 7 वर्ग इकाई 
  4. 9 वर्ग इकाई 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3 वर्ग इकाई 

Application of Integrals Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल:

F1 Aman.K 10-07-2020 Savita D1

इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को क्षैतिज रूप से जोड़कर ज्ञात कीजिए। 

इस स्थिति में हम क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं जो आयत, ऊंचाई y = f(x) और चौड़ाई dx का योग है। 

हमें बाएँ से दाएँ तक योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। 

∴ क्षेत्रफल =  abydx=abf(x)dx

 

गणना:

यहाँ, हम वक्र y = x2, x - अक्ष और कोटि अंक x = - 1 और x = 2 द्वारा परिबाधा क्षेत्रफल को ज्ञात करना है। 

F1 Aman.K 14-12-20 Savita D2

इसलिए, दिए गए वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्रफल को 12x2dx द्वारा ज्ञात किया गया है। 

चूँकि हम जानते हैं कि,xndx=xn+1n+1+C

क्षेत्रफल = 12x2dx

[x33]12

[8313]=93=3

क्षेत्रफल = 3 वर्ग इकाई 

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