माना f(t) = $| \begin{array}{ccc} \cos t & t & 1 \\ 2 \sin t & t & 2 t \\ \sin t & t & t \end{array} |$ , तब $lim_{t \to 0} \frac{f (t)}{t^{2}}$ बराबर है:

Question

Question

Answer 1

व्याख्या:

यहाँ, f(t) = $| \begin{array}{ccc} \cos t & t & 1 \\ 2 \sin t & t & 2 t \\ \sin t & t & t \end{array} |$

R₂→ R₂ - 2R₃का प्रयोग करने पर,

⇒ f(t) = $| \begin{array}{ccc} \cos t & t & 1 \\ 0 & - t & 0 \\ \sin t & t & t \end{array} |$

⇒ f(t) = t $| \begin{array}{ccc} \cos t & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ \sin t & 1 & t \end{array} |$

पंक्ति R2 के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर,

⇒ f(t) = t[0 + (-1)(t cos t - sin t) + 0]

⇒ f(t) = -t²cost + t sin t

∴ $lim_{t \to 0} \frac{f (t)}{t^{2}}$ = $lim_{t \to 0} \frac{- t^{2} c o s t + t s i n t}{t^{2}}$

= $lim_{t \to 0} (\frac{- t^{2} c o s t}{t^{2}} + \frac{t s i n t}{t^{2}})$

= $lim_{t \to 0} (- c o s t + \frac{s i n t}{t})$

= -1 + $lim_{t \to 0} \frac{s i n t}{t}$

= -1 + 1 (∵ $lim_{t \to 0} \frac{s i n t}{t} = 1$ )

∴ $lim_{t \to 0} \frac{f (t)}{t^{2}}$ = 0

Download Solution PDF