यदि द्रव्यमान m₁,m₂, और m₃ के तीन कण क्रमशः वेग v₁, v₂, और v₃ से गतिमान हैं, तो उनके द्रव्यमान के केंद्र का वेग क्या होगा ?

अवधारणा:

द्रव्यमान केंद्र:

• किसी पिंड के द्रव्यमान के केंद्र या किसी कण की प्रणाली को एक बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिस पर पिंड का पूरा द्रव्यमान या कण की एक प्रणाली के सभी द्रव्यमान केंद्रित होते हैं।

द्रव्यमान के केंद्र की गति:

• मान लीजिये हमारे पास n कण है जिनका द्रव्यमान m1, m2,..., mn. है
• अगर सभी द्रव्यमान गतिमान है तो,

⇒ Mv = m₁v₁ + m₂v₂ + ... + m_nv_n

⇒ Ma = m1a1 + m2a2 + ... + mnan

⇒ \(M\vec{a}=\vec{F_1}+\vec{F_2}+...+\vec{F_n}\)

⇒ M = m1 + m2 + ... + mn

• इस प्रकार, कणों के एक निकाय का कुल द्रव्यमान एवं द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण का गुणनफल कणों की प्रणाली पर कार्य कर रहे सभी बलों का सदिश योग होता है।
• आंतरिक बल द्रव्यमान के केंद्र की गति में कोई योगदान नहीं देते हैं।

व्याख्या:

• हम जानते हैं कि यदि कणों की एक प्रणाली में n कण हैं और सभी किसी न किसी वेग से गति कर रहे हैं, तो द्रव्यमान केंद्र का वेग इस प्रकार दिया जाता है,

⇒ \(V=\frac{m_1v_1+m_2v_2+...+m_nv_n}{m_1+m_2+...+m_n}\)     -----(1)

• इसलिए यदि द्रव्यमान m₁, m₂ और m₃ के तीन कण  क्रमशः वेग v₁, v₂, और v₃ से  गतिमान हैं, तो द्रव्यमान के केंद्र का वेग इस प्रकार दिया जाता है,

⇒ \(V=\frac{m_1v_1+m_2v_2+m_3v_3}{m_1+m_2+m_3}\)

• अतः विकल्प 1 सही है।