यदि f: R → R एक फलन इस प्रकार है जिससे \(f\left( x \right) = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\;if\;x > 0}\\ {0,\;if\;x = 0}\\ { - \;1,\;if\;x < 0} \end{array}} \right.\) है, तो f(x) निम्न में से क्या है?

संकल्पना:

एकैक फलन/एकैकी फलन:

एक फलन f: A → B को एकैक फलन तब कहा जाता है, यदि A के अलग-अलग तत्वों की अलग-अलग छवि होती है या वे B के अलग-अलग तत्वों के साथ संबंधित होती है अर्थात् 

f (x1) = f (x2) ⇒  x1 = x2, ∀ x1, x2 ∈ A.

आंतरिक आच्छादक फलन:

किसी फलन f: A → B को आंतरिक आच्छादक फलन तब कहा जाता है यदि B में कम से कम एक ऐसा तत्व मौजूद होता है जिसमें A की पूर्व-छवि नहीं होती है, तो फलन f को आंतरिक आच्छादक फलन कहा जाता है। 

अर्थात् यदि फलन f की सीमा ⊂ फलन f का सह-डोमेन है, तो f आंतरिक आच्छादक फलन है। 

बहु-एक फलन:

किसी फलन f: A → B को बहु-एक फलन तब कहा जाता है, यदि A के दो (या दो से अधिक) अलग-अलग तत्वों में B के समान छवि होती है। 

आच्छादक फलन/आच्छादी फलन:

किसी फलन f: A → B को आच्छादक फलन तब कहा जाता है यदि B के प्रत्येक तत्व की कम से कम एक पूर्व-छवि A में होती है। 

अर्थात् यदि फलन f की सीमा = फलन f का सह-डोमेन है, तो f आच्छादक फलन है।

गणना:

दिया गया है: f: R → R एक फलन इस प्रकार है जिससे \(f\left( x \right) = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\;if\;x > 0}\\ {0,\;if\;x = 0}\\ { - \;1,\;if\;x < 0} \end{array}} \right.\)  है। 

माना किx₁ = 1 और x₂ = 2 है। 

अब फलन की परिभाषा के अनुसार हमारे पास निम्न है

⇒ f(x₁) = 1 और f(x₂) = 1

इसलिए, हम देख सकते हैं कि, f(x1) = f(x₂) है लेकिन x₁ ≠ x₂ है। 

इसलिए, दिया गया फलन बहु-एक फलन है। 

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए फलन की सीमा {- 1, 0, 1} ⊂ R है। 

इसलिए, दिया गया फलन आंतरिक आच्छादक फलन है। 

अतः दिया गया फलन बहु-एक और आंतरिक आच्छादक फलन है।