एक शरीर को ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है। ऊंचाई y, \(y=16{{t}^{2}}+4t+5\) द्वारा दी गई है। पिंड की प्रारंभिक गति क्या है?

सही विकल्प-1

संकल्पना:-

तात्क्षणिक गति 

• किसी गतिमान वस्तु की किसी विशेष क्षण में गति को तात्क्षणिक गति कहते हैं।
• जब समय अंतराल ∆t शून्य के निकट होता है, तो हम किसी विशेष क्षण में वेग को औसत वेग के सीमित मान के रूप में परिभाषित कर सकते हैं।
• गणितीय रूप से हम इसे इस प्रकार लिख सकते ह

\(v=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta x}{\Delta t}\)

• जब हम औसत वेग या गति की गणना करते हैं तो चयनित समय अंतराल बड़ा या छोटा हो सकता है।
• लेकिन जब चुना गया समय अंतराल अतिसूक्ष्‍म रूप से छोटा होता है तो इसे तात्क्षणिक वेग या गति के रूप में जाना जाता है।
• किसी गतिमान वस्तु के लिए किसी भी बिंदु पर तात्क्षणिक गति तात्क्षणिक वेग के परिमाण के बराबर होती है लेकिन
• किसी निश्चित समय अंतराल में औसत गति हमेशा उस अंतराल में औसत वेग के परिमाण के बराबर या अधिक होती है।

गणना:-

दिया है- 

ऊपर की दिशा में दूरी के लिए व्यंजक, अर्थात ऊँचाई

\(y=16{{t}^{2}}+4t+5\)

तात्क्षणिक गति इस प्रकार दी गयी है-

 \(v=\frac{dy}{dt}\)

\(\Rightarrow\frac{dy}{dt}=\frac{d\left( 16{{t}^{2}}+4t+5 \right)}{dt}=32t+4\)

\(\therefore v=32t+4\)

प्रारंभिक गति का अर्थ है t = 0 sec पर गति

इसलिए, t = 0 sec पर, हमारे पास है

\(v=32\times 0+4=4m/s\)

\(\therefore v=4m/s\)

इसलिए, विकल्प-1 सही है।