त्रिभुज MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Triangle - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

p + b + h = 24

p + b - h = 4

प्रयुक्त सूत्र:

समकोण त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या (r) निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

r =

जहाँ: a और b त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ हैं।

c त्रिभुज का कर्ण है।

गणना:

p + b + h = 24 सेमी

p + b - h = 4 सेमी

समकोण त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या (r) निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

r =

r = 4/2 = 2 सेमी

इसलिए, अंतर्गत वृत्त की त्रिज्या है: 2 सेमी

दिया गया है:

p + b + h = 24

p + b - h = 4

प्रयुक्त सूत्र:

समकोण त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या (r) निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

r =

जहाँ: p और b त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = अंतर्गत वृत्त की त्रिज्या (r) × अर्ध-परिमाप

c त्रिभुज का कर्ण है।

गणना:

p + b + h = 24 सेमी

p + b - h = 4 सेमी

समकोण त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या (r) निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

r =

r = 4/2 = 2 सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 2 × 24/2 = 24 सेमी²

∴ सही उत्तर विकल्प 2 है।

दिया गया है:

AB + BC = 7.1 सेमी

BC + CA = 12.1 सेमी

CA + AB = 7.2 सेमी

गणना:

मान लीजिये त्रिभुज की भुजाएँ हैं:

AB = a

BC = b

CA = c

हमें निम्नलिखित समीकरणों का निकाय दिया गया है:

a + b = 7.1

b + c = 12.1

c + a = 7.2

(a + b) + (b + c) + (c + a) = 7.1 + 12.1 + 7.2

2a + 2b + 2c = 26.4

a + b + c = 13.2

c = 13.2 - 7.1 = 6.1

a = 13.2 - 12.1 = 1.1

b = 13.2 - 7.2 = 6.0

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए हीरोन का सूत्र दिया गया है:

जहाँ, s त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है, दिया गया है:

s = सेमी

इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल है: 3.3 सेमी²

त्रिभुजों की कुल संख्या है:

इसलिए, सही उत्तर "विकल्प 2" है।

दिया गया:

भुजाओं का अनुपात = 1/3 : 1/4 : 1/5

अर्द्धपरिधि (s) = 47 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ a, b और c हैं, जहाँ a, b और c का अनुपात 1/3 : 1/4 : 1/5 है।

गणना:

मान लीजिए भुजाएँ 1/3x, 1/4x, और 1/5x हैं।

अर्द्ध-परिधि निम्न प्रकार दी गई है:

s = (a + b + c) / 2

⇒ 47 = ((1/3x) + (1/4x) + (1/5x)) / 2

⇒ 47 × 2 = (1/3x + 1/4x + 1/5x)

⇒ 94 = (20/60x + 15/60x + 12/60x)

⇒ 94 = (47/60x)

⇒ x = (94 × 60) / 47

⇒ x = 120

इसलिए, पक्ष हैं:

a = 1/3 × 120 = 40 सेमी

b = 1/4 × 120 = 30 सेमी

c = 1/5 × 120 = 24 सेमी

सबसे लम्बी भुजा 40 सेमी है।

∴ सबसे लम्बी भुजा की लंबाई 40 सेमी है।

दिया गया है:

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा में 34% की वृद्धि की जाती है। 

प्रयुक्त सूत्र:

प्रभावी वृद्धि % = वृद्धि % + वृद्धि % + (वृद्धि²/100)

गणना:

प्रभावी वृद्धि = 34 + 34 + {(34 × 34)/100}

⇒ 68 + 11.56 = 79.56%

∴ सही उत्तर 79.56% है।

दिया है:

एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में,

AB = AC = 26 सेमी और BC = 20 सेमी

गणना:

त्रिभुज ABC में

∆ADC = 90° (समद्विबाहु त्रिभुज में सम्मुख शीर्ष से एक रेखा द्वारा असमान भुजा के मध्य बिंदु पर बनाया गया कोण 90° होता है)

अतः,

AD² + BD² = AB²    (पाइथागोरस प्रमेय से)

⇒ AD² = 576

⇒ AD = 24

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½(आधार × ऊँचाई)

⇒ ½(20 × 24)  (त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) आधार × ऊँचाई)

⇒  240 सेमी²

∴ सही विकल्प विकल्प 2 है।

त्रिभुज की अर्ध-परिमाप (s) = 28/2 = 14

जैसा कि हम जानते हैं,

त्रिभुज का क्षेत्रफल = अंतःत्रिज्या × S = 3.5 × 14 = 49 सेमी2

दिया गया है:

एक समबाहु त्रिभुज ABC केंद्र O वाले एक वृत्त में अंकित है।

∠CBD = 40º

प्रयुक्त अवधारणा:

किसी चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग = 180°

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°

गणना:

∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°  [∵ ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है]

इसी प्रकार, ∠BAC + ∠BDC = 180°

⇒ 60° + ∠BDC = 180°

⇒ ∠BDC = 180° - 60° = 120°

इसी प्रकार, ∠CBD + ∠BDC + ∠BCD = 180°

⇒ 40° + 120° + ∠BCD = 180°

⇒ ∠BCD = 180° - 40° - 120° = 20°

∴ ∠BCD का मान 20° है। 

Shortcut Trick 

∠BAC = 75º

∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

∠ABC + ∠ACB + 75° = 180°

∠ABC + ∠ACB = 180° - 75° = 105°

माना, ∠ABC = ∠PBQ = 70° और ∠ACB = ∠RCQ = 35°

इसलिए, ∠PQR = 180° - (∠PQB + ∠RQC)

= 180° - [(180° - 2∠PBQ) + (180° - 2∠RCQ)  [∵ BQ = PQ; QC = QR]

= 180° - [(180° - 2 × 70°) + (180° - 2 × 35°)]

= 180° - (40° + 110°)

= 180° - 150°

= 30°

Alternate Method

दिया गया है:

ΔABC में , ∠BAC = 75º

BQ = PQ तथा QC = QR

प्रयुक्त अवधारणा:

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°

एक सरल रेखा पर सभी कोणों का योग = 180°

गणना:

माना, ∠ABC = x और ∠ACB = y

इसलिए, ∠ABC = ∠PBQ = ∠QPB = x  [∵ BQ = PQ]

∠ACB = ∠RCQ = ∠QRC = y  [QC = QR]

ΔABC में, ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°

⇒ x + y + 75° = 180°

⇒ x + y = 180° - 75° = 105°   .....(1)

ΔBPQ तथा ΔCRQ में,

(∠PBQ + ∠QPB + ∠PQB) + (∠RCQ + ∠QRC + ∠RQC) = 180° + 180° = 360°

⇒ (x + x + ∠PQB) + (y + y + ∠RQC) = 360°

⇒ 2x + 2y + ∠PQB + ∠RQC = 360°

⇒ 2 (x + y) + ∠PQB + ∠RQC = 360°

⇒ (2 × 105°) + ∠PQB + ∠RQC = 360°  [∵ x + y = 105°]

⇒ ∠PQB + ∠RQC = 360° - 210° = 150°   .....(2)

साथ ही, ∠PQB + ∠RQC + ∠PQR = 180°

⇒ 150° + ∠PQR = 180°  [∵ ∠PQB + ∠RQC = 150°]

⇒ ∠PQR = 180° - 150° = 30°

∴ ∠PQR की माप (डिग्री में) 30° है। 

दिया है,

एक समद्विबाहु त्रिभुज के दो बराबर भुजाओं में से एक, a = 20 सेमी

त्रिभुज का परिमाप = 72 सेमी

सूत्र:

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = 2a + b

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (b/4) × √(4a² – b²)

गणना:

माना a = 20 सेमी

2a + b = 72

⇒ 2 × 20 + b = 72

⇒ 40 + b = 72

⇒ b = 72 – 40

⇒ b = 32

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (32/4) × √(4 × 20² – 32²)

⇒ 8 × √(4 × 400 – 1024)

⇒ 8 × √(1600 – 1024)

⇒ 8 × √576

⇒ 8 × 24

⇒ 192 वर्ग सेमी

∴ समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 192 वर्ग सेमी है।

वैकल्पिक हल

तीसरी भुजा = 72 – 2 × 20 = 72 – 40 = 32

अर्द्ध परिमाप, s = 72/2 = 36

अब,

क्षेत्रफल = √[s (s – a) (s – b) (s – c)] = √[36(36 – 32)(36 - 20)(36 - 20)] = √(36 × 4 × 16 × 16) = 16 × 4 × 3 = 192 वर्ग सेमी

दिया गया है:

चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 12√3 सेमी2

प्रयुक्त अवधारणा

हम जानते हैं कि, त्रिभुज का माध्य त्रिभुज को समान भागों में काटता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) (भुजा)2 

गणना:

⇒ ΔABC का क्षेत्रफल = चतुर्भुज BDGF का क्षेत्रफल × 3 

⇒ ΔABC का क्षेत्रफल = 12√3 × 3 

⇒ΔABC का क्षेत्रफल = 36√3 सेमी2

⇒ 36√3 = (√3/4) × (भुजा)2

⇒ भुजा = 12 सेमी

∴ ΔABC की भुजा 12 सेमी है।

दिया गया है:

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है।

प्रयुक्त अवधारणा:

समबाहु त्रिभुज के परिगत वृत्त की त्रिज्या = भुजा/√3

गणना:

अवधारणा के अनुसार,

वृत्त की त्रिज्या = 12/√3

⇒ (4 × 3)/√3

∵ 3 = √3 × √3 = (√3)2

⇒ 4 ×(√3)2/√3

⇒ 4√3

∴ समबाहु त्रिभुज के परिगत वृत्त की त्रिज्या 4√3 सेमी है।

दिए गए आंकड़े:

परित्रिज्या = 3.2 सेमी

गणना:

समबाहु त्रिभुज के गुण से, O परिकेंद्र के साथ-साथ केन्द्रक भी है।

∴ OD =  × AD

⇒ AD = 3 × OD

⇒ AD = 3 × 3.2 = 9.6 सेमी

∴ समबाहु त्रिभुज के शीर्षलम्बों की लंबाई 9.6 सेमी है।

Shortcut Trick 

हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई = a√3/2

यहाँ, ऊँचाई = 9 = 6√3 × √3/2 

a = 6√3, इसलिए ऊँचाई = a√3/2.

∴ दिया गया त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

इसलिए, ∠A = 60°.

पारंपरिक​ विधि:

अवधारणा:

पाइथागोरस प्रमेय:

(AB)2 = (BD)2 + (AD)2

AB = BC = AC

∠A = ∠B = ∠C = 60°

गणना:

(6√3)2 = (BD)2 + 92

⇒ BD = 3√3 सेमी

∵ DC = BD = 3√3 सेमी

∴ BC = AC = AB =  6√3 सेमी और

∠A = ∠B = ∠C = 60°

∴ ABC एक समबाहु त्रिभुज है।