Unable to fetch AUTH :429 [हिन्दी] Transform Theory MCQ [Free Hindi PDF] - Objective Question Answer for Transform Theory Quiz - Download Now! - guacandrollcantina.com

Transform Theory MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Transform Theory - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Apr 3, 2025

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Latest Transform Theory MCQ Objective Questions

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t ≥ 0 के लिए \(H\left( s \right) = \frac{{s + 3}}{{{s^2} + 2s + 1}}\) का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर क्या है?

  1. 3te-t + e-t
  2. 3e-t
  3. 2te-t + e-t
  4. 4te-t + e-t

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 2te-t + e-t

Transform Theory Question 1 Detailed Solution

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संकल्पना:

लाप्लास रूपांतरों के कुछ युग्म नीचे दिए गए हैं।

\({e^{ - at}} \leftrightarrow \frac{1}{{s + a}}\)

\({t^n}{e^{ - at}} \leftrightarrow \frac{{n!}}{{{{\left( {s + a} \right)}^{n + 1}}}}\)

गणना:

दिया गया है:

\(H\left( s \right) = \frac{{s + 3}}{{{s^2} + 2s + 1}}\)

\(= \frac{{s + 3}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{s + 1}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)

\(= \frac{1}{{\left( {s + 1} \right)}} + \frac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)

व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर लागू करने पर

⇒ H(t) = e-t + 2t e-t

माना कि \(X\left( s \right) = \frac{{3s + 5}}{{{s^2} + 10s + 21}}\) सिग्नल x(t) का लाप्लास रूपांतर है। तो x(0+) क्या है?

  1. 0
  2. 3
  3. 5
  4. 21

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 3

Transform Theory Question 2 Detailed Solution

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Concept:

\(\rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} sX(s)\)

Calculation:

Using initial value theorem,

\(\rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} sX(s)\)

\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} s. \frac{(3s + 5)}{(s^2 + 10s + 21)}\)

\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} \frac{s^2( 3 + \frac{5}{s})}{s^2 \left( 1 + \frac{10}{S} + \frac{21}{S^2} \right)}\)

\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} \frac{3 + \frac{5}{S}}{1 + \frac{10}{S} + \frac{21}{S^2}}\)

∴ x(0+) = 3

Alternate method:

using Inverse Laplace Transform method,

we have,

\(\rm X(s) = \frac{3S + 5}{S^2 + 10S + 21} = \frac{3S + 5}{S^2 + 10 S + 21 + 4 - 4}\)

\(\rm X(s) = \frac{3S + 5}{(S + 5)^2 - 2^2} = \frac{3S + 15 - 10}{(S + 5)^2 - 2^2}\)

\(\rm X(S) = \frac{3(S + 5)}{(S + 5)^2 - 2^2} - \frac{10}{(S + 5)^2 - 2^2}\)

Taking inverse Laplace transform

x(t) = 3e-5t cosh2t - 5e-5t sinh2t

x(t) = e-5t(3 cosh2t - 5 sinh2t)

At t = 0+,

x(0+) = e0(3cosh 0 - 5 sinh0)

x(0+) = 1(3 - 0)

x(0+) = 3

eat cos ωt का लाप्लास रूपांतरण क्या है?

  1. \(\frac{\left( s\;-\;a \right)}{{{\left( s\;-\;a \right)}^{2}}\;+\;{{\omega }^{2}}}\)
  2. \(\frac{\omega }{{{\left( s\;-\;a \right)}^{2}}\;+\;{{\omega }^{2}}}\)
  3. \(\frac{a}{{{\left( s\;-\;a \right)}^{2}}\;+\;{{\omega }^{2}}}\)
  4. \(\frac{s}{{{\left( s\;-\;a \right)}^{2}}\;+\;{{\omega }^{2}}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{\left( s\;-\;a \right)}{{{\left( s\;-\;a \right)}^{2}}\;+\;{{\omega }^{2}}}\)

Transform Theory Question 3 Detailed Solution

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संकल्पना:

स्थानांतरण गुण:

L{eatf(t)} = F(s - a) 

गणना:

दिया गया है:

eat cos ωt, ∴ f(t) = cos ωt

\(\cos\;ωt=\frac{s}{{{s}^{2}}\;+\;{{ω }^{2}}}\) का लाप्लास रूपांतरण 

सर्वप्रथम स्थानांतरण गुण से:

L{eatf(t)} = F(s - a)

निम्न का लाप्लास रूपांतरण \({{e}^{at}} \cos ω t=\frac{\left( s-a \right)}{{{\left( s-a \right)}^{2}}\;+\;{{ω }^{2}}}\)

\((\frac{1}{s+1})\) का प्रतिलोम लाप्लास रूपांतरण क्या है?

  1. e-t
  2. et
  3. 1
  4. e1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : e-t

Transform Theory Question 4 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक सामान्य घातांकीय सिग्नल का लाप्लास रूपांतरण निम्न दिया गया है:

\(L[e^{-at}]\longleftrightarrow \frac{1}{s+a}\)

जहाँ 'a' कोई धनात्मक पूर्णांक है। 

गणना:​

दिया गया है, लाप्लास रूपांतरण निम्न रूप में दिया गया है:

F(s) = \(\frac{1}{s+1}\)

प्रतिलोम लाप्लास रूपांतरण निम्न होगा:

\(\frac{1}{s+1}\longleftrightarrow e^{-t}\)

Important Points

कुछ सामान्य व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर निम्नवत  हैं:

F(s)

ROC

f(t)

1

All s

δ (t)

\(\frac{1}{s}\)

Re (s) > 0

u(t)

\(\frac{1}{{{s^2}}}\)

Re (s) > 0

t

\(\frac{{n!}}{{{s^{n + 1}}}}\)

Re (s) > 0

tn

\(\frac{1}{{s + a}}\)

Re (s) > -a

e-at

\(\frac{1}{{{{\left( {s + a} \right)}^2}}}\)

Re (s) > -a

t e-at

\(\frac{{n!}}{{{{\left( {s + a} \right)}^n}}}\)

Re (s) > -a

tn e-at

\(\frac{a}{{{s^2} + {a^2}}}\)

Re (s) > 0

sin at

\(\frac{s}{{{s^2} + {a^2}}}\)

Re (s) > 0

cos at

eat का लाप्लास रूपांतर किसके द्वारा दिया जाता है?

  1. s/(s - a)
  2. 1/(s - a)
  3. s/(s + a
  4. 1/(s + a)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1/(s - a)

Transform Theory Question 5 Detailed Solution

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स्पष्टीकरण:

लाप्लास रूपांतर की मूल परिभाषा से:

\(F\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty f\left( t \right){e^{ - st}}dt\;\)

f(t) = eat

\(F\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty {e^{ - \left( {s - a} \right)t}}dt\;\)

\(F\left( s \right) = \; \frac{{e^{ - \left( {s - a} \right)t}}}{-(s-a)}|_0^\infty\;\)

\(F\left( s \right) = \frac{1}{{s - a}}\)

Important Points

लाप्लास रूपांतर के समय-स्थानांतरण गुण से:

\(L\left\{ f\left( t-a \right) \right\}={{e}^{-as}}F\left( s \right)\)

अनुप्रयोग:

g(t) का लाप्लास रूपांतर G (s) है

g(t - τ) का लाप्लास रूपांतर = e-sτ G(s)

फलन f(t) का लाप्लास रूपांतरण L(t) \( = \frac{1}{{\left( {{s^2} + {\omega ^2}} \right)}}\) है। तो f(t) का मान क्या है?

  1. \(f\left( t \right) = \frac{1}{{{\omega ^2}}}\left( {1 - \cos \omega t} \right)\)
  2. \(f\left( t \right) = \frac{1}{\omega }\cos \omega t\)
  3. \(f\left( t \right) = \frac{1}{\omega }\sin \omega t\;\)
  4. \(\;f\left( t \right) = \frac{1}{{{\omega ^2}}}\left( {1 - \sin \omega t} \right)\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(f\left( t \right) = \frac{1}{\omega }\sin \omega t\;\)

Transform Theory Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

हम जानते हैं कि

L{f(t)} = F(s) है, तो f(t) = L-1F(s) है। 

गणना:

\({\rm{L}}\left( {\sin {\rm{at}}} \right) = \frac{{\rm{a}}}{{{{\rm{s}}^2} + {{\rm{a}}^2}}}\)

उसीप्रकार,

\({\rm{L}}\left( {\sin {\rm{\omega t}}} \right) = \frac{{\rm{\omega }}}{{{{\rm{s}}^2} + {{\rm{\omega }}^2}}}\)

\({L^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{{s^2} + {\omega ^2}}}} \right) = \frac{{\sin\omega t}}{\omega } = f\left( t \right)\) 

sin h (at) का लाप्लास रूपान्तरण निम्न में से क्या है ?

  1. \(\frac{s}{{{s^2} - {a^2}}}\)
  2. \(\frac{s}{{{s^2} + {a^2}}}\)
  3. \(\frac{a}{{{s^2} - {a^2}}}\)
  4. \(\frac{a}{{{s^2} + {a^2}}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{a}{{{s^2} - {a^2}}}\)

Transform Theory Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

लाप्लास रूपान्तरण निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:

\(F\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty {e^{ - st}}f\left( t \right)dt\)

जहाँ, 

f(t) समय t के साथ परिवर्तित होने वाला फलन है

F(s) f(t) का लाप्लास रूपांतर है

विश्लेषण:

\(sin h(at) = \frac{ e^{at} - e^{-at}}{2}\)

\(F\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty {e^{ - st}} [\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}]dt\)

उपरोक्त को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\(\frac{a}{s^2-a^2}\)

e-at का लाप्लास रूपांतर ___________ है।

  1. 1/as
  2. 1/(s+1)
  3. 1/(s+a)
  4. a/(s+1)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1/(s+a)

Transform Theory Question 8 Detailed Solution

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कुछ सामान्य लाप्लास रूपांतर निम्नवत हैं:

f(t)

F(s)

ROC

δ (t)

1

All s

u(t)

\(\frac{1}{s}\)

Re (s) > 0

t

\(\frac{1}{{{s^2}}}\)

Re (s) > 0

tn

\(\frac{{n!}}{{{s^{n + 1}}}}\)

Re (s) > 0

e-at

\(\frac{1}{{s + a}}\)

Re (s) > -a

t e-at

\(\frac{1}{{{{\left( {s + a} \right)}^2}}}\)

Re (s) > -a

tn e-at

\(\frac{{n!}}{{{{\left( {s + a} \right)}^n}}}\)

Re (s) > -a

Sin at

\(\frac{a}{{{s^2} + {a^2}}}\)

Re (s) > 0

Cos at

\(\frac{s}{{{s^2} + {a^2}}}\)

Re (s) > 0

\(\frac{1}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s - 2} \right)}}\) का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण क्या है?

  1. \(\frac{{{e^{2t}} + {e^t}}}{3}\)
  2. \(\frac{{{e^{2t}} + {e^{-t}}}}{3}\)
  3. \(\frac{{{e^{2t}} - {e^{-t}}}}{3}\)
  4. \({e^{ - 2t}} - {e^t}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{{{e^{2t}} - {e^{-t}}}}{3}\)

Transform Theory Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक सामान्य घातांकीय सिग्नल के लाप्लास रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(L[e^{-at}]\longleftrightarrow \frac{1}{s+a}\)

जहाँ 'a' कोई धनात्मक पूर्णांक है। 

गणना:

दिया गया है:

\(\frac{1}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s - 2} \right)}}\)

\(\frac{1}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s - 2} \right)}} = \frac{A}{{\left( {s - 2} \right)}} + \frac{B}{{\left( {s + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\left\{ {\frac{1}{{s - 2}} + \frac{{ - 1}}{{s + 1}}} \right\}\)

\({L^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s - 2} \right)}}} \right) = {L^{ - 1}}\left\{ {\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{s - 2}} - \frac{1}{{s + 1}}} \right)} \right\} = \frac{{{e^{2t}} - {e^{ - t}}}}{3}\)

Additional Information

कुछ सामान्य व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण निम्न हैं:

F(s)

ROC

f(t)

1

All s

δ (t)

\(\frac{1}{s}\)

Re (s) > 0

u(t)

\(\frac{1}{{{s^2}}}\)

Re (s) > 0

t

\(\frac{{n!}}{{{s^{n + 1}}}}\)

Re (s) > 0

tn

\(\frac{1}{{s + a}}\)

Re (s) > -a

e-at

\(\frac{1}{{{{\left( {s + a} \right)}^2}}}\)

Re (s) > -a

t e-at

\(\frac{{n!}}{{{{\left( {s + a} \right)}^n}}}\)

Re (s) > -a

tn e-at

\(\frac{a}{{{s^2} + {a^2}}}\)

Re (s) > 0

sin at

\(\frac{s}{{{s^2} + {a^2}}}\)

Re (s) > 0

cos at

यदि लाप्लास रूपांतरण \(Lf\left( t \right) = \log \left( {\frac{{s + a}}{{s + b}}} \right)\) है, तो f(t) किसके बराबर है?

  1. \(\frac{1}{t}\left( {{e^{ - bt}} - {e^{ - at}}} \right)\)
  2. \(\frac{1}{t}\left( {{e^{bt}} - {e^{at}}} \right)\)
  3. \({e^{ - bt}} - {e^{ - at}}\)
  4. \({e^{bt}} - {e^{at}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{1}{t}\left( {{e^{ - bt}} - {e^{ - at}}} \right)\)

Transform Theory Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि L{f(t)} = F(s) या L-1 {f(s)} = f(t) है। 

तो \(L\left\{ {tf\left( t \right)} \right\} = - \frac{d}{{ds}}\left\{ {F\left( s \right)} \right\}\)

\(tf\left( t \right) = {L^{ - 1}}\left\{ { - \frac{d}{{ds}}F\left( s \right)} \right\}\)

\(f\left( t \right) = - \frac{1}{t}{L^{ - 1}}\left\{ {\frac{d}{{ds}}\left( {F\left( s \right)} \right)} \right\}\)

गणना:

दिया गया है:

\(Lf\left( t \right) = \log \left( {\frac{{s + a}}{{s + b}}} \right)\)

\(f\left( t \right) = {L^{ - 1}}\left[ {\log \left( {\frac{{s + a}}{{s + b}}} \right)} \right]={L^{ - 1}}\left\{ {\log \left( {s + a} \right) - \log \left( {s + b} \right)} \right\}\)

\(\Rightarrow - \frac{1}{t}{L^{ - 1}}\left\{ {\frac{d}{{ds}}\left( {\log \left( {s + a} \right) - \log \left( {s + b} \right)} \right)} \right\}\;= - \frac{1}{t}\left\{ {\frac{1}{{s + a}} - \frac{1}{{s + b}}} \right\}\)

 

\(\Rightarrow - \frac{1}{t}({e^{ - at}} - {e^{ - bt}})\;=\frac{1}{t}\left( {{e^{ - bt}} - {e^{ - at}}} \right)\)

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