Transform Theory MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Transform Theory - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 3, 2025
Latest Transform Theory MCQ Objective Questions
Top Transform Theory MCQ Objective Questions
t ≥ 0 के लिए \(H\left( s \right) = \frac{{s + 3}}{{{s^2} + 2s + 1}}\) का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Transform Theory Question 1 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
लाप्लास रूपांतरों के कुछ युग्म नीचे दिए गए हैं।
\({e^{ - at}} \leftrightarrow \frac{1}{{s + a}}\)
\({t^n}{e^{ - at}} \leftrightarrow \frac{{n!}}{{{{\left( {s + a} \right)}^{n + 1}}}}\)
गणना:
दिया गया है:
\(H\left( s \right) = \frac{{s + 3}}{{{s^2} + 2s + 1}}\)
\(= \frac{{s + 3}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{s + 1}}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)
\(= \frac{1}{{\left( {s + 1} \right)}} + \frac{2}{{{{\left( {s + 1} \right)}^2}}}\)
व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर लागू करने पर
⇒ H(t) = e-t + 2t e-tमाना कि \(X\left( s \right) = \frac{{3s + 5}}{{{s^2} + 10s + 21}}\) सिग्नल x(t) का लाप्लास रूपांतर है। तो x(0+) क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Transform Theory Question 2 Detailed Solution
Download Solution PDFConcept:
\(\rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} sX(s)\)
Calculation:
Using initial value theorem,
\(\rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} sX(s)\)
\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} s. \frac{(3s + 5)}{(s^2 + 10s + 21)}\)
\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} \frac{s^2( 3 + \frac{5}{s})}{s^2 \left( 1 + \frac{10}{S} + \frac{21}{S^2} \right)}\)
\(\Rightarrow \rm x(0^+) = \displaystyle\lim_{s \rightarrow \infty} \frac{3 + \frac{5}{S}}{1 + \frac{10}{S} + \frac{21}{S^2}}\)
∴ x(0+) = 3
Alternate method:
using Inverse Laplace Transform method,
we have,
\(\rm X(s) = \frac{3S + 5}{S^2 + 10S + 21} = \frac{3S + 5}{S^2 + 10 S + 21 + 4 - 4}\)
\(\rm X(s) = \frac{3S + 5}{(S + 5)^2 - 2^2} = \frac{3S + 15 - 10}{(S + 5)^2 - 2^2}\)
\(\rm X(S) = \frac{3(S + 5)}{(S + 5)^2 - 2^2} - \frac{10}{(S + 5)^2 - 2^2}\)
Taking inverse Laplace transform
x(t) = 3e-5t cosh2t - 5e-5t sinh2t
x(t) = e-5t(3 cosh2t - 5 sinh2t)
At t = 0+,
x(0+) = e0(3cosh 0 - 5 sinh0)
x(0+) = 1(3 - 0)
x(0+) = 3
eat cos ωt का लाप्लास रूपांतरण क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Transform Theory Question 3 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
स्थानांतरण गुण:
L{eatf(t)} = F(s - a)
गणना:
दिया गया है:
eat cos ωt, ∴ f(t) = cos ωt
\(\cos\;ωt=\frac{s}{{{s}^{2}}\;+\;{{ω }^{2}}}\) का लाप्लास रूपांतरण
सर्वप्रथम स्थानांतरण गुण से:
L{eatf(t)} = F(s - a)
निम्न का लाप्लास रूपांतरण \({{e}^{at}} \cos ω t=\frac{\left( s-a \right)}{{{\left( s-a \right)}^{2}}\;+\;{{ω }^{2}}}\)\((\frac{1}{s+1})\) का प्रतिलोम लाप्लास रूपांतरण क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Transform Theory Question 4 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक सामान्य घातांकीय सिग्नल का लाप्लास रूपांतरण निम्न दिया गया है:
\(L[e^{-at}]\longleftrightarrow \frac{1}{s+a}\)
जहाँ 'a' कोई धनात्मक पूर्णांक है।
गणना:
दिया गया है, लाप्लास रूपांतरण निम्न रूप में दिया गया है:
F(s) = \(\frac{1}{s+1}\)
प्रतिलोम लाप्लास रूपांतरण निम्न होगा:
\(\frac{1}{s+1}\longleftrightarrow e^{-t}\)
Important Points
कुछ सामान्य व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर निम्नवत हैं:
|
F(s) |
ROC |
f(t) |
|
1 |
All s |
δ (t) |
|
\(\frac{1}{s}\) |
Re (s) > 0 |
u(t) |
|
\(\frac{1}{{{s^2}}}\) |
Re (s) > 0 |
t |
|
\(\frac{{n!}}{{{s^{n + 1}}}}\) |
Re (s) > 0 |
tn |
|
\(\frac{1}{{s + a}}\) |
Re (s) > -a |
e-at |
|
\(\frac{1}{{{{\left( {s + a} \right)}^2}}}\) |
Re (s) > -a |
t e-at |
|
\(\frac{{n!}}{{{{\left( {s + a} \right)}^n}}}\) |
Re (s) > -a |
tn e-at |
|
\(\frac{a}{{{s^2} + {a^2}}}\) |
Re (s) > 0 |
sin at |
|
\(\frac{s}{{{s^2} + {a^2}}}\) |
Re (s) > 0 |
cos at |
eat का लाप्लास रूपांतर किसके द्वारा दिया जाता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Transform Theory Question 5 Detailed Solution
Download Solution PDFस्पष्टीकरण:
लाप्लास रूपांतर की मूल परिभाषा से:
\(F\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty f\left( t \right){e^{ - st}}dt\;\)
f(t) = eat
\(F\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty {e^{ - \left( {s - a} \right)t}}dt\;\)
\(F\left( s \right) = \; \frac{{e^{ - \left( {s - a} \right)t}}}{-(s-a)}|_0^\infty\;\)
\(F\left( s \right) = \frac{1}{{s - a}}\)
Important Points
लाप्लास रूपांतर के समय-स्थानांतरण गुण से:
\(L\left\{ f\left( t-a \right) \right\}={{e}^{-as}}F\left( s \right)\) 
अनुप्रयोग:
g(t) का लाप्लास रूपांतर G (s) है
g(t - τ) का लाप्लास रूपांतर = e-sτ G(s)
फलन f(t) का लाप्लास रूपांतरण L(t) \( = \frac{1}{{\left( {{s^2} + {\omega ^2}} \right)}}\) है। तो f(t) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Transform Theory Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
हम जानते हैं कि
L{f(t)} = F(s) है, तो f(t) = L-1F(s) है।
गणना:
\({\rm{L}}\left( {\sin {\rm{at}}} \right) = \frac{{\rm{a}}}{{{{\rm{s}}^2} + {{\rm{a}}^2}}}\)
उसीप्रकार,
\({\rm{L}}\left( {\sin {\rm{\omega t}}} \right) = \frac{{\rm{\omega }}}{{{{\rm{s}}^2} + {{\rm{\omega }}^2}}}\)
∴ \({L^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{{s^2} + {\omega ^2}}}} \right) = \frac{{\sin\omega t}}{\omega } = f\left( t \right)\)
sin h (at) का लाप्लास रूपान्तरण निम्न में से क्या है ?
Answer (Detailed Solution Below)
Transform Theory Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
लाप्लास रूपान्तरण निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:
\(F\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty {e^{ - st}}f\left( t \right)dt\)
जहाँ,
f(t) समय t के साथ परिवर्तित होने वाला फलन है
F(s) f(t) का लाप्लास रूपांतर है
विश्लेषण:
\(sin h(at) = \frac{ e^{at} - e^{-at}}{2}\)
\(F\left( s \right) = \;\mathop \smallint \limits_0^\infty {e^{ - st}} [\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}]dt\)
उपरोक्त को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
\(\frac{a}{s^2-a^2}\)
e-at का लाप्लास रूपांतर ___________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Transform Theory Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFकुछ सामान्य लाप्लास रूपांतर निम्नवत हैं:
|
f(t) |
F(s) |
ROC |
|
δ (t) |
1 |
All s |
|
u(t) |
\(\frac{1}{s}\) |
Re (s) > 0 |
|
t |
\(\frac{1}{{{s^2}}}\) |
Re (s) > 0 |
|
tn |
\(\frac{{n!}}{{{s^{n + 1}}}}\) |
Re (s) > 0 |
|
e-at |
\(\frac{1}{{s + a}}\) |
Re (s) > -a |
|
t e-at |
\(\frac{1}{{{{\left( {s + a} \right)}^2}}}\) |
Re (s) > -a |
|
tn e-at |
\(\frac{{n!}}{{{{\left( {s + a} \right)}^n}}}\) |
Re (s) > -a |
|
Sin at |
\(\frac{a}{{{s^2} + {a^2}}}\) |
Re (s) > 0 |
|
Cos at |
\(\frac{s}{{{s^2} + {a^2}}}\) |
Re (s) > 0 |
\(\frac{1}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s - 2} \right)}}\) का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Transform Theory Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक सामान्य घातांकीय सिग्नल के लाप्लास रूपांतरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
\(L[e^{-at}]\longleftrightarrow \frac{1}{s+a}\)
जहाँ 'a' कोई धनात्मक पूर्णांक है।
गणना:
दिया गया है:
\(\frac{1}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s - 2} \right)}}\)
\(\frac{1}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s - 2} \right)}} = \frac{A}{{\left( {s - 2} \right)}} + \frac{B}{{\left( {s + 1} \right)}} = \frac{1}{3}\left\{ {\frac{1}{{s - 2}} + \frac{{ - 1}}{{s + 1}}} \right\}\)
\({L^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{\left( {s + 1} \right)\left( {s - 2} \right)}}} \right) = {L^{ - 1}}\left\{ {\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{s - 2}} - \frac{1}{{s + 1}}} \right)} \right\} = \frac{{{e^{2t}} - {e^{ - t}}}}{3}\)
Additional Information
कुछ सामान्य व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण निम्न हैं:
|
F(s) |
ROC |
f(t) |
|
1 |
All s |
δ (t) |
|
\(\frac{1}{s}\) |
Re (s) > 0 |
u(t) |
|
\(\frac{1}{{{s^2}}}\) |
Re (s) > 0 |
t |
|
\(\frac{{n!}}{{{s^{n + 1}}}}\) |
Re (s) > 0 |
tn |
|
\(\frac{1}{{s + a}}\) |
Re (s) > -a |
e-at |
|
\(\frac{1}{{{{\left( {s + a} \right)}^2}}}\) |
Re (s) > -a |
t e-at |
|
\(\frac{{n!}}{{{{\left( {s + a} \right)}^n}}}\) |
Re (s) > -a |
tn e-at |
|
\(\frac{a}{{{s^2} + {a^2}}}\) |
Re (s) > 0 |
sin at |
|
\(\frac{s}{{{s^2} + {a^2}}}\) |
Re (s) > 0 |
cos at |
यदि लाप्लास रूपांतरण \(Lf\left( t \right) = \log \left( {\frac{{s + a}}{{s + b}}} \right)\) है, तो f(t) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Transform Theory Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
यदि L{f(t)} = F(s) या L-1 {f(s)} = f(t) है।
तो \(L\left\{ {tf\left( t \right)} \right\} = - \frac{d}{{ds}}\left\{ {F\left( s \right)} \right\}\)
\(tf\left( t \right) = {L^{ - 1}}\left\{ { - \frac{d}{{ds}}F\left( s \right)} \right\}\)
\(f\left( t \right) = - \frac{1}{t}{L^{ - 1}}\left\{ {\frac{d}{{ds}}\left( {F\left( s \right)} \right)} \right\}\)
गणना:
दिया गया है:
\(Lf\left( t \right) = \log \left( {\frac{{s + a}}{{s + b}}} \right)\)
\(f\left( t \right) = {L^{ - 1}}\left[ {\log \left( {\frac{{s + a}}{{s + b}}} \right)} \right]={L^{ - 1}}\left\{ {\log \left( {s + a} \right) - \log \left( {s + b} \right)} \right\}\)
\(\Rightarrow - \frac{1}{t}{L^{ - 1}}\left\{ {\frac{d}{{ds}}\left( {\log \left( {s + a} \right) - \log \left( {s + b} \right)} \right)} \right\}\;= - \frac{1}{t}\left\{ {\frac{1}{{s + a}} - \frac{1}{{s + b}}} \right\}\)
\(\Rightarrow - \frac{1}{t}({e^{ - at}} - {e^{ - bt}})\;=\frac{1}{t}\left( {{e^{ - bt}} - {e^{ - at}}} \right)\)