Complex Variables MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Variables - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है -

माना γ, {z ∈ ℂ: |z – 1|= 1} द्वारा दिए गए सम्मिश्र तल में धनात्मक रूप से उन्मुख वृत्त है।

तब \(\displaystyle \frac{1}{2 \pi i} \int_{γ} \frac{d z}{z^{3}-1}\) 

संकल्पना - 

कॉची समाकल सूत्र - 

माना क्षेत्र D में f(z) विश्लेषणात्मक है और माना कि C, D में एक बंद वक्र है। यदि A, D में कोई बिंदु है, तब 

\(\displaystyle\int_{C} \frac{f(z)}{z-a}dz=2 π i .f(a).\eta(\gamma:a)\)

यहाँ \(\eta(\gamma:a)\) एक वक्र संख्या है। वक्र संख्या एक बिंदु के चारों ओर पथ (वामावर्त) वक्र संख्याओं को मापती है।

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त हैं, γ = {z ∈ ℂ: |z – 1| = 1}

अब \(\displaystyle \frac{1}{2 \pi i} \int_{γ} \frac{d z}{z^{3}-1}\)

= \(\displaystyle \frac{1}{2 \pi i} \int_{γ} \frac{d z}{(z-1)(z^2+z+1)}\)

= \(\displaystyle \frac{1}{2 \pi i} \int_{γ} \frac{1/(z^2+z+1)}{(z-1)}dz\)

अब कॉची समाकल सूत्र का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है -

= \(\displaystyle \frac{1}{2 \pi i} \times 2 \pi i\times f(1)=\displaystyle \frac{1}{2 \pi i} \times 2 \pi i\times \frac{1}{3}= \frac{1}{3}\)

अतः, विकल्प (ii) सही है।

संकल्पना:

किसी समिश्र फलन के विशिष्टता बिंदुओं के समुच्चय का सीमांत बिंदु फलन की एक अवियुक्‍त अनिवार्य अव्युत्क्रमणीय है।

स्पष्टीकरण:

f(z) = cot\(\frac{1}{z}\) = \({\cos \frac{1}{z}\over \sin \frac{1}{z}}\)

f(z) में अव्युत्क्रमणीय है,

sin\(\frac{1}{z}\) = 0 अर्थात, \(\frac{1}{z}\) = nπ अर्थात, z = \(1\over nπ\), n ∈ \(\mathbb Z\)

अब, \(\lim_{n\to\infty}{1\over nπ}\) = 0

चूँकि विशिष्टता बिंदुओं के समुच्चय का सीमांत बिंदु 0 है, इसलिए f(z) में z = 0 पर अनिवार्य अव्युत्क्रमणीय है। 

अतः (4) सही है। 

अवधारणा -

यदि \(\cos ^{-1}\left( cos \theta + i sin \theta \right) = x + iy\) तब 

\(\cos ^{-1}\left( cos \theta + i sin \theta \right)\) का वास्तविक भाग \(= x = sin^{-1} (sin \theta )\)

\(\cos ^{-1}\left( cos \theta + i sin \theta \right)\) का काल्पनिक भाग \(= y= log[ \sqrt{1+ sin \theta } - \sqrt{sin \theta }]\)

स्पष्टीकरण-

हमारे पास है \(\cos ^{-1}\left(\frac{3-2 i}{3+2 i}\right) = x + iy\)  

अब \(\left(\frac{3-2 i}{3+2 i}\right)\) को हल करने पर

अब 3 - 2i के संयुग्मी का उपयोग करने पर

इसलिए \(\left(\frac{3-2 i}{3+2 i}\right) = \left(\frac{3-2 i}{3+2 i}\right) \times \left(\frac{3-2 i}{3-2 i}\right)\)

= \(\left(\frac{(3-2 i)^2}{(3+2 i)(3-2i)}\right) = \frac{9-4-12i}{9+4}=\frac{5-12i}{13}= \frac{5}{13}- \frac{12i}{13}\)

इसलिए, हमें प्राप्त होता है \(\cos ^{-1}\left(​​​​\frac{5}{13}- \frac{12i}{13}\right) = x + iy\)

अब सूत्र का प्रयोग करने पर -

\(\cos ^{-1}\left(\frac{3-2 i}{3+2 i}\right)\) का काल्पनिक भाग = y = \(log[ \sqrt{(1-\frac{12}{13})} - \sqrt{-\frac{12}{13}}]\)

⇒ \(y =log[ \sqrt{(\frac{1}{13})} - i\sqrt{\frac{12}{13}}]\)

व्याख्या:

फलन \(f(z) = \frac{\sin(z)}{z^3}\) पर विचार करते है

फलन sin(z) का z = 0 के आसपास निम्नलिखित मैकलॉरिन श्रेणी प्रसार है:

\(\sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots\)

अब, f(z) के लिए लॉरेंट श्रेणी प्राप्त करने के लिए इसे z³ से विभाजित करते हैं:

\(f(z) = \frac{\sin(z)}{z^3} = \frac{z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots}{z^3} \)

⇒ \(f(z) = \frac{1}{z^2} - \frac{1}{3!} + \frac{z^2}{5!} - \cdots\)

यहाँ, लॉरेंट श्रेणी में 1/z² (z की एक ऋणात्मक घात) का पद है, लेकिन इससे आगे कोई ऋणात्मक घात नहीं है।

यह इंगित करता है कि z = 0 कोटि 2 का ध्रुव है।

1) यदि लॉरेंट श्रेणी में z की कोई ऋणात्मक घात नहीं है, तो एक सुधार योग्य विलक्षणता होती है।

चूँकि, f(z) में 1/z² ऋणात्मक घात है, इसलिए यह कथन गलत है।

2) यदि लॉरेंट श्रेणी में 1/z के रूप का ठीक एक पद है, तो एक साधारण ध्रुव होता है।

चूँकि f(z) की लॉरेंट श्रेणी में 1/z² का पद है, इसलिए यह कथन गलत है।

3) यदि लॉरेंट श्रेणी में 1/z² का पद है और इससे अधिक ऋणात्मक घात वाले कोई पद नहीं हैं, तो कोटि 2 का ध्रुव होता है।

यह f(z) के लिए बिल्कुल सही है, इसलिए यह कथन सही है।

4) यदि लॉरेंट श्रेणी में z की अनंत ऋणात्मक घातें हैं, तो एक आवश्यक विलक्षणता होती है।

चूँकि f(z) की लॉरेंट श्रेणी में केवल 1/z² ऋणात्मक घात वाला एक पद है, इसलिए यह कथन गलत है।

इस प्रकार, सही उत्तर (3) है।

व्याख्या:

मूलबिंदु पर केंद्र और 2 इकाई त्रिज्या वाली अर्धवृत्तीय चकती |Z| = 2 है।

अब,

w2 = Z

⇒ |w|2 = |Z|

⇒ |w|2 = 2

⇒ |w| = \(\sqrt2\)

इसलिए, w-समतल में प्रतिबिम्ब √2 इकाई त्रिज्या की चतुर्थांश वृत्ताकार चकती होगी।

विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

ध्रुव:

वह मान जिसके लिए f(z) मौजूद नहीं है अर्थात वह मान जिस पर फलन f(z) का हर = 0 है।

जब एक ध्रुव की कोटि 1 होती है तो इसे एक साधारण ध्रुव के रूप में जाना जाता है।

अवशेष:

यदि f(z) का z = a पर एक साधारण ध्रुव है तो

\(Res\;f(a)=\mathop {\lim }\limits_{z \to a} \left( {z - a} \right)f\left( z \right)\)

यदि f(z) का z = a पर कोटि n का ध्रुव है तो

\(Res\left( {at\;z = a} \right) = \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!}}{\left\{ {\frac{{{d^{n - 1}}}}{{d{z^{n - 1}}}}\left[ {{{\left( {z - a} \right)}^n}f\left( z \right)} \right]} \right\}_{z = a}}\)

गणना:

दिया हुआ:

\(f\left( z \right) = \frac{{{z^2}}}{{{z^2} \;+ \;{a^2}}}\)

ध्रुव की गणना के लिए:

z2 + a2 = 0

∴ (z + ia)(z - ai) = 0

∴ z = ai, -ai

∴ z का z = ai और -ai पर साधारण ध्रुव है।

अवशेष:

यदि f(z) का z = a पर एक साधारण ध्रुव है तो

\(Res\;f(a)=\mathop {\lim }\limits_{z \to a} \left( {z - a} \right)f\left( z \right)\)

z = ai पर ध्रुव के लिए

\(Res\;f(ai)=\mathop {\lim }\limits_{z \to ai} \left( {z - ai} \right)\left ( \frac{z^2}{z^2\;+\;a^2} \right )\)

\(Res\;f(ai)=\mathop {\lim }\limits_{z \to ai} \left( {z - ai} \right)\left ( \frac{z^2}{(z-ai)(z+ai)} \right )\)

\(Res\;f(ai)=\frac{(ai)^2}{2ai}\Rightarrow\frac{ai}{2}\)

z = - ai पर ध्रुव के लिए

\(Res\;f(-ai)=\mathop {\lim }\limits_{z \to -ai} \left( {z + ai} \right)\left ( \frac{z^2}{(z-ai)(z+ai)} \right )\)

\(Res\;f(-ai)=\frac{(-ai)^2}{-2ai}\Rightarrow-\frac{ai}{2}\)

∴ z का z = ai पर एक साधारण ध्रुव है और \(\frac{ia}{2}\), z पर एक अवशेष होता है = f (z) के लिए होता है।

संकल्पना:

लॉरेंट श्रेणी मानक श्रेणी और प्रसार की व्यवस्था और परस्पर परिवर्तन द्वारा प्राप्त की जाती है, अर्थात

(1 - x)^-1 = 1 + x + x² + x³ + …… |x| < 1

(1 + x)^-1 = 1 – x + x² – x³ + ….. |x| < 1

(1 - x)^-2 = 1 + 2x + 3x² + ….. |x| < 1

(1 + x)^-2 1 – 2x + 3x² – 4x² + …. |x| < 1

सभी प्रसारों में उसका निरीक्षण कीजिए; जो |x| 1 से कम होना चाहिए।

∴ उपरोक्त प्रतिबंध को पूरा करने के लिए हमें चर में परस्पर परिवर्तन करने की आवश्यकता है।

अनुप्रयोग:

दिया गया क्षेत्र |z| > 2

⇒ \(\frac{2}{\left| z \right|}<1\) 

\(\frac{1}{\left| z \right|}<\frac{1}{2}\)

इसकी व्याख्या \(\frac{1}{\left| z \right|}<1\) के रूप में की जा सकती है  

\(f\left( z \right)=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}\)

\(f\left( z \right)=\frac{1}{z}\left[ \frac{1}{1-\frac{1}{z}}-\frac{1}{1-\frac{2}{z}} \right]\)

\(Since~\frac{1}{1-\frac{1}{z}}={{\left( 1-\frac{1}{z} \right)}^{-1}}\)

\(\left| \frac{1}{z} \right|<1\Rightarrow {{\left( 1-\frac{1}{z} \right)}^{-1}}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{{{z}^{2}}}+\ldots \)

इसी प्रकार, हम लिख सकते हैं:

\(\frac{1}{1-\frac{2}{z}}={{\left( 1-\frac{2}{z} \right)}^{-1}}\)

\(\left| \frac{2}{z} \right|<1\Rightarrow {{\left( 1-\frac{2}{z} \right)}^{-1}}=1+\frac{2}{z}+{{\left( \frac{2}{z} \right)}^{2}}+\ldots \)

\(\therefore f\left( z \right)=\frac{1}{z}\left[ \left[ 1+\frac{1}{z}+\frac{1}{{{z}^{2}}}+\ldots \right]-\left[ 1+\frac{2}{z}+{{\left( \frac{2}{z} \right)}^{2}}+\ldots \right] \right]\)

\(=\left[ \left[ \frac{1}{z}+\frac{1}{{{z}^{2}}}+\frac{1}{{{z}^{3}}}+\ldots \right]-\left[ \frac{1}{z}+\frac{2}{{{z}^{2}}}+\frac{4}{{{z}^{2}}}+\ldots \right] \right]\)
 

संकल्पना:

z का तर्क धनात्मक वास्तविक अक्ष और केंद्र से बिंदु को जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण है। 

यदि एक सम्मिश्र संख्या को z = x +iy द्वारा ज्ञात किया गया है, तो z = arg(z) का तर्क = \({\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\) है। 

गणना:

दिया गया है, सम्मिश्र संख्या \(\sqrt { - 1} \)

⇒ \(z = \sqrt { - 1} = i\) = x + iy

तुलना करने पर,

⇒ x = 0 और y = 1

⇒ z पहले चतुर्थांश में है। 

इसलिए, arg(z) = \( tan^{-1}( \frac{y}{x})\)

⇒arg(z) = \( tan^{-1} (\frac{1}{0})\;=\;\frac{{\pi}}{{2}}\)

⇒ arg(z) = \( \frac{\pi}{2}\) 

अतः सम्मिश्र संख्या  \(z = \sqrt { - 1} = i\) का तर्क \(\frac{\pi}{2}\) है। 

संकल्पन:

कॉची प्रमेय:

यदि f(z) एक विश्लेषणात्मक फलन है और f'(z) बंद वक्र C के अंतर्गत और प्रत्येक बिंदु पर सतत है, तो

\(\mathop \oint \limits_C f\left( z \right)dz = 0\)

कॉची समाकल सूत्र:

यदि f(z) एक बंद वक्र के अंतर्गत एक विश्लेषणात्मक फलन है और यदि a, C के अंतर्गत कोई बिंदु है, तो

\(f\left( a \right) = \frac{1}{{2\pi i}}\mathop \oint \limits_C \frac{{f\left( z \right)}}{{z - a}}dz\)

\({f^n}\left( a \right) = \frac{{n!}}{{2\pi i}}\mathop \oint \limits_C \frac{{f\left( z \right)}}{{{{\left( {z - a} \right)}^{n + 1}}}}dz\)

परिशिष्ट प्रमेय:

यदि f(z), C के अंतर्गत परिमित संख्या में व्युत्क्रमणीय बिंदुओं को छोड़कर बंद वक्र C में विश्लेषणात्मक है, तो

\(\mathop \smallint \limits_C f\left( z \right)dz = 2\pi i \times \left[ {{\rm{sum\;of\;residues\;at\;the\;singualr\;points\;within\;C}}} \right]\)

परिशिष्ट ज्ञात करने का सूत्र:

1. यदि f(z) में z = a पर एक सरल ध्रुव है, तो

\(Res\;f\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to a} \left[ {\left( {z - a} \right)f\left( z \right)} \right]\)

2. यदि f(z) में z = a पर कोटि n का ध्रुव है, तो

\(Res\;f\left( a \right) = \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!}}{\left\{ {\frac{{{d^{n - 1}}}}{{d{z^{n - 1}}}}\left[ {{{\left( {z - a} \right)}^n}f\left( z \right)} \right]} \right\}_{z = a}}\)

अनुप्रयोग:

\(\mathop \smallint \nolimits_C \frac{{{z^2} + 1}}{{{z^2} - 2z}}dz\)

\( = \mathop \smallint \nolimits_C \frac{{{z^2} + 1}}{{z\left( {z - 2} \right)}}dz\)

सरल ध्रुव हैं: z = 0, 2

दिया गया क्षेत्र एक इकाई वृत्त है।

z = 2 पर परिशिष्ट शून्य है क्योंकि यह दिए गए क्षेत्र के बाहर स्थित है।

Z = 0 पर परिशिष्ट, निम्न द्वारा दिया गया है

\( = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} z\frac{{{z^2} + 1}}{{z\left( {z - 2} \right)}}dz = - \frac{1}{2}\)

कॉची-रीमैन समीकरण:

आयताकार रूप:

f(z) = u(x, y) + f v(x, y)

f(z) को विश्लेषणात्मक होने के लिए इसे कॉची रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करने की आवश्यकता है

ux = vy, uy = -vx

\(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}},\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}}\)

ध्रुवीय रूप:

f(z) = u(r, θ) + f v(r, θ)

\({u_r} = \frac{1}{r}{v_\theta }\) और uθ = -rvr

​​\(\dfrac{\partial u}{\partial r} = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial v}{\partial \theta} \ \text{and} \ \dfrac{\partial v}{\partial r}=-\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial u}{\partial\theta }\)

\({\rm{Res\;f}}{\left( {\rm{z}} \right)_{{\rm{z}} = {\rm{a}}}} = \frac{1}{{\left( {{\rm{n}} - 1} \right)!}}\frac{{{{\rm{d}}^{{\rm{n}} - 1}}}}{{{\rm{d}}{{\rm{z}}^{{\rm{n}} - 1}}}}{\left( {{\rm{z}} - {\rm{a}}} \right)^{\rm{n}}}{\left. {{\rm{f}}\left( {\rm{z}} \right)} \right]_{{\rm{z}} = {\rm{a}}}}\)

यहाँ हमारे पास n = 2 और a = 2 है

इस प्रकार Res \({\rm{f}}{\left( {\rm{z}} \right)_{{\rm{z}} = 2}} = \frac{1}{{\left( {2 - 1} \right)!}}\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dz}}}}{\left[ {{{\left( {{\rm{z}} - 2} \right)}^2}\frac{1}{{{{\left( {{\rm{z}} - 2} \right)}^2}{{\left( {{\rm{z}} + 2} \right)}^2}}}} \right]_{{\rm{z}} = 2}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{dz}}}}{\left[ {\frac{1}{{{{\left( {{\rm{z}} + 2} \right)}^2}}}} \right]_{{\rm{z}} = 2}} = {\left[ { - \frac{2}{{{{\left( {{\rm{z}} + 2} \right)}^3}}}} \right]_{{\rm{z}} = 2}}\\ = - \frac{2}{{64}} = - \frac{1}{{32}} \end{array}\)

संकल्पना:

एकत्व के घनमूल are 1, ω और ω2 हैं

जहाँ,

 \(ω = \frac{{ - \;1 + i\sqrt 3 }}{2}\;and\;{ω ^2} = \frac{{ - \;1\; - \;i\;\sqrt 3 }}{2}\)

\(1 + {ω ^n} + {ω ^{2n}} = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,\;if\;n\;is\;not\;multiple\;of\;3}\\ {3,\;if\;n\;is\;multiple\;of\;3} \end{array}} \right.\)

ω3 = 1

1 + ω + ω2 = 0

ω3n = 1

​गणना:

दिया हुआ:

Δ = \(\begin{bmatrix} 1 &ω & ω^{2n} \\ ω^2 & ω^{2n} & 1 \\ ω^{2n}& 1 & ω^{n} \end{bmatrix} \)

सारणिक को हल करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

Δ = 1 (ω²ⁿ ωⁿ - 1) - ω (ω2 ωn - ω2n) + ω2n (ω2 - ω2n ω²n)

Δ = (ω³n - 1) - (ω3 ωn - ω2n ω) + (ω2 ω2n - ω⁶n )

चूँकि ω3 = 1, ω3n = 1, ω6n = 1

Δ = 0 - ωn + ω2n ω + ω2 ω2n - 1

Δ = -1 - ωn +ω2n (ω + ω2)

चूँकि 1 + ω + ω2 = 0 ⇒ ω + ω2 = - 1

Δ = -1 - ωn - ω2n 

यदि n 3 का गुणज नहीं है तो:

Δ = -1 - ωn - ω2n  = 0

संकल्पना:

यदि f(z) = u(x, y) + iv(x, y) एक विश्लेषणात्मक फलन है, तो कॉची-रीमैन की स्थिति संतुष्ट होगी। 

अर्थात् \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}}~and~\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}}\)

गणना:

दिया गया है:

v = xy​

\(\frac{{\partial v}}{{\partial y}} = x \Rightarrow \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = x\)

\( \frac{{\partial v}}{{\partial x}} = y, \frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}} = -y\)

यदि u = f(x, y) है। 

\(du = \frac{{\partial u}}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial u}}{{\partial y}}dy\)

du = xdx - ydy

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

\(\smallint du = \smallint \left( { x} \right)dx - \smallint ydy\)

\(u = \frac{1}{2}\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\)

अवधारणा:

सम्मिश्र फलन f(z) = u (x, y) + iv (x, y) वैश्लेषिक होगा यदि यह कौशी-रीमान प्रमेय के निम्नलिखित दो प्रतिबंधों को संतुष्ट कर देता है।

• \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial v}}{{\partial y}}\;\;and\;\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial v}}{{\partial x}}\)
• \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}},\frac{{\partial u}}{{\partial y}},\frac{{\partial v}}{{\partial x}},\frac{{\partial v}}{{\partial y}}\;{\rm{are\;continuous\;function\;of\;x\;and\;y}}.\)

f(z) = log z

\(\frac{{\partial }}{{\partial z}}f(z) = \frac{1}{z}\)

यहाँ, फलन f(z), z = 0 के अतिरिक्त सभी बिन्दुओं पर वैश्लेषिक है। चूंकि फलन इन दो मानों के लिए परिभाषित नहीं है।

संकल्पना:

यदि f(x, y) हार्मोनिक है, तो इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

\({{\nabla }^{2}}~f\left( x,~y \right)=0=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}\)

गणना:

दिया गया फलन: f = 2x – x² + my²

इसलिए, हार्मोनिक के लिए इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

\({{\nabla }^{2}}f=0=\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}\)

\(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}=\frac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}~\left( 2-2x \right)=-2\)

\(\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=\frac{\partial \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)}{\partial y}=\frac{\partial \left( 2my \right)}{\partial y}=2m\)

\(\Rightarrow \frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}f}{\partial {{y}^{2}}}=-2+2m=0\)