Probability and Statistics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Probability and Statistics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया:

सर्वोत्तम फिट रेखा का समीकरण: लाभ = 4T − 86

सहसंबंध गुणांक: r = 0.83

बिंदु (32, 80) को असामान्य के रूप में बताया गया है।

प्रयुक्त सूत्र:

निर्धारण का गुणांक: r²

रेखा से अनुमानित मान: समीकरण लाभ = 4T − 86 में T रखें

गणना:

कथन 1:

यह न्यूनतम वर्ग समाश्रयण रेखा का एक गुण है।

⇒ वर्गों के योग का अंतर न्यूनतम है

कथन 2:

r = 0.83 ⇒ r² = 0.6889 ≈ 69%

⇒ लगभग 69% भिन्नता समझाई गई है

कथन 3:

T = 30 डिग्री सेल्सियस

⇒ लाभ = 4 x 30 − 86 = 120 − 86 = 34

⇒ अनुमानित लाभ = 34 मिलियन

कथन 4:

बिंदु (32, 80) रेखा से थोड़ा दूर है लेकिन स्पष्ट बहिष्कृत नहीं है।

इसे त्यागने का कोई वैध कारण नहीं है।

⇒ इसे असामान्य घोषित करना और त्यागना गलत है

∴ कथन 4 गलत है।

गणना:

यहाँ, 5, 8, 9, 5, 6, 4, 9, 3, 9, 3, 6, 1, 9, 7, 1, 2, 9 और 5

यहाँ,

9, 5 बार आता है। 

∴ दिए गए आँकड़ों का बहुलक 9 है। 

सूत्र

माध्य = ∑xifi/n

f = बारंबारता  

x = प्रेक्षण

n = प्रेक्षणों की संख्या

गणना

माध्य = 83/14

∴ इस श्रृंखला का माध्य 83/14 है

1 - समांतर माध्य

समांतर माध्य को X̅ द्वारा निरूपित किया जाता है, दिया गया है 

X̅ = (x1 + x2 + ------ xn)/n

X̅ = ∑xi/n

जहाँ (x1 + x2 + ------ xn) प्रेक्षण हैं

n = प्रेक्षण की संख्या

1 - किसी भी वितरण के लिए समांतर माध्य से विचलन का योग हमेशा शून्य होता है

2 - यदि चर x के प्रत्येक मान को एक स्थिर मान से बढ़ाया या घटाया जाता है तो इस प्रकार प्राप्त चर का समांतर माध्य भी उसी स्थिर मान से बढ़ या घट जाता है

3 - माध्य के बारे में लिए जाने पर मानों के एक समूह के विचलन के वर्ग का योग न्यूनतम होता है।

4 - यदि चर के मानों को एक स्थिर मान से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो इस प्रकार प्राप्त समांतर माध्य वही होता है जो प्रारंभिक समांतर माध्य को स्थिर मान से गुणा या विभाजित करता है

दिया गया है​:

निश्चित संख्या का माध्य = 20

समान प्रेक्षण के वर्ग का माध्य = 500

प्रयुक्त सूत्र:

σ = √[(∑x²/n –(∑x/n)²]

(∑x/n) = माध्य

∑x²/n = वर्ग का माध्य

गणना:

मानक विचलन निम्न द्वारा दिया जाता है

⇒ √[(∑(x²/n –(∑x/n)²] = √[500 – (20)²]

⇒ √(500 – 400)

∴ मानक विचलन 10 है।

दिया गया है:

आंकड़े = 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 

प्रयुक्त सूत्र:

विषम संख्या के लिए माध्यिका = \(({n\ +\ 1\over 2})^{th}\)

सम संख्या के लिए माध्यिका = \({({n\over 2})^{th}\ +\ ({{n\over 2}\ +\ 1})^{th}}\over 2\)     जहाँ, n = पदों की कुल संख्या (विषम या सम)

गणना:

माना सम संख्या की माध्यिका X है।

⇒ कुल सम संख्या = 8

⇒ तो n का मान = 8

⇒ सम संख्या की माध्यिका = \({({8\over 2})^{th}\ +\ ({{8\over 2}\ +\ 1})^{th}}\over 2\) = (4 + 5)/2 = (36 + 37)/2 = 36.5

⇒ 35 को निकालने पर कुल संख्या = n = 7

⇒ 35 को निकालने पर आंकड़ों की माध्यिका = \(({7\ +\ 1\over 2})^{th}\) = 8/2 = 4th संख्या = 37

⇒ माध्यिका का अंतर = 37 - 36.5 = 0.5

∴ अभीष्ट परिणाम 0.5 होगा।

⇒ दोनों तरफ टेल होने वाले सिक्कों की संख्या = n

⇒ कोरे सिक्कों की संख्या = n + 1

प्रश्न के अनुसार,

⇒ टेल आने की प्रायिकता = 31/42

⇒ P(टेल) = \(\frac{{{}_{}^n{C_1}}}{{{}_{}^{2n\; + \;1}{C_1}}} \times 1 + \frac{{{}_{}^{n\; + \;1}{C_1}}}{{{}_{}^{2n\; + \;1}{C_1}}} \times \frac{1}{2} = 31/42\) 

\( \Rightarrow \frac{n}{{2n\; + \;1}} + \frac{{n\; + \;1}}{{2\left( {2n\; + \;1} \right)\;}} = 31/42\)

⇒ (3n + 1) x 21 = 31(2n + 1)

⇒ 63n + 21 = 62n + 31

⇒ n = 10

∴ बैग में कुल सिक्के = 2n + 1 = 21

अवधारणा:

दी हुई जानकारी के अनुसार,

9, 5, 8, 9, 9, 7, 8, 9, 8

संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर

5, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9

चूँकि संख्याओं की संख्या विषम है, इसलिए माध्यिका मध्य संख्या होगी।

⇒ माध्यिका = 8

सबसे अधिक बार पुनरावृत्त होने वाली संख्या को बहुलक कहा जाता है, चूँकि 9 चार बार पुनरावृत्त हो रहा है।

⇒ बहुलक = 9

माध्य = (9 + 5 + 8 + 9 + 9 + 7 + 8 + 9 + 8)/9 = 8

∴ माध्यिक, बहुलक, माध्य = (8, 9, 8)

दिया गया है

P(A) = 2P(B) = 6P(C)

अवधारणा

जब घटनाएँ परस्पर अनन्य और संपूर्ण हैं 

P(A) + P(B) + P(C) = 1

गणना

माना P(A) का मान k है 

⇒ P(B) = k/2

⇒ P(C) = k/6

इसलिए अवधारणा के अनुसार

⇒ k + k/2 + k/6 = 1

⇒ 10k/6 = 1

⇒ k = 3/5

दिया गया है:

पॉइसन वितरण में

P(X = 0) = 0.6

सूत्र 

पॉइसन वितरण दिया जाता है 

f(x) = e^-λλ^x/x!

गणना 

P(X = 0) = e^-λλ⁰/0!

⇒ 0.6 = e^-λ

⇒ 1/e^λ = 6/10 = 3/5

⇒ e^λ = 5/3

दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,

⇒ log_ee^λ = log_e(5/3)

∴ λ = Log_e(5/3)

दिया गया है

प्लंबिंग का ठेका मिलने की प्रायिकता = P(A) = 2/3

बिजली का ठेका नहीं मिलने की प्रायिकता P(B̅) = 5/9

कम से कम एक ठेका मिलने की प्रायिकता P(A U B) = 4/5

गणना

बिजली का ठेका मिलने की प्रायिकता = 1 - P(B̅)

⇒ = 1- 5/9 = 4/9

दोनों ठेके मिलने की प्रायिकता P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A U B)

⇒ P(A ∩ B) = 2/3 + 4/9 - 4/5

⇒ (90 + 60 - 108)/135

∴ उसे दोनों ठेके P(A ∩ B) मिलने की प्रायिकता 14/45 है।

दिया गया है

f(x) = { ke-3x, x > o

          { 0, elsewhere

प्रयुक्त संकल्पना

\( \smallint \limits_{ - \infty }^\infty f\left( x \right)dx \) = \( \smallint \limits_{ - \infty }^0 f\left( x \right)dx\) + \(\smallint \limits_0^\infty f\left( x \right)dx\) = 1

गणना

दिए गए भाग के अनुसार 

⇒\( \smallint \limits_{ - \infty }^0 f\left( x \right)dx\) = 0

⇒ 0 + \(\smallint \limits_0^\infty f\left( x \right)dx\) = 0

⇒ ∫ke-3xdx = 1

⇒ k[-e-3x/3]

⇒ -k/3[e-∞- e0] = 1

⇒ -k/3(0 – 1) = 1

⇒ k./3 = 1

∴ PDF के लिए k का मान 3 है

कुल 15 गेंदों में से 3 गेंदे चयन करने की कुल संभावना ¹⁵C₃ है।

3 लाल गेंदों का चयन करने की कुल संभावना ⁵C₃ है।

∴ सभी गेंदे लाल मिलने की संभावना  \(P = \frac{{{5_C}_3}}{{{{15}_{{C_3}}}}} = \frac{{5 \times 4 \times 3}}{{15 \times 14 \times 13}} = \frac{2}{{91}}\) होगी।

दिया गया है​:

निश्चित संख्या का माध्य = 20

समान प्रेक्षण के वर्ग का माध्य = 500

प्रयुक्त सूत्र:

σ = √[(∑x²/n –(∑x/n)²]

(∑x/n) = माध्य

∑x²/n = वर्ग का माध्य

गणना:

मानक विचलन निम्न द्वारा दिया जाता है

⇒ √[(∑(x²/n –(∑x/n)²] = √[500 – (20)²]

⇒ √(500 – 400)

∴ मानक विचलन 10 है।

अवधारणा :

सप्रतिबंध प्रायिकता को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
\(P\left( {\frac{A}{B}} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

\(P\left( {\frac{B}{A}} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)

अनुप्रयोग :

मान लीजिए घटना A को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

A = पहले उछाल में चित मिलना

घटना B को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

B = दूसरे उछाल में चित आना

प्रश्न के अनुसार, हमें दूसरे उछाल में चित आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है जब

पहले उछाल में पहले ही चित आ चुका है, अर्थात, पहले उछाल में चित आने की संभावना होगी:

\(P\left( {\frac{B}{A}} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)

P(A) = P(निष्पक्ष सिक्का चुना गया है) × P(चित प्राप्त करना) + P(दो-चित वाला सिक्का चुना गया है) × P(चित प्राप्त करना)
\( = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\)

\(P\left( A \right) = \frac{1}{2}\)

अब, दोनों टॉस में चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

\(P\left( {A \cap B} \right) = \mathop {\mathop {\underbrace {\begin{array}{*{20}{c}} {First\;toss}\\ {\left( {\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} \right)} \end{array}\;\;\begin{array}{*{20}{c}} {second\;toss}\\ {\left( {\frac{1}{2} \cdot 1} \right)} \end{array}}_{\begin{array}{*{20}{c}} {when\;first\;fair}\\ {coin\;is\;tossed} \end{array}}\;\;}\limits_{} }\limits_\; + \underbrace {\begin{array}{*{20}{c}} {First\;toss}\\ {\left( {\frac{1}{3} \cdot 1} \right)} \end{array}\;\;\begin{array}{*{20}{c}} {second\;toss}\\ {\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \right)} \end{array}}_{\begin{array}{*{20}{c}} {When\;first\;double}\\ {headed\;coin\;is\;tossed} \end{array}}\)

\(P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{12}} = \frac{1}{6}\)

\(P\left( {\frac{B}{A}} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)

\(P\left( {\frac{B}{A}} \right) = \frac{{\frac{1}{6}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}\)