Summation of Combination Terms MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Summation of Combination Terms - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r, जहाँ ${}^n{\text{C}}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

गणना:

हमारे पास है,  26C4 + 31C4 + 30C4 + 29C4 + 28C4 + 27C4 + 26C5 

= 31C4 + 30C4 + 29C4 + 28C4 + 27C4 + (26C5 + 26C4)

= 31C4 + 30C4 + 29C4 + 28C4 + (27C4 + 27C5)

= 31C4 + 30C4 + 29C4 + (28C4 + 28C₅)

= 31C4 + 30C4 + (29C4 + ²⁹C₅)

= 31C4 + (30C4 + ³⁰C₅)

= 31C4 + ³¹C₅

= ³²C₅

∴ 26C4 + 31C4 + 30C4 + 29C4 + 28C4 + 27C4 + 26C5 का मान 32C5 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।  

अवधारणा : 

${}^n{C}_r+{}^n{C}_{r+1}={}^{n+1}{C}_{r+1}$

गणना:

दिया गया है: 34C5 + ${\displaystyle \sum _{r=0}^4{}^{(38-r)}{C}_4}$  

⇒ 34C5 + 34C4  +  35C4 + 36C4 + 37C4 + 38C4 

⇒ (34C4 + 34C5) +  35C4 + 36C4 + 37C4 + 38C4 

⇒   35C5 + 35C4 + 36C4 + 37C4 + 38C4 

⇒   (35C5 + 35C4) + 36C4 + 37C4 + 38C4 

⇒   36C5 + 36C4 + 37C4 + 38C4 

⇒   37C5 + 37C4 + 38C4 

⇒   38C5 + 38C4 

⇒   39C5 

∴ सही उत्तर विकल्प (5) है।

प्रयुक्त सूत्र:

(1 + x)n = C0 + C1.x + C2.x2 + .........................+ Cr.xr + .......+ Cn.xn

गणना:

हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हैं

माना, (x + 1)⁶ = x⁶ + ⁶C₁.x⁵.1 +  6C_2..x⁴.1² +  6C3.x³.1³ +  6C₄.x².1⁴ + 6C₅.x.1⁵ + 6C₆.x^0.1⁶ 

इसी प्रकार, (x - 1)6 = x6 - 6C1.x5.1 +  6C2..x4.12 -  6C3.x3.13 +  6C4.x2.14  - 6C5.x.15 + 6C6.x0.16 

अब,  (x + 1)⁶ + (x - 1)⁶ = 2 [ x⁶ + 15.x⁴ + 15.x² + 1]

x = √2 रखने पर

⇒ (√2 + 1)6 + (√2 - 1)6 

⇒ 2 × [(√2)6 + 15.(√2)4 + 15.(√2)2 + 1]

⇒ 2 × (2³ + 15 × 2² + 15 × 2 + 1)

⇒ 2 × (8 + 60 + 30 +1)

⇒ 2 × 99 = 198

∴ सही उत्तर 198 है। 

अवधारणा:

• ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r, जहाँ ${}^n{\text{C}}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

गणना:

हमारे पास है,  26C4 + 31C4 + 30C4 + 29C4 + 28C4 + 27C4 + 26C5 

= 31C4 + 30C4 + 29C4 + 28C4 + 27C4 + (26C5 + 26C4)

= 31C4 + 30C4 + 29C4 + 28C4 + (27C4 + 27C5)

= 31C4 + 30C4 + 29C4 + (28C4 + 28C₅)

= 31C4 + 30C4 + (29C4 + ²⁹C₅)

= 31C4 + (30C4 + ³⁰C₅)

= 31C4 + ³¹C₅

= ³²C₅

∴ 26C4 + 31C4 + 30C4 + 29C4 + 28C4 + 27C4 + 26C5 का मान 32C5 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।  

संकल्पना:

द्विपद प्रसार: द्विपद (a + b) को निम्न रूप में घात n (n गैर-ऋणात्मक) तक प्रसारित किया जा सकता है:

(a + b)n = $\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})a^{n-r}{b}^r$

जहाँ $T_{r+1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})a^{n-r}{b}^r$, (r + 1)^वाँ पद दर्शाता है।

हल:

(x + a)ⁿ = ⁿC₀​xⁿ + ⁿC₁​xⁿ⁻¹a + ⁿC₂​xⁿ⁻²a² + ... + ⁿC_n​aⁿ

और (x - a)n = nC0​xn - nC1​xn−1a + nC2​xn−2a2 + ... + nCn​an(-1)n

∴ (x + a)ⁿ + (x - a)ⁿ = 2[ nC0​xn +  nC2​xn−2a2 + nCn​an ]

⇒ P = $\frac{(x+a{)}^n+(x-a{)}^n}{2}$

∴ (x + a)n - (x - a)n = 2[ nC1​xn−1a + nC2​xn−3a³ +... ]

⇒ Q = $\frac{(x+a{)}^n-(x-a{)}^n}{2}$

∴ P + Q = (x + a)ⁿ, और P - Q = (x - a)ⁿ 

∴ (x + a)2n + (x − a)2n

= (P + Q)² + (P - Q)²

= P² + 2PQ + Q² + P2 - 2PQ + Q2

= 2(P2 + Q2)

धारणा:

• ⁿC_n = 1
• ⁿC₁ = n

गणना:

हमें $\sum _{\mathrm{r}=0}^1{}^{\mathrm{n}+\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ का मूल्य खोजना होगा

$\Rightarrow \sum _{\mathrm{r}=0}^1{}^{\mathrm{n}+\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$

⇒ n+0Cn + n+1Cn

⇒ nCn + n+1Cn 

⇒ 1 + (n + 1)

⇒ (n + 2)

∴ $\sum _{\mathrm{r}=0}^1{}^{\mathrm{n}+\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ का मान n + 2C1 है

अवधारणा:

(1 + x)ⁿ = C₀ + x. C₁ + x². C₂ + ...... + xⁿC_n

गणना​:

माना S = C1 + C2 + C3 + _ _ _ _ _ + Cn

⇒ S = ⁿC1 + ⁿC2 + ⁿC3 + _ _ _ _ _ + ⁿCn

⇒ S = 1 + nC1 + nC2 + nC3 + _ _ _ _ _ + nCn - 1

⇒ S = ⁿC₀ + nC1 + nC2 + nC3 + _ _ _ _ _ + nCn - 1          ----(1)

जैसा कि हम जानते हैं, (1 + x)n = C0 + x. C1 + x2. C2 + ...... + x nC_n

x = 1 रखने पर, हम प्राप्त करते है

⇒ (1 + x)n =  nC0 + nC1 + nC2 + nC3 + .... + nC_n = 2ⁿ      -----(2)

समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

S = nC0 + nC1 + nC2 + nC3 + _ _ _ _ _ + nCn - 1

∴  C1 + C2 + C3 + _ _ _ _ _ + Cn का मान 2ⁿ - 1 है

अवधारणा:

(1 + x)ⁿ  = ⁿΣ_r-0 nC_r . x^r = [C₀ + C₁ x + C₂ x² + … C_n x_n]

${\mathrm{n}}_{{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}-\mathrm{r}}}={\mathrm{n}}_{{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}}$

गणना​:

$\begin{array}{rl}& (1+\mathrm{x}{)}^9={}^9{\mathrm{C}}_0+{}^9{\mathrm{C}}_1\mathrm{x}+{}^9{\mathrm{C}}_2{\mathrm{x}}^2+\dots .{.}^9{\mathrm{C}}_9{\mathrm{x}}^9\\ & \text{ Substituting }\mathrm{x}=1,\text{ we get }\\ & 2^9={}^9{\mathrm{C}}_0+{}^9{\mathrm{C}}_1+{}^9{\mathrm{C}}_2+\dots {.}^9{\mathrm{C}}_9----(1)\end{array}$

जैसा कि हम जानते हैं, ⁿC_r = ⁿC_n-r

तो, ${}^9{\mathrm{C}}_0+{}^9{\mathrm{C}}_1++{}^9{\mathrm{C}}_2+{}^9{\mathrm{C}}_3{+}^9{\mathrm{C}}_4={}^9{\mathrm{C}}_9+{}^9{\mathrm{C}}_8+{}^9{\mathrm{C}}_7+{}^9{\mathrm{C}}_6+{}^9{\mathrm{C}}_5$     ----(2)

अब, (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

$2^9=2[{}^9{\mathrm{C}}_9+{}^9{\mathrm{C}}_8+{}^9{\mathrm{C}}_7+9{\mathrm{C}}_6+{}^9{\mathrm{C}}_5]$

⇒ $[{}^9{\mathrm{C}}_9+{}^9{\mathrm{C}}_8+{}^9{\mathrm{C}}_7+9{\mathrm{C}}_6+{}^9{\mathrm{C}}_5]=2^8$

⇒ 256

अत: विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

• ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r, जहाँ ${}^n{\text{C}}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

गणना:

हमारे पास है,  26C4 + 31C4 + 30C4 + 29C4 + 28C4 + 27C4 + 26C5 

= 31C4 + 30C4 + 29C4 + 28C4 + 27C4 + (26C5 + 26C4)

= 31C4 + 30C4 + 29C4 + 28C4 + (27C4 + 27C5)

= 31C4 + 30C4 + 29C4 + (28C4 + 28C₅)

= 31C4 + 30C4 + (29C4 + ²⁹C₅)

= 31C4 + (30C4 + ³⁰C₅)

= 31C4 + ³¹C₅

= ³²C₅

∴ 26C4 + 31C4 + 30C4 + 29C4 + 28C4 + 27C4 + 26C5 का मान 32C5 है।

सही उत्तर विकल्प 3 है।  

संकल्पना:

द्विपद प्रसरण:

$(a+b{)}^n=\sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{l}n\\ r\end{array}\right)a^{(r)}{b}^{(n-r)}$

गणना:

$\sum _{r=0}^{n}C\left(n,r\right)=\left(\begin{array}{l}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n\\ 2\end{array}\right)+\cdots +\left(\begin{array}{l}n\\ n\end{array}\right)$

$$\begin{gathered} (1+x{)}^n=\left(\begin{array}{l}n\\ 0\end{array}\right)(1{)}^0(x{)}^n+\left(\begin{array}{l}n\\ 1\end{array}\right)(1{)}^0(x)\cdots \\ \text{If we put }x=1,\text{ we get} \\ (2{)}^n=\left(\begin{array}{l}n\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n\\ 2\end{array}\right)+\cdots +\left(\begin{array}{l}n\\ n\end{array}\right) \end{gathered}$$

∴$\sum _{r=0}^{n}C\left(n,r\right)=2^n$

अतः विकल्प (4) सही है।    

संकल्पना:

• ⁿC_r + ⁿC_r+1 = ⁿ⁺¹C_r+1

गणना:

हमें ⁴⁷C₄ + ⁵¹C₃ + $\sum _{\mathrm{j}=2}^5$ ^52-jC₃ का मान ज्ञात करना है। 

⁴⁷C₄ + ⁵¹C₃ + $\sum _{\mathrm{j}=2}^5$ ^52-jC₃

= ⁴⁷C₄ + ⁵¹C₃ + ⁵⁰C₃ + ⁴⁹C₃ + ⁴⁸C₃ + ⁴⁷C₃

= (⁴⁷C₃ + ⁴⁷C₄) + ⁵¹C₃ + ⁵⁰C₃ + ⁴⁹C₃ + ⁴⁸C₃

= (⁴⁸C₃ + ⁴⁸C₄) + ⁵¹C₃ + ⁵⁰C₃ + ⁴⁹C₃

= (⁴⁹C₃ + ⁴⁹C₄) + ⁵¹C₃ + ⁵⁰C₃

= (⁵⁰C₃ + ⁵⁰C₄) + ⁵¹C₃

= ⁵¹C₃ + ⁵¹C₄

= ⁵²C₄

संकल्पना:

• C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + C(n, 3) ………….. C(n, n) = 2ⁿ
• C(n, 0) = C(n, n) = 1
• C(n, r) = ${}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{r}!\left(\mathrm{n}-\mathrm{r}\right)!}$

गणना:

दिया गया है कि,

⇒C(7, 0) + C(7, 1) + C(7, 1) + C(7, 2) + C(7, 2) … + C(7, 6) + C(7, 7)

⇒ C(7, 0) + 2.[ C(7, 1) + C(7, 2) + … + C(7, 6)] + C(7, 7)

C(7, 0),C(7, 7) को जोड़ने और घटाने पर इसलिए,

⇒C(7, 0) + 2.[ C(7, 1) + C(7, 2) + … + C(7, 6)] + C(7, 0) + C(7, 7) + C(7, 0) + C(7, 7) - C(7, 0) - C(7, 7)

⇒ 2[ C(7, 0) + C(7, 1) + C(7, 2) + … + C(7, 6) + C(7, 7)] – C(7,0) – C(7, 7)

⇒2[2⁷] - C(7,0) – C(7, 7)     ...[∵ C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + C(n, 3) ………….. C(n, n) = 2ⁿ]

⇒2 × 128 – 1 – 1

संकल्पना:

द्विपद प्रसार: द्विपद (a + b) को निम्न रूप में घात n (n गैर-ऋणात्मक) तक प्रसारित किया जा सकता है:

(a + b)n = $\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})a^{n-r}{b}^r$

जहाँ $T_{r+1}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})a^{n-r}{b}^r$, (r + 1)^वाँ पद दर्शाता है।

हल:

(x + a)ⁿ = ⁿC₀​xⁿ + ⁿC₁​xⁿ⁻¹a + ⁿC₂​xⁿ⁻²a² + ... + ⁿC_n​aⁿ

और (x - a)n = nC0​xn - nC1​xn−1a + nC2​xn−2a2 + ... + nCn​an(-1)n

∴ (x + a)ⁿ + (x - a)ⁿ = 2[ nC0​xn +  nC2​xn−2a2 + nCn​an ]

⇒ P = $\frac{(x+a{)}^n+(x-a{)}^n}{2}$

∴ (x + a)n - (x - a)n = 2[ nC1​xn−1a + nC2​xn−3a³ +... ]

⇒ Q = $\frac{(x+a{)}^n-(x-a{)}^n}{2}$

∴ P + Q = (x + a)ⁿ, और P - Q = (x - a)ⁿ 

∴ (x + a)2n + (x − a)2n

= (P + Q)² + (P - Q)²

= P² + 2PQ + Q² + P2 - 2PQ + Q2

= 2(P2 + Q2)

धारणा:

• ⁿC_n = 1
• ⁿC₁ = n

गणना:

हमें $\sum _{\mathrm{r}=0}^1{}^{\mathrm{n}+\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ का मूल्य खोजना होगा

$\Rightarrow \sum _{\mathrm{r}=0}^1{}^{\mathrm{n}+\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$

⇒ n+0Cn + n+1Cn

⇒ nCn + n+1Cn 

⇒ 1 + (n + 1)

⇒ (n + 2)

∴ $\sum _{\mathrm{r}=0}^1{}^{\mathrm{n}+\mathrm{r}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ का मान n + 2C1 है

अवधारणा:

(1 + x)ⁿ = C₀ + x. C₁ + x². C₂ + ...... + xⁿC_n

गणना​:

माना S = C1 + C2 + C3 + _ _ _ _ _ + Cn

⇒ S = ⁿC1 + ⁿC2 + ⁿC3 + _ _ _ _ _ + ⁿCn

⇒ S = 1 + nC1 + nC2 + nC3 + _ _ _ _ _ + nCn - 1

⇒ S = ⁿC₀ + nC1 + nC2 + nC3 + _ _ _ _ _ + nCn - 1          ----(1)

जैसा कि हम जानते हैं, (1 + x)n = C0 + x. C1 + x2. C2 + ...... + x nC_n

x = 1 रखने पर, हम प्राप्त करते है

⇒ (1 + x)n =  nC0 + nC1 + nC2 + nC3 + .... + nC_n = 2ⁿ      -----(2)

समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

S = nC0 + nC1 + nC2 + nC3 + _ _ _ _ _ + nCn - 1

∴  C1 + C2 + C3 + _ _ _ _ _ + Cn का मान 2ⁿ - 1 है