Special Terms of Binomial Expansion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Terms of Binomial Expansion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

द्विपद गुणांकों का योग और महत्तम द्विपद गुणांक:

• \( (x + y)^n \) के प्रसार में द्विपद गुणांकों का योग x = 1 और y = 1 प्रतिस्थापित करके परिकलित किया जाता है। परिणाम \(2^n\) है।
• महत्तम द्विपद गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम गुणांकों \(C(n, r)\) का विश्लेषण करते हैं जहाँ r प्रसार में पद सूचकांक है। महत्तम गुणांक मध्य पद (पदों) के पास होता है।
• मुख्य सूत्र:
  • द्विपद गुणांकों का योग: \( \text{Sum} = 2^n \)
  • द्विपद गुणांक: \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)
  • महत्तम द्विपद गुणांक: सम n के लिए, यह r = n/2 पर होता है। विषम n के लिए, यह r = (n-1)/2 और r = (n+1)/2 पर होता है।

गणना:

दिया गया है,

द्विपद गुणांकों का योग = \(2^n = 256\)

हम n की गणना करते हैं:

\( 2^n = 256 \)

⇒ \(2^8 = 256\)

महत्तम द्विपद गुणांक:

\( n = 8 \) (सम) के लिए, सबसे बड़ा द्विपद गुणांक \( r = n/2 = 8/2 = 4 \) पर होता है।

⇒ पद सूचकांक r = 4 है, जो 5वें पद (चूँकि अनुक्रमण 0 से शुरू होता है) से मेल खाता है।

∴ सबसे बड़ा द्विपद गुणांक 5वें पद में होता है।

संप्रत्यय:

• द्विपद गुणांक: \((1+x)^{10}\) के प्रसार में, \(x^{10-r}\) का गुणांक \(a_r = \binom{10}{r}\) द्वारा दिया गया है।
• हमें व्यंजक का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है: \(\sum_{r=1}^{10} r^3 \left( \frac{a_r}{a_{r-1}} \right)^2\)
• द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करते हुए: \(\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{\binom{10}{r}}{\binom{10}{r-1}} = \frac{10 - r + 1}{r} = \frac{11 - r}{r}\)
• इसलिए, \(\left( \frac{a_r}{a_{r-1}} \right)^2 = \left( \frac{11 - r}{r} \right)^2\)
• अंतिम व्यंजक बन जाता है: \(\sum_{r=1}^{10} r^3 \cdot \left( \frac{11 - r}{r} \right)^2 = \sum_{r=1}^{10} (11 - r)^2\cdot r\)

गणना:

हम सरलीकृत करते हैं:

\(\sum_{r=1}^{10} r \cdot (11 - r)^2\)

⇒ r=1 के लिए: \(1 \cdot 10^2 = 100 \)

⇒ r=2 के लिए: \(2 \cdot 9^2 = 162 \)

⇒ r=3 के लिए: \(3 \cdot 8^2 = 192 \)

⇒ r=4 के लिए: \( 4 \cdot 7^2 = 196 \)

⇒ r=5 के लिए: \(5 \cdot 6^2 = 180 \)

⇒ r=6 के लिए: \(6 \cdot 5^2 = 150 \)

⇒ r=7 के लिए: \(7 \cdot 4^2 = 112 \)

⇒ r=8 के लिए: \(8 \cdot 3^2 = 72 \)

⇒ r=9 के लिए: \(9 \cdot 2^2 = 36 \)

⇒ r=10 के लिए: \(10 \cdot 1^2 = 10 \)

⇒ योग = 100 + 162 + 192 + 196 + 180 + 150 + 112 + 72 + 36 + 10 = 1210

∴ दिए गए योग का मान 1210 है।

गणना:

दिया गया है,

हमें समीकरण दिया गया है:

\( \left( \frac{x+1}{x^{2/3} + 1 - x^{1/3}} - \frac{x+1}{x - x^{1/2}} \right)^{10}, x > 1 \)

कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल कीजिए:

\( = \left( \frac{x+1}{(x^{1/3})^2 - x^{1/3} + 1} - \frac{x+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \right)^{10} \)

\( = \left( (x^{1/3} + 1) - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \right)^{10} \)

\( = \left( x^{1/3} + 1 - 1 - x^{-1/2} \right)^{10} = \left( x^{1/3} - x^{-1/2} \right)^{10} \)

सामान्य पद T{r+1}\) निम्न द्वारा दिया गया है:

\( T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}} \)

x से स्वतंत्र पद के लिए, x का घातांक शून्य होना चाहिए:

\( \frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow 2(10-r) - 3r = 0 \Rightarrow 20 - 5r = 0 \Rightarrow r = 4 \)

अभीष्ट पद T₅ है:

\( T_5 = {}^{10}C_4 (-1)^4 x^0 = {}^{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = 210 \)

∴ x से स्वतंत्र पद 210 है।

अवधारणा:

द्विपद प्रसार:

• द्विपद प्रमेय का उपयोग \((1 + x)^n\) के रूप के व्यंजकों के प्रसार के लिए किया जाता है।
• \((1 + x)^n\) के प्रसार में सामान्य पद \(T_k = C(n, k) \cdot x^k\) द्वारा दिया जाता है, जहाँ ⁿC_k द्विपद गुणांक है।
• \(x^ 3\) का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम प्रसार से संबंधित पदों की पहचान करते हैं और गुणांक को 35 के बराबर सेट करते हैं।

गणना:

\((1 + x)^p \cdot (1 + x)^q\) के प्रसार को दिया गया है, हमारे पास है:

प्रसार में x³ का गुणांक 35 है।

हम x³ पद के लिए द्विपद प्रसार सूत्र का उपयोग करते हैं

⇒ (p+ q)_c3 = 35 = ⁷C₃

⇒ p+q =7

∴ सही उत्तर विकल्प C है। 

अवधारणा:

• (a + b)n के द्विपद प्रसार में सामान्य पद दिया गया है: \(T_{r+1}={}^nC_ra^{n-r}b^r\)
• यदि sin θ = sin α ⇒ θ = \(\rm n\pi +(-1)^n \alpha\)

गणना:

दिया गया है, \(\left(\frac{1}{x}+x \sin x\right)^{10}\) के मध्य पद का मान \(7\frac{7}{8}\)है।

चूँकि, n = 10

⇒ मध्य पद = \(\left(\frac{n}{2}+1\right)^{th}\) पद = 6^वाँ पद

∴ T₆ = T₅₊₁

= \({}^{10}C_5\left(\frac{1}{x} \right )^{10-5}(x\sin x)^5\)

⇒ \(\frac{63}{8}\) = \({}^{10}C_5(\sin x)^5\)

⇒ \(\frac{63}{8}\) = \(\frac{10!}{5!5!}\) sin⁵x

⇒ \(\frac{63}{8}\) = 252 sin5x

⇒ sin5x = \(\frac{1}{32}\)

⇒ sin x = \(\frac{1}{2}\) = sin\(\frac{π}{6}\)

∴ x = \(\rm nπ +(-1)^n \frac{π}{6}\)

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें \(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{8}\) के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 8 (n सम संख्या है।)

∴ मध्य पद = \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{8}{2} + 1} \right) =5th\;term\)

T5 = T (4 + 1) = 8C4 × (2x) (8 - 4) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^4\)

T5 =  8C4 × 24

अवधारणा:

(a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है: Tr + 1 = nCr ⋅ an – r ⋅ br

नोट: (a + b)n के विस्तार में अंत से rवां पद प्रारंभ से [(n + 1) – r + 1] = (n – r + 2)वां पद है।

(a + b)n के विस्तार में मध्य पद \(\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)th\) पद है यदि n सम है।

(a + b)n के विस्तार में यदि n विषम है तो दो मध्य पद हैं जो निम्नलिखित हैं:\(\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)th\;and\;\left( {\frac{{n + 1}}{2} + 1} \right)th\;term\)

गणना:

दिया हुआ: (x + 3)6 

यहाँ, n = 6

∵ n = 6 और यह सम संख्या है।

जैसा कि हम जानते हैं कि (a + b)n के विस्तार में मध्य पद \(\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)th\) पद है यदि n सम है।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें \(\rm \left(2x + \frac 1 x \right)^{5}\) के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 5 (n विषम संख्या है।)

∴ मध्य पद =  \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)and \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) = तीसरा और चौथा

T3 = T (2 + 1) = 5C2 × (2x) (5 - 2) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^2\)  और T4 = T (3 + 1) = 5C3 × (2x) (5 - 3) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^3\) 

T3 =  5C2 × (2³x) और T4 = 5C3 × 2² × \(\rm \frac 1 x\)

T3 = 80x और  T4 = \(\rm \frac {40}{x}\)

अतः विस्तार का मध्य पद 80x और \(\rm \frac {40}{x}\) है। 

धारणा:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

• \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)

गणना:

दिया गया विस्तार \({\left( {\sqrt {\rm{x}} + \frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{10}}\) है

सामान्य पद = \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{\frac{{10{\rm{\;}} - {\rm{\;r}}}}{2}}} \times {\left( {\frac{1}{{3{{\rm{x}}^2}}}} \right)^{\rm{r}}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {3^{ - {\rm{r}}}} \times {{\rm{x}}^{\frac{{10{\rm{\;}} - 5{\rm{\;r}}}}{2}}}\) 

x से स्वतंत्र पद के लिए x की घात शून्य होनी चाहिए

यानी \(\frac{{10{\rm{\;}} - 5{\rm{\;r}}}}{2} = 0\)

⇒ r = 2

अवधारणा:

सामान्य पद: (a + b) n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {a^{n - r}} × {b^r}\)

गणना:

हम जानते हैं कि Tr+1 = Cr an-r br।

दी गई द्विपद अभिव्यक्ति (3 + ax)9 में n = 9, a = 3 और b = ax।

∴ Tr+1 = 9Cr 39-r (ax)r = 9Cr 39 \(\rm\left(\frac{a}{3}\right)^r\) xr

x2 और x³ के गुणांकों के लिए हमारे पास क्रमशः r = 2 और 3 होना चाहिए।

⇒ 9C2 39 \(\rm\left(\frac{a}{3}\right)^2\) = 9C3 39 \(\rm\left(\frac{a}{3}\right)^3\)

⇒ a = \(\frac97\)

संकल्पना:

हमारे पास (x + y) ⁿ = ⁿC₀ xⁿ + ⁿC₁ x^n-1 . y + ⁿC₂ x^n-2. y² + …. + ⁿC_n yⁿ है। 

सामान्य पद: (x + y) ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)

गणना:

हमें \({\left( {{{\rm{x}}^2} - {\rm{\;}}\frac{1}{{{{\rm{x}}^3}}}} \right)^{10}}\) में x का स्वतंत्र पद ज्ञात करना है। 

हम जानते हैं कि,

\({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)

\( \Rightarrow {{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {\left( {{{\rm{x}}^2}} \right)^{10 - {\rm{r}}}} \times {\left( {\frac{{ - 1}}{{{{\rm{x}}^3}}}} \right)^{\rm{r}}}\)

\( = {\rm{\;}}{\left( { - 1} \right)^{\rm{r}}} \times {{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {\left( {\rm{x}} \right)^{20 - 2{\rm{r}}}} \times {\left( {{{\rm{x}}^3}} \right)^{ - {\rm{r}}}}\)

\( = {\rm{\;}}{\left( { - 1} \right)^{\rm{r}}} \times {{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {\left( {\rm{x}} \right)^{20 - 2{\rm{r}}}} \times {\left( {\rm{x}} \right)^{ - 3{\rm{r}}}}\)

\( = {\rm{\;}}{\left( { - 1} \right)^{\rm{r}}} \times {{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {\left( {\rm{x}} \right)^{20 - 5{\rm{r}}}}\)

x के स्वतंत्र पद के लिए, x का घांत शून्य होना चाहिए। 

इसलिए,  20 – 5r = 0

⇒ r = 4

\({{\rm{T}}_{\left( {4{\rm{\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;\;}}{\left( { - 1} \right)^4} \times {{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_4} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{10}}{{\rm{C}}_4}{\rm{\;}}\)

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के द्विपद विस्तार में सामान्य पद इसके द्वारा दिया जाता है

\({T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

मध्य पद: (x + y)n के विस्तार में मध्य पद n के मान पर निर्भर करता है।

• यदि n सम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए केवल एक मध्य पद है यानी \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है।

\({T_{\left( {\frac{n}{2}\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_{\frac{n}{2}}} \times {x^{\frac{n}{2}}} \times {y^{\frac{n}{2}}}\)

• यदि n विषम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं यानी \({\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\)और \({\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\) दो मध्य पद हैं।

(1−x)n=∑k=0n(nk)1n−k(−x)k(1−x)n=∑k=0n(nk)1n−k(−x)k(1−x)n=∑k=0n(nk)1n−k(−x)

गणना:

दिया गया है:

(1 + 4x + 4x2)5

⇒ [(1 + 2x)2]5

⇒ (1+ 2x)10

यहाँ n = 10 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद = \(\left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{10}{2} + 1} \right) \)=  6th पद 

मध्य पद, T6 =  T5 + 1 =  ¹⁰C₅ (1)⁵ (2x)⁵

⇒ \(\frac {10!}{5!5!}\)×  32x5

⇒ 8064 x5

∴ (1 + 4x + 4x2)5  के विस्तार में मध्य पद का गुणांक 8064 है। 

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} × {x^{n - r}} × {y^r}\)

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर निर्भर (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो यहाँ केवल एक मध्य पद है अर्थात् \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right){{\rm{\;}}^{th}}\) पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो यहाँ दो मध्य पद हैं अर्थात्\(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;1}}{2}} \right)^{th}}\;\)और \(\rm {\left( {\frac{{n\; + \;3}}{2}} \right)^{th}}\)  दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें \(\rm \left(x + \frac 1 x \right)^{10}\) के विस्तार में मध्य पद को ज्ञात करना हैं। 

यहाँ n = 10 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद = \(\rm \left( {\frac{n}{2} + 1} \right) = \left( {\frac{10}{2} + 1} \right) =6th\;term\)

T₆ = T (5 + 1) = ¹⁰C₅ × (x) (10 - 5) × \(\rm \left(\frac {1}{x}\right)^5\)

T₆ =  ¹⁰C5

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न दिया गया है 

 \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} × {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} × {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)

गणना:

हमें \(\rm \left( x^2 - \frac 1 x \right)^9\) के विस्तार में x का स्वतंत्र पद ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं,\({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} × {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} × {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)

⇒  \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{9}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} × ({{\rm{x^2}})^{{\rm{9}} - {\rm{r}}}} \rm × ({{\rm\frac{-1}{x}})^{\rm{r}}}\)

= ⁹C_r x^{18 - 2r} (-1)^r x^-r

= (-1)^r 9C_r x^{18 - 3r}

x के स्वतंत्र पद के लिए, x का घांत शून्य होना चाहिए।  

इसलिए, 18 - 3r = 0

∴ r = 6

अतः मान (-1)^6 9C₆ = 84 है। 

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = {\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

(x + y)n के विस्तार में पदों की संख्या (n + 1) है। 

अंत से (n + 1)वां पद पहला पद है और nवां पद दूसरा पद है। 

गणना:

 \(\rm (2x - \frac {x} {2})^n\) के विस्तार में एक विस्तार के अंत से nवां पद दूसरा पद है। 

T_r+1 = ⁿC_r (2x)^{(n - r)} \(\rm (\frac {-x} {2})^r\)

T₂ =  ⁿC₁.(2x)^{(n - 1)} \(\rm (\frac {-x} {2})\)

= \(\rm - n \times 2^{(n - 1 - 1)} \times x^{(n - 1 +1)}\)

= \(\rm - n \times 2^{(n - 2)} \times x^{n}\)

= \(\rm - nx^n​​​. 2^{(n - 2)}\)