Binomial Expansion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Expansion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

(a + b)ⁿ के द्विपद प्रसार में एक पद T_k+1 = C(n, k) × a^n-k × b^k द्वारा दिया जाता है।

किसी पद के परिमेय होने के लिए, √3 और 5^1/4 दोनों के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।

प्रयुक्त सूत्र:

(√3)^n-k में, इसके परिमेय होने के लिए n-k सम होना चाहिए।

(5^1/4)^k में, इसके परिमेय होने के लिए k, 4 का गुणज होना चाहिए।

गणना:

माना n = 12:

⇒ (√3)^n-k के परिमेय होने के लिए, n-k सम होना चाहिए।

⇒ चूँकि n = 12 है, इसलिए k भी सम होना चाहिए।

⇒ (5^1/4)^k के परिमेय होने के लिए, k, 4 का गुणज होना चाहिए।

⇒ k के मान जो दोनों शर्तों (k सम है और 4 का गुणज है) को संतुष्ट करते हैं:

⇒ k = 0, 4, 8, और 12

⇒ ये प्रसार में 4 परिमेय पदों के संगत हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

${\displaystyle \sum _{\mathrm{k}=0}^6{}^{51-\mathrm{k}}{\mathrm{C}}_3}$

= ⁵¹C₃ + ⁵⁰C₃ + ⁴⁹C₃ +.....+ ⁴⁵C₃

= ⁴⁵C₃ + ⁴⁶C₃ +.....+ ⁵¹C₃

= ⁴⁵C₄ + ⁴⁵C₃ + ⁴⁶C₃ +.....+ ⁵¹C₃ - ⁴⁵C₄

= (ⁿC_r + ⁿC_r-1 = ⁿ⁺¹C_r)

= ⁵²C₄ - ⁴⁵C₄

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

द्विपद प्रसार और अधिकतम पद:

• द्विपद प्रसार में, सामान्य पद को के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
• जहाँ द्विपद गुणांक है, जो अवयवों में से अवयवों को चुनने के तरीकों की संख्या को दर्शाता है।
• द्विपद प्रसार में सबसे बड़ा पद तब होता है जब (लगभग), और हम के इस मान के संगत पद को ज्ञात करते हैं।
• किसी भी वास्तविक संख्या के लिए, सबसे बड़ा पद एक विशिष्ट मान पर होता है जो द्विपद गुणांक को अधिकतम करता है।

गणना:

हमें निम्नलिखित समीकरण दिया गया है:

• हमें का मान ज्ञात करना है जहाँ सबसे बड़ा पद है।

के द्विपद प्रसार की तुलना करके, हम के मान का निर्धारण कर सकते हैं जहाँ गुणांक अधिकतम होता है।

सबसे पहले, द्विपद प्रसार का सामान्य पद ज्ञात कीजिए:

क्रमागत पदों का अनुपात अधिकतम पद को निर्धारित करने में मदद करता है:

अनुपात को सरल करने पर मिलता है:

का मान ज्ञात करने के लिए रखें:

के लिए हल करें:

निष्कर्ष:

इसलिए, पद को अधिकतम करने वाला r का मान है।

संप्रत्यय:

• बहुपद प्रसार: (a + b + c)ⁿ के रूप के व्यंजक के लिए, प्रसार में प्रत्येक पद इस रूप का होता है:  (n! / (r₁! r₂! r₃!)) × a^r₁ × b^r₂ × c^r₃ जहाँ r₁ + r₂ + r₃ = n
• अचर पद: x⁰ (अर्थात कोई x नहीं) वाला पद अचर पद कहलाता है।
• हम x के कुल घातांक को शून्य बनाने वाले घातों के संयोजन को ज्ञात करने के लिए बहुपद प्रमेय लागू करते हैं।

गणना:

हमें दिया गया है:  

माना उभयनिष्ठ पद है: (5! / (r₁! r₂! r₃!)) × (2x)^r₁ × (1/x⁷)^r₂ × (3x²)^r₃

जहाँ, r₁ + r₂ + r₃ = 5

x की कुल घात = r₁ × 1 − 7r₂ + 2r₃

हम अचर पद चाहते हैं

⇒ x की कुल घात = 0

इसलिए, r₁ − 7r₂ + 2r₃ = 0 ...(i)

और r₁ + r₂ + r₃ = 5 ...(ii)

दोनों समीकरणों को हल करते हैं:

(ii) से: r₃ = 5 − r₁ − r₂

(i) में प्रतिस्थापित करते हैं:

r₁ − 7r₂ + 2(5 − r₁ − r₂) = 0

⇒ r₁ − 7r₂ + 10 − 2r₁ − 2r₂ = 0

⇒ −r₁ − 9r₂ + 10 = 0

⇒ r₁ = 10 − 9r₂

r₂ के पूर्णांक मानों का प्रयास करते हैं, ताकि r₁ और r₃ भी पूर्णांक ≥ 0 हों

यदि r₂ = 1 ⇒ r₁ = 1, r₃ = 5 − 1 − 1 = 3 

अब गुणांक की गणना करते हैं:

पद = 5! / (1! × 1! × 3!) × (2x)¹ × (1/x⁷)¹ × (3x²)³

= 120 / (1 × 1 × 6) × 2x × 1/x⁷ × 27x⁶

= 20 × 2 × 27 = 1080

∴ प्रसार में अचर पद 1080 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

⇒ माध्य x = np = 6....(i)

⇒ मानक विचलन = $\sqrt{npq}=\sqrt{2}$...(ii)

(ii) को (i) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ $\frac{npq}{np}=\frac{2}{6}$

⇒ q= 1/3

अब

⇒ p = 1 - q = 1- 1/3 = 2/3

(i) से

⇒$n\times \frac{2}{3}=6$

⇒n =9

∴ विकल्प (d) सही है।

अवधारणा:

(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2  × 1(n-2) × x2 + …. + nCn  × 1(n-n) × xn

G.P. का n^वां पद an = arⁿ⁻¹ है

n पदों का योग = s = $\frac{a(r^n-1)}{(r-1)}$; जहाँ r >1

n पदों का योग = s = $\frac{a(1-r^n)}{(1-r)}$; जहाँ r <1

गणना:

C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _  _ + C(n, n) 

⇒ nC1 + nC2 + ... + nCn 

⇒ nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn - nC0

⇒ (1 + 1)n - nCo 

⇒ 2n - 1 = $\frac{2^{\mathrm{n}}-1}{2-1}$ = 1 × $\frac{2^{\mathrm{n}}-1}{2-1}$

G.P योग = a × $\frac{{\mathrm{r}}^{\mathrm{n}}-1}{\mathrm{r}-1}$, के साथ इसकी तुलना करना हमें a = 1 और r = 2 मिलता है

∴ 2n - 1 = 1 + 2 + 2² + ... +2^n-1 जो हमें कुल में n पद देगा।

अवधारणा:

${}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{n}!}{(\mathrm{r}!(\mathrm{n}-\mathrm{r})!)}$

(1 + x)ⁿ = ⁿC₀ × 1^(n-0) × x ⁰+ ⁿC₁ × 1^(n-1) × x ¹ + ⁿC₂  × 1(n-2) × x² + …. + ⁿC_n  × 1(n-n) × xⁿ

गणना:

दिया गया विस्तार (1 + x)²ⁿ है

= ²ⁿC₀ ×1^(2n-0) × x⁰ +  2nC₁ ×1(2n-1) × x¹ + ... +  2nC_2n ×1(2n-2n) × x²ⁿ

पहला पद = 2nC0 ×1 × 1 = 1

अंतिम पद =  2nC_2n ×1 × x²ⁿ = 1 × x²ⁿ = x²ⁿ

⇒ योग = 1 + x²ⁿ

1 का गुणांक = 1, x2n का गुणांक = 1

∴  तो, गुणांकों का योग = 1 + 1 = 2

संकल्पना:

(1 + x)n का प्रसरण:

$(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}=1+\mathrm{n}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2!}{\mathrm{x}}^2+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3!}{\mathrm{x}}^3+....$

गणना:

दिया गया है: (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है। 

$(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{m}}=1+\mathrm{m}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{m}(\mathrm{m}-1)}{2!}{\mathrm{x}}^2+\frac{\mathrm{m}(\mathrm{m}-1)(\mathrm{m}-2)}{3!}{\mathrm{x}}^3+....$

इसलिए, (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद$\frac{\mathrm{m}(\mathrm{m}-1)}{2!}{\mathrm{x}}^2$ है। 

$\frac{\mathrm{m}(\mathrm{m}-1)}{2!}{\mathrm{x}}^2$ = (-1/8)x²

⇒ $\frac{\mathrm{m}(\mathrm{m}-1)}{2}=\frac{-1}{8}$

⇒ 4m² - 4m + 1 = 0

⇒ (2m - 1)² = 0

⇒ 2m - 1 = 0

∴ m = $\frac{1}{2}$

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है

${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$

(1 + x)ⁿ का विस्तार:

$(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}=1+\mathrm{n}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2!}{\mathrm{x}}^2+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3!}{\mathrm{x}}^3+....$

गणना:

खोजने के लिए: $(4-5{\mathrm{x}}^2{)}^{-1/2}$ के विस्तार में x² का गुणांक $$\begin{gathered} (4-5{\mathrm{x}}^2{)}^{-1/2}=4^{-1/2}{(1-\frac{5}{4}{\mathrm{x}}^2)}^{-1/2} \\ \text{As we know}(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}=1+\mathrm{n}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2!}{\mathrm{x}}^2+\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2)}{3!}{\mathrm{x}}^3+.... \\ \therefore 4^{-1/2}{(1-\frac{5}{4}{\mathrm{x}}^2)}^{-1/2}=2^{-1}[1+(-\frac{5}{4}{\mathrm{x}}^2)\times (\frac{-1}{2})+...] \end{gathered}$$

अब, विस्तार में x² का गुणांक = $2^{-1}\times \frac{-5}{4}\times \frac{-1}{2}=\frac{5}{16}$

संकल्पना:

(x + y)ⁿ का द्विपद प्रसरण निम्न द्वारा दिया जाता है

(x + y)n = ⁿC₀xⁿ + nC1xn-1y + nC2xn-2y²+.....+ nCn-1xy^n-1 + nCnyn  

गणना:

दिया गया है,  ${\displaystyle \sum _{r=0}^n}$2r C(n, r)

व्यंजक​ का प्रसार करने पर,

⇒ nC020 + nC1 2¹ + nC222+.....+ nCn-12n-1 + nCn2n  

⇒ nC01n 20 + nC1 1n-1 2¹ + nC21n-2 22+.....+ nCn-1 2n-1 + nCn2n  

द्विपद प्रसरण की तुलना करने पर x = 1 और y = 2

⇒  ${\displaystyle \sum _{r=0}^n}$2r C(n, r) = (1 + 2)ⁿ

⇒  ${\displaystyle \sum _{r=0}^n}$2r C(n, r) = 3n

∴ सही विकल्प (2) है।

संकल्पना:

• (x₁ + x₂ + x₃ +......+ x_r)ⁿ  के विस्तार में पदों की संख्या =  ${}^{n+r-1}{C}_n$ है, जहाँ n = विस्तारित किए जाने वाले पद का घातांक, r = विस्तारित किए जाने वाले पदों की संख्या
• ​ ${}^n{C}_r=\frac{n!}{(n-r)!r!}$

व्याख्या:

(x + y + z)10 में पदों की संख्या= ${}^{10+3-1}{C}_{10}$ (चूंकि, n = 10 और r = 3)

⇒ ${}^{12}{C}_{10}$

अतः ${}^{12}{C}_{10}=\frac{12!}{(12-10)!10!}$

${\Rightarrow }^{12}{C}_{10}=66$

प्रयुक्त सूत्र:

${}^n{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

n! = n × (n - 1) × (n - 2).......3 × 2 × 1 

गणना:

दिया गया है कि,

4 × nC5 = 9 × n-1C5

उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करने पर 

$4\times \frac{n!}{5!(n-5)!}=9\times \frac{(n-1)!}{5![(n-1)-5]!}$

⇒ $4\times \frac{n\times (n-1)!}{5!(n-5)(n-6)!}=9\times \frac{(n-1)!}{5![(n-6]!}$

⇒ $\frac{4n}{(n-5)}=9$

⇒ 9n - 45 = 49

⇒ 5n = 4n

⇒ n = 9

धारणा:

हमारे पास है (x + y) n = nC0 xn + nC1 xn-1 . y + nC2 xn-2. y2 + …. + nCn yn

• सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है
• ${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$
• (x + y)n के द्विपदीय विस्तार में अंत से r^वां पद (n – r + 2)वां पद है।

सूचना: 

• (x + y)n के द्विपदीय विस्तार में अंत से rवां पद = (y + x)n के द्विपदीय विस्तार में प्रारंभ से rवां पद।
• अगर हम x → y पद को अदल-बदल करते हैं तो यह प्रारंभ से rवां पद देगा।

गणना:

हमें (x – 1/x) 12 में अंत से 9वां पद ढूंढना है

हम जानते हैं कि अंत से rवां पद मतलब प्रारंभ से (n – r + 2)वां पद।

तो अंत से 9वां पद = प्रारंभ से [12 – 9 + 2]वां पद = प्रारंभ से 5वां पद

सामान्य पद: ${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$

$\Rightarrow {\mathrm{T}}_5={\mathrm{T}}_{\left(4+1\right)}={}^{12}{\mathrm{C}}_4\times {\mathrm{x}}^{12-4}\times {\left(\frac{-1}{\mathrm{x}}\right)}^4$

$={}^{12}{\mathrm{C}}_4\times {\mathrm{x}}^8\times \frac{1}{{\mathrm{x}}^4}$

= ¹²C₄ x⁴

संकल्पना:

(x + y)n का विस्तार द्विपद विस्तार द्वारा दिया गया है। विस्तार होगा

(x + y)n = nC0 xn + nC1 xn-1 y + nC2 xn-2 y2 + ... + nCr xn-r yr + ... + nCn yn;

सामान्य पद इसके द्वारा दिया गया है

Tr = nCr xn-r yr ;

गणना:

दिया गया विस्तार ${(3x^2+\frac{1}{x})}^{30}$ है

माना कि r^वें पद में x¹² है और गुणांक A है;

⇒ Tr = A x12;

दिए गए विस्तार का सामान्य r^वां पद होगा

T _r = ${}^{30}{C}_r(3x^2{)}^{30-r}(\frac{1}{x}{)}^r$

⇒ Tr = 30Cr 330-r × x60-2r × x-r = 30Cr 330-r × x60-3r

12 के साथ x का घात बराबर करके,

⇒ 60 - 3r = 12 ⇒ r = 16

अब गुणांक होगा

A = 30Cr 330-r = 30C16 314;

संकल्पना:

द्विपद प्रसरण:

• (a + b)ⁿ = C₀ aⁿ b⁰ + C₁ a^n-1 b¹ + C₂ a^n-2 b² + … + C_r a^n-r b^r + … + C_n-1 a¹ b^n-1 + C_n a⁰ bⁿ, जहाँ C₀, C_1, …, C_n, C_r = ⁿC_r = $\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{r}!(\mathrm{n}-\mathrm{r})!}$ के रूप में परिभाषित द्विपद गुणांक हैं। 
• (1 - x)^-n = 1 + ⁿC₁ x + ⁿ⁺¹C₂ x² + ⁿ⁺²C₃ x³ + ....

बीजगणितीय सर्वसमिका:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
गणना:

हमें दिया गया है कि 1³ - x³ = (1 - x)(1 + x + x²)

⇒ 1 + x + x2 = $\frac{1-{\mathrm{x}}^3}{1-\mathrm{x}}$

अब, (1 + x + x2)-3 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

= ${\left(\frac{1-{\mathrm{x}}^3}{1-\mathrm{x}}\right)}^{-3}$

= (1 - x)3 × (1 - x³)^-3

= (1 - 3x + 3x² - x³)(1 + ³C₁ x³ + ⁴C₂ x⁶ + ... x का उच्चतम घांत)

x⁶, (1 और ⁴C₂ x⁶) तथा(-x³ और ³C₁ x³) को गुणा करके प्राप्त होगा। 

∴ x⁶ का गुणांक: (1 × 4C2) + (-1 × 3C1) = 6 - 3 = 3 होगा।