Modulus Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Modulus Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

मापांक फलन:

यह एक फलन है जो एक चर (x) का निरपेक्ष मान प्रदान करता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि यदि x ≥  0अन्यथा |x| = - x हो तो, |x| = x होगा

गणना:

f(x) = |x - 2| + |3 - x| + |4 - x|, जहाँ x ∈ R

x < 2 के लिए, f(x) = 2 - x + 3 - x + 4 - x = 9 - 3x

2 ≤ x < 3 के लिए, f(x) = x - 2 + 3 - x + 4 - x = 5 - x

3 ≤ x < 4 के लिए, f(x) = x - 2 + x - 3 + 4 - x = x - 1

x ≥ 4 के लिए, f(x) = x - 2 + 3 - x + x - 4 = 3x - 9

∴ f(x) के न्यूनतम मान को निम्न द्वारा दिया गया है:

f_min =  $\{\begin{array}{c}3,x<2\\ 3,2\le x<3\\ 2,3\le x<4\\ 3,4\le x\end{array}$

∴ f(x) का न्यूनतम मान 2 है।

अवधारणा:

मापांक फलन:

यह एक फलन है जो एक चर (x) का निरपेक्ष मान प्रदान करता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि यदि x ≥  0 या |x| = - x हो तो, |x| = x होगा। 

गणना:

f(x) = |x - 2| + |3 - x| + |4 - x|, जहाँ x ∈ R है। 

x < 2 के लिए, f(x) = 2 - x + 3 - x + 4 - x = 9 - 3x

2 ≤ x < 3 के लिए, f(x) = x - 2 + 3 - x + 4 - x = 5 - x

3 ≤ x < 4 के लिए, f(x) = x - 2 + x - 3 + 4 - x = x - 1

x ≥ 4 के लिए, f(x) = x - 2 + 3 - x + x - 4 = 3x - 9

∴ f(x) का न्यूनतम मान निम्न के द्वारा दिया गया है:

fmin =  $\{\begin{array}{c}3,x<2\\ 3,2\le x<3\\ 2,3\le x<4\\ 3,4\le x\end{array}$
∴ f(x) का न्यूनतम मान x = 3 पर है।​

दिया गया है:

| 2x + 3 | > 5

प्रयुक्त संकल्पना:

मापांक:

| x | =   x    यदि    x$\ge$0

             - x यदि    x<0 

हल:

माना 2x + 3 > 5 और 2x + 3 <- 5 { मापांक के गुणधर्म द्वारा}

अत: पहले 2x + 3 > 5 लीजिए।

⇒ 2x + 3 - 3 > 5 - 3

⇒ 2x > 2

⇒ x > 1 

अत:, x $\in$ (1, ∞)

अब 2x + 3 < - 5 लीजिए।

⇒ 2x + 3 - 3 < - 5 - 3

⇒ 2x < - 8

⇒ x < - 4 

अत:, x $\in$ (- ∞, - 4)

$\therefore$ x $\in$ (- ∞, - 4) U (1, ∞)

$\therefore$ विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

दिया गया है: ax b (मॉड m) --(1)

चरण 1:

d खोजें,

d = (a,m) का GCD

हमारे पास बिल्कुल 'd', असंगत समाधान हैं

चरण दो:

(1) को 'd' से दोनों पक्षों में विभाजित करें

$\Rightarrow \frac{ax}{d}\equiv \frac{b}{d}(mod\frac{m}{d})$

इस सर्वांगसमता के एक हल के रूप में x₁ ज्ञात कीजिए,

चरण 3:

अब, असंगत समाधान खोजें,

$x=x_1+\frac{m}{d}p$ -----(2)

जहां, 0 ≤ p ≤ (d-1)

'p' के मानों को (2) में रखने पर हमें अपेक्षित हल प्राप्त होंगे।

विश्लेषण:

6 x ≡ 3 (मॉड 9) ---(3)

d = GCD(6, 9) = 3

हमारे पास बिल्कुल 3 असंगत समाधान हैं,

अब, (3) को 3 से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow \frac{6x}{3}\equiv \frac{3}{3}(mod\frac{9}{3})$

2x ≡ 1 (मॉड 3)

हम मैन्युअल रूप से देख सकते हैं कि x = 2,

4 - 1 3 और (3 मॉड 3) = 0

एक हल x₁ = 2 है,

अब, सभी असंगत समाधान खोजने के लिए,

$x=x_1+\frac{m}{d}p$

जहां, 0 ≤ p ≤ (3-1)

p = 0, रखने पर 

x = 2 + 0 = 2

p = 1, रखने पर 

x = 2 + 3 × 1 = 5

p = 2, रखने पर 

x = 2 + 3 × 2 = 8

इस सर्वांगसमता के तीन असंगत समाधान मॉड्यूल 9 हैं: 2, 5, 8

अवधारणा:

X का मापांक (|x|): यह एक ऐसा फलन है जो एक चर (x) का निरपेक्ष मान देता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि

|x| = x, यदि x > 0 

|x| = x, यदि x < 0 

|x| = 0, यदि x = 0

गणना:

दिया गया समीकरण x2 - 3 |x| + 2 = 0 है।

हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

|x|2 - 3 |x| + 2 = 0

⇒   |x|2 -  |x|  - 2|x| + 2 = 0

⇒   |x|(|x| - 1) - 2( |x| - 1) = 0

⇒ ( |x| - 1)(|x| - 2) = 0

यह संभव है यदि, दो गुणनखंडों में से कम से कम एक शून्य है, अर्थात

|x| - 1  = 0  या  |x| - 2  = 0

⇒ |x| = 1  या |x| = 2

⇒ x = ± 1 या x = ± 2

स्पष्ट रूप से, हम देख सकते हैं कि x के चार अलग-अलग मान हैं।

अवधारणा:

प्रत्येक x ∈ R के लिए |x| ≥ 0 

गणना:

माना f(x) = |x - 4| + 2

जैसा कि हम जानते हैं कि प्रत्येक x ∈ R के लिए |x| ≥ 0 

∴ |x - 4| ≥ 0

फलन का न्यूनतम मान प्राप्त किया जाता है जब |x - 4| = 0 हो

इसलिए, f(x) का न्यूनतम मान = 0 + 2 = 2 है

Alternate Method

f(x) =  |x - 4| + 2

एक क्रांतिक बिंदु है अर्थात् x = 4

f(4) = |4 - 4| + 2

= 0 + 2

= 2

इसलिए 2, f(x) का न्यूनतम मान है।

गणना :

दिया गया: f (x) = 3 ^{1+ x}
फिर,

⇒ f (y) = 3 ^{1+ y}

⇒ f (z) = 3 ^{1+ z}

हमें f (x) f (y) f (z) का मान ज्ञात करना होगा,

⇒ f (x) f (y) f (z) = 3 ^{1+ x} × 3 ^{1+ y} × 3 ^{1+ z}

अवधारणा :

यदि f: A → B और g: B → C फलन हैं तो f 0 g (x) = f(g (x)) A से C तक एक फलन है।

गणना :

दिया गया: f(x) = |x - 1| और g(x) = tan x

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि f: A → B और g: B → C फलन हैं तो f o g (x) = f(g (x)) A से C तक एक फलन है।

⇒ f o g (7π/4) = f (g(3π/4)) 

⇒ g (3π/4) = tan (3π/4) = tan (π/2 + π/4))

जैसा कि हम जानते हैं कि tan (π/2 + θ) = - cot θ

⇒ g (3π/4) = - cot (π/4) = -1

⇒ f o g (7π/6) = f(- 1)

∵ f(x) = |x - 1| इसलिए, f( - 1) = |-1 - 1| = |- 2|

इसलिए, f o g (3π/4) = 2

संकल्पना:

दिए गए फलन का मापांक उस फलन का परिमाण देता है। मापांक फलन को वास्तविक मान वाले फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। 

यदि x > 0 है, तो वास्तविक फलन f: R → R को f (x) = |x|= x और यदि x < 0 है, तो f (x) = |x|= -x के रूप में परिभाषित किया जाता है। ∀ x ∈ R को मापांक फलन कहा जाता है। 

गणना:

दिया गया है |x² – 12x + 32| + |x² – 9x + 20| = 0.

प्रत्येक मापांक फलन एक गैर-ऋणात्मक फलन है और यदि दो गैर-ऋणात्मक फलन को शून्य प्राप्त करने तक जोड़ा जाता है, तो स्वयं अलग फलन एकसाथ शून्य के बराबर है। 

x² – 12x + 32 = 0, x = 4 या 8 के लिए 

 x² – 9x + 20 =0, x = 4 या 5 के लिए

दोनों समीकरण x = 4 पर शून्य हैं। 

अतः x = 4 इस समीकरण के लिए केवल हल है। 

दिया गया है:

| 2x + 3 | > 5

प्रयुक्त संकल्पना:

मापांक:

| x | =   x    यदि    x$\ge$0

             - x यदि    x<0 

हल:

माना 2x + 3 > 5 और 2x + 3 <- 5 { मापांक के गुणधर्म द्वारा}

अत: पहले 2x + 3 > 5 लीजिए।

⇒ 2x + 3 - 3 > 5 - 3

⇒ 2x > 2

⇒ x > 1 

अत:, x $\in$ (1, ∞)

अब 2x + 3 < - 5 लीजिए।

⇒ 2x + 3 - 3 < - 5 - 3

⇒ 2x < - 8

⇒ x < - 4 

अत:, x $\in$ (- ∞, - 4)

$\therefore$ x $\in$ (- ∞, - 4) U (1, ∞)

$\therefore$ विकल्प 3 सही है।

संकल्पना:

मापांक फलनों का न्यूनतम मान शून्य है।

गणना:

दिया गया, f(x) = |x - 1|

मापांक फलनों का न्यूनतम मान शून्य है।

|x - 1| का न्यूनतम मान 0 है, जहां x ∈ R

संकल्पना:

मापांक फलन '| |' को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है:

$|\mathrm{x}|=\{\begin{array}{cc}\mathrm{x},& \mathrm{x}>0\\ 0,& \mathrm{x}=0\\ -\mathrm{x},& \mathrm{x}<0\end{array}$

गणना:

चूँकि मापांक फलन '||' सदैव एक धनात्मक मान या 0 वापस करता है, इसलिए किसी भी समीकरण के मापांक के मान के रूप में -2 प्राप्त होना संभव नहीं है।

अतः |x + 2| = -2 में कोई हल नहीं है।

अवधारणा:

X का मापांक (|x|): यह एक ऐसा फलन है जो एक चर (x) का निरपेक्ष मान देता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि

|x| = x, यदि x > 0 

|x| = x, यदि x < 0 

|x| = 0, यदि x = 0

गणना:

दिया गया समीकरण x2 - 3 |x| + 2 = 0 है।

हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

|x|2 - 3 |x| + 2 = 0

⇒   |x|2 -  |x|  - 2|x| + 2 = 0

⇒   |x|(|x| - 1) - 2( |x| - 1) = 0

⇒ ( |x| - 1)(|x| - 2) = 0

यह संभव है यदि, दो गुणनखंडों में से कम से कम एक शून्य है, अर्थात

|x| - 1  = 0  या  |x| - 2  = 0

⇒ |x| = 1  या |x| = 2

⇒ x = ± 1 या x = ± 2

स्पष्ट रूप से, हम देख सकते हैं कि x के चार अलग-अलग मान हैं।

गणना:

दिया हुआ है कि,

⇒ f(x) = |x + 1|

पहला विकल्प

⇒ f(x²) = |x² + 1|

⇒ f(x)² = |x + 1|²

तो हम कह सकते हैं कि

⇒ f(x²) = |f(x)|²

⇒ |x + 1|² ≠ |x² + 1|

पहला विकल्प सही नहीं।

दूसरा विकल्प,

⇒ f(|x|) = |f(x)|

⇒ f(|x|) = ||x| + 1|

⇒ |f(x)| = ||x + 1|| = |x + 1|

f(|x|) ≠ |f(x)| क्योंकि x के वास्तविक मूल्यों के लिए ||x| + 1| ≠ |x + 1|।

तीसरा विकल्प,

⇒ f(x + y) = f(X) + f(y)

⇒ f(x + y) = |(x + y) + 1|

⇒ f(y) = |y + 1|

इसलिए

⇒ |(x + y) + 1| ≠ |x + 1| + |y + 1|

अवधारणा:

दिया गया है: ax b (मॉड m) --(1)

चरण 1:

d खोजें,

d = (a,m) का GCD

हमारे पास बिल्कुल 'd', असंगत समाधान हैं

चरण दो:

(1) को 'd' से दोनों पक्षों में विभाजित करें

$\Rightarrow \frac{ax}{d}\equiv \frac{b}{d}(mod\frac{m}{d})$

इस सर्वांगसमता के एक हल के रूप में x₁ ज्ञात कीजिए,

चरण 3:

अब, असंगत समाधान खोजें,

$x=x_1+\frac{m}{d}p$ -----(2)

जहां, 0 ≤ p ≤ (d-1)

'p' के मानों को (2) में रखने पर हमें अपेक्षित हल प्राप्त होंगे।

विश्लेषण:

6 x ≡ 3 (मॉड 9) ---(3)

d = GCD(6, 9) = 3

हमारे पास बिल्कुल 3 असंगत समाधान हैं,

अब, (3) को 3 से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow \frac{6x}{3}\equiv \frac{3}{3}(mod\frac{9}{3})$

2x ≡ 1 (मॉड 3)

हम मैन्युअल रूप से देख सकते हैं कि x = 2,

4 - 1 3 और (3 मॉड 3) = 0

एक हल x₁ = 2 है,

अब, सभी असंगत समाधान खोजने के लिए,

$x=x_1+\frac{m}{d}p$

जहां, 0 ≤ p ≤ (3-1)

p = 0, रखने पर 

x = 2 + 0 = 2

p = 1, रखने पर 

x = 2 + 3 × 1 = 5

p = 2, रखने पर 

x = 2 + 3 × 2 = 8

इस सर्वांगसमता के तीन असंगत समाधान मॉड्यूल 9 हैं: 2, 5, 8