Integration using Trigonometric Identities MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integration using Trigonometric Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jun 30, 2025

पाईये Integration using Trigonometric Identities उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Integration using Trigonometric Identities MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Integration using Trigonometric Identities MCQ Objective Questions

Integration using Trigonometric Identities Question 1:

हल करें: ∫ tan x dx

  1. -ln Sin x + C
  2. -ln Cos x + C
  3. ln Cos x + C
  4. ln x + C

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : -ln Cos x + C

Integration using Trigonometric Identities Question 1 Detailed Solution

प्रयुक्त अवधारणा:

tan(x) = sin(x) / cos(x).

इसलिए, समाकल को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

∫ tan(x) dx = ∫ (sin(x) / cos(x)) dx.

इस व्यंजक को सरल करने के लिए हम प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं।

गणना:

मान लीजिए cos(x) = u, तब:

du = -sin(x) dx.

इन्हें समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:

∫ (sin(x) / cos(x)) dx = ∫ (-1 / u) du.

-1 / u का समाकल है:

-ln |u| + C.

u = cos(x) को वापस प्रतिस्थापित करने पर:

-ln |cos(x)| + C.

∴ ∫ tan(x) dx का हल है:

-ln(cos(x)) + C.

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Integration using Trigonometric Identities Question 2:

यदि \(\rm \int e^{x}\left(\frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^{2}\right)^{3 / 2}}+\frac{x}{1-x^{2}}\right) d x=g(x)+C\) है, जहाँ C समाकलन अचर है, तो g\(\left(\frac{1}{2}\right)\) बराबर है:

  1. \(\frac{\pi}{6} \sqrt{\frac{\mathrm{e}}{2}}\)
  2. \(\frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{\mathrm{e}}{2}}\)
  3. \(\frac{\pi}{6} \sqrt{\frac{\mathrm{e}}{3}}\)
  4. \(\frac{\pi}{4} \sqrt{\frac{\mathrm{e}}{3}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{\pi}{6} \sqrt{\frac{\mathrm{e}}{3}}\)

Integration using Trigonometric Identities Question 2 Detailed Solution

गणना

\(\frac{d}{d x}\left(\frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)=\frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^{2}\right)^{3 / 2}}+\frac{x}{1-x^{2}}\)

\(\int e^{x}\left(\frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{\sin ^{-1} x}{\left(1-x^{2}\right)^{3 / 2}}+\frac{x}{1-x^{2}}\right) d x\)

= \(e^{x} \cdot \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}+c=g(x)+C\)

नोट: मान लें कि g(x) = \(\frac{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \sin ^{-1} \mathrm{x}}{\sqrt{1-\mathrm{x}^{2}}}\) 

\(g(1 / 2)=\frac{\mathrm{e}^{1 / 2}}{2} \cdot \frac{\frac{\pi}{6} \times 2}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6} \sqrt{\frac{\mathrm{e}}{3}}\)

टिप्पणी: इस प्रश्न में हमें एक अद्वितीय फलन g(x) नहीं मिलेगा, लेकिन उत्तर से मिलान करने के लिए हमें g(x) = \(\frac{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \sin ^{-1} \mathrm{x}}{\sqrt{1-\mathrm{x}^{2}}}\) मानना होगा।

अतः विकल्प 3 सही है। 

Integration using Trigonometric Identities Question 3:

\(\int \frac{2 \cos 2x}{(1 + \sin 2x)(1 + \cos 2x)} \, dx =\)

  1. \(\ 2 \tan x + \log(1 + \tan x) + c\)
  2. \(\ \tan x - 2 \log(1 + \tan x) + c\)
  3. \(\ 2 \log(1 + \tan x) + \tan x + c\)
  4. \(\ 2 \log(1 + \tan x) - \tan x + c\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\ 2 \log(1 + \tan x) - \tan x + c\)

Integration using Trigonometric Identities Question 3 Detailed Solution

गणना

दिया गया समाकल: ∫ \(\frac{2\cos 2x}{(1+\sin 2x)(1+\cos 2x)}\) dx

⇒ ∫ \(\frac{2(1 - 2\sin^2 x)}{(1+2\sin x \cos x)(1+2\cos^2 x - 1)}\) dx

⇒ ∫ \(\frac{2(1 - 2\sin^2 x)}{(1+2\sin x \cos x)(2\cos^2 x)}\) dx

⇒ ∫ \(\frac{1 - 2\sin^2 x}{\cos^2 x (1+2\sin x \cos x)}\) dx

⇒ ∫ \(\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x (1+2\sin x \cos x)}\) dx

⇒ ∫ \(\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x ((\sin x + \cos x)^2)}\) dx

⇒ ∫ \(\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x (\cos^2 x (1+\tan x)^2)}\) dx

⇒ ∫ \(\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^4 x (1+\tan x)^2}\) dx

⇒ ∫ \(\frac{1 - \tan^2 x}{\cos^2 x (1+\tan x)^2}\) dx

⇒ ∫ \(\frac{(1 - \tan x)(1 + \tan x)}{\cos^2 x (1+\tan x)^2}\) dx

⇒ ∫ \(\frac{1 - \tan x}{\cos^2 x (1+\tan x)}\) dx

⇒ ∫ \(\frac{\sec^2 x (1 - \tan x)}{(1+\tan x)}\) dx

माना t = 1 + tan x, तब dt = sec2 x dx

⇒ ∫ \(\frac{1 - (t - 1)}{t}\) dt

⇒ ∫ \(\frac{2 - t}{t}\) dt

⇒ ∫ (\(\frac{2}{t} - 1\)) dt

⇒ 2 ln |t| - t + c

⇒ 2 ln |1 + tan x| - (1 + tan x) + c

⇒ 2 ln |1 + tan x| - tan x - 1 + c

⇒ 2 ln |1 + tan x| - tan x + C (जहाँ C = c - 1)

∴ समाकलन 2 ln |1 + tan x| - tan x + C है।

इसलिए विकल्प 4 सही है

Integration using Trigonometric Identities Question 4:

\( \int \frac{2x^2 \cos(x^2) - \sin(x^2)}{x^2} \, dx \) =

  1. \(\frac{\sin(x^2)}{x^2} + c\)
  2. \(\frac{\cos(x^2)}{x^2} + c\)
  3. \(\sin(x^2) + c\)
  4. \(\frac{\sin(x^2)}{x} + c\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\frac{\sin(x^2)}{x} + c\)

Integration using Trigonometric Identities Question 4 Detailed Solution

गणना

मान लीजिये \(I = \int \frac{2x^2 \cos(x^2) - \sin(x^2)}{x^2} dx\)

\(I = \int \left( \frac{2x^2 \cos(x^2)}{x^2} - \frac{\sin(x^2)}{x^2} \right) dx\)

\(I = \int 2 \cos(x^2) dx - \int \frac{\sin(x^2)}{x^2} dx\)

आइये \(\frac{\sin(x^2)}{x}\) के अवकलज पर विचार करते हैं:

\(\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x^2)}{x} \right) = \frac{2x^2 \cos(x^2) - \sin(x^2)}{x^2}\)

इसलिए, \(I = \int \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin(x^2)}{x} \right) dx\)

\(I = \frac{\sin(x^2)}{x} + C\)

∴ समाकलन  \(\frac{\sin(x^2)}{x} + C\) है।

इसलिए विकल्प 4 सही है

Integration using Trigonometric Identities Question 5:

यदि समाकल \(\displaystyle \int\frac{5\tan x}{\tan x-2}dx=x+\) \(a \ln | \sin x-2\cos x | +k\) है, तो \(a\) बराबर है:

  1. \(1\)
  2. \(-2\)
  3. \(-1\)
  4. \(2\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(2\)

Integration using Trigonometric Identities Question 5 Detailed Solution

गणना

\(I=\displaystyle \int\frac{5\tan x}{\tan x-2}dx\)

\(\Rightarrow I=\displaystyle \int\frac{5\sin x}{\sin x-2\cos x}dx\)

\(\Rightarrow I=\displaystyle \int\frac{2(\cos x+2\sin x)+(\sin x-2\cos x)}{\sin x-2\cos x}dx\)

\(\Rightarrow I=2\displaystyle \int\frac{\cos x+2\sin x}{\sin x-2\cos x}dx + \int dx + k\)

\(\Rightarrow I=2\ln | \sin x-2\cos x | +x+k\)

\(\therefore a=2\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

Top Integration using Trigonometric Identities MCQ Objective Questions

\(\rm \int cos^2 x\;dx\) का मूल्यांकन कीजिए। 

  1. \(\rm \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{2} + c\)
  2. \(\rm \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4} + c\)
  3. \(\rm \frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4} + c\)
  4. \(\rm \frac{x}{2}+\frac{\cos 2x}{4} + c\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\rm \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4} + c\)

Integration using Trigonometric Identities Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

1 + cos 2x = 2cos2 x

1 - cos 2x = 2sin2 x

\(\rm \int \cos x\;dx = \sin x + c\)

 

गणना:

I = \(\rm \int cos^2 x\;dx\)

\(\rm \int \frac{1+\cos 2x}{2}\;dx\)

\(\rm \frac{1}{2}\int (1+\cos 2x)\;dx\)

\(\rm \frac{1}{2} \left[x+\frac{\sin 2x}{2} \right ] + c\)

\(\rm \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4} + c\)

मूल्यांकन करें\(\smallint \frac{{1 - \cos 2{\rm{x}}}}{{1 - {{\sin }^2}{\rm{x}}}}{\rm{\;dx}}\)

  1. tan x – 2x + c
  2. 2 tan x – x + c
  3. 2 tan x – 2x + c
  4. 2 tan x + 2x + c

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 2 tan x – 2x + c

Integration using Trigonometric Identities Question 7 Detailed Solution

Download Solution PDF

धारणा:

1 - cos 2x = 2 sin2 x

1 – sin2 x = cos2 x

\(\smallint {\sec ^2}{\rm{xdx}} = \tan {\rm{x}} + {\rm{c}}\)

गणना:

माना कि I = \(\smallint \frac{{1 - \cos 2{\rm{x}}}}{{1 - {{\sin }^2}{\rm{x}}}}{\rm{\;dx}}\)

\( = \smallint \frac{{2{{\sin }^2}{\rm{x}}}}{{{{\cos }^2}{\rm{x}}}}{\rm{\;dx}}\)

\( = 2\smallint {\tan ^2}{\rm{xdx}}\)

\( = 2\smallint \left( {{{\sec }^2}{\rm{x}} - 1} \right){\rm{dx}}\)

= 2 [tan x – x] + c

= 2 tan x – 2x + c

 ∫ secn x tan x dx का मूल्यांकन करें। 

  1. \(\frac{1}{n}\sec ^{n-1} x+C\)
  2. \(\sec ^n x+C\)
  3. \(\frac{1}{n}\tan ^n x+C\)
  4. \(\frac{1}{n}\sec ^n x+C\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\frac{1}{n}\sec ^n x+C\)

Integration using Trigonometric Identities Question 8 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

  • \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1\)
  • \(\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\, \tan x\)

गणना:

हमारे पास निम्न है,

∫ secn x tan x dx

⇒ ∫ sec n - 1 x (sec x tan x) dx      ----(1)

मान लीजिए sec x = t

⇒ sec x tan x dx = dt

इन मानों को समीकरण (1) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

∫ t n - 1 dt 

\(\Rightarrow \frac{t^n}{n}+C\)

\(\Rightarrow \frac{1}{n}\sec ^n x+C\)

इसलिए,  ∫ secn x tan x dx = \(\frac{1}{n}\sec ^n x+C\)

यदि \(\rm \int \sqrt{1 - sin 2x} \space dx\) = A sinx + B cosx + C है, जहाँ 0 < x < \(\frac{\pi}{4}\) है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?

  1. A + B = 0
  2. A + B - 2 = 0
  3. A + B + 2 = 0
  4. A + B - 1 = 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : A + B - 2 = 0

Integration using Trigonometric Identities Question 9 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

sin2x + cos2x = 1

\(\rm \int sin x dx = -cosx \)

\(\rm \int cos x dx = sin x \)

गणना:

हमारे पास\(\rm \int \sqrt{1 - sin 2x} \space dx\) = A sinx + B cosx + C है

⇒ \(\rm \int (\sqrt{sin^{2}x + cos^{2}x - 2sinx cosx} )dx\) = A sinx + B cosx + C

⇒ \(\rm \int (\sqrt{(sinx - cosx)^{2}})dx\) = A sinx + B cosx + C

⇒ \(\rm \int (|(sinx - cosx)|)dx\) = A sinx + B cosx + C     ----(i)

यदि 0 < x < \(\frac{\pi}{4}\), तब sinx < cosx

⇒ |sinx - cosx| = -sinx + cosx    -----(ii)

अब (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

⇒ \(\rm \int (-\space sinx + cosx) \space dx\) = A sinx + B cosx + C

⇒ cosx + sinx + C = A sinx + B cosx + C

A = 1, B = 1 और C = 0 की तुलना करने पर

अत: A + B - 2 = 0 सही है।

 

sec x के संबंध में sec2 x का समाकल क्या है?

  1. tan x + C
  2. sec x + C
  3. \(\rm\frac{{ta{n^3}x}}{{3 }} + c\)
  4. \(\rm\frac{{sec{^3}x}}{{3 }} + c\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\rm\frac{{sec{^3}x}}{{3 }} + c\)

Integration using Trigonometric Identities Question 10 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

\( \rm \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)

 

गणना:

खोजने के लिए: sec x के संबंध में sec2 x का समाकल

\(\rm \int \sec^2 x\; d(\sec x)\)

sec x = t को प्रतिस्थापित करके हम प्राप्त करते हैं

\(= \rm \int t^2 dt\\= \frac{t^3}{3}+c\\=\frac{\sec^3 x}{3}+c\)

\(\smallint \sin {\rm{x}}^\circ {\rm{dx}}\) के बराबर क्या है?

  1. - cos x° + c
  2. \( {\rm{\;}} - \frac{{180\cos {\rm{x}}^\circ }}{{\rm{\pi }}} + {\rm{c}}\)
  3. \( {\rm{\;}} \frac{{180\cos {\rm{x}}^\circ }}{{\rm{\pi }}} + {\rm{c}}\)
  4. cos x° + c

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \( {\rm{\;}} - \frac{{180\cos {\rm{x}}^\circ }}{{\rm{\pi }}} + {\rm{c}}\)

Integration using Trigonometric Identities Question 11 Detailed Solution

Download Solution PDF

धारणा:

180° = π रेडियन

\(\smallint \sin {\rm{xdx}} = {\rm{\;}} - \cos {\rm{x}} + {\rm{c}}\)

गणना:

जैसा कि हम जानते हैं कि, 180° = π रेडियन

∴ 1° = \(\frac{{\rm{\pi }}}{{180}}\) रेडियन

इसलिए, x° = \(\frac{{\rm{\pi x }}}{{180}}\) रेडियन

माना कि I = \(\smallint \sin {\rm{x}}^\circ {\rm{dx}}\)

\( = \smallint \sin \frac{{{\rm{\pi x}}}}{{180}}{\rm{dx}}\)

माना कि \(\frac{{\rm{\pi x }}}{{180}}\)= t

⇒ dx = \(\frac {180}{\pi}\) dt

\({\rm{I}} = \frac{{180}}{{\rm{\pi }}}\smallint \sin {\rm{tdt}} = {\rm{\;}} - \frac{{180\cos {\rm{t}}}}{{\rm{\pi }}} + {\rm{c}} = {\rm{\;}} - \frac{{180\cos {\rm{x}}^\circ }}{{\rm{\pi }}} + {\rm{c}}\)

\(\rm \int{{\left( \frac {1}{\cos^2 x} - \frac {1}{\sin^2 x} \right)}} dx\) किसके बराबर है?

जहाँ c समाकलन का स्थिरांक है। 

  1. 2 cosec 2x + c
  2. -2 cot 2x + c
  3. 2 sec 2x + c
  4. -2 tan 2x + c

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 2 cosec 2x + c

Integration using Trigonometric Identities Question 12 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

\(\rm \int \sec^{2}xdx = \tan x + c \\ \rm \int cosec^{2}xdx = -\cot x+c\)

गणना:

माना कि I = \(\rm \int{{\left( \frac {1}{\cos^2 x} - \frac {1}{\sin^2 x} \right)}} dx\)  है। 

\(= \rm \int \sec^{2}xdx - \rm \int cosec^{2}xdx\)

= tan x - (-cot x) + c

\(= \rm \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}+c \\ =\frac{\sin^2 x+ \cos^2 x}{\sin x \cos x}+c \\ = \frac{1}{\sin x \cos x}+c\)

\(= \rm \frac{2}{2\sin x \cos x} +c\\= \frac{2}{\sin2x}+c\)            (∵ 2 sin x cos x = sin 2x)

= 2 cosec 2x + c

\(\int {\frac{{{e^x}\left( {1 + \sin x} \right)}}{{1 + \cos x}}} dx\) समान है: 

  1. \(\log \tan x + c\)
  2. \({e^x}\tan \frac{x}{2} + c\)
  3. \(\sin \log x + c\)
  4. \({e^x} \cot x + c\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \({e^x}\tan \frac{x}{2} + c\)

Integration using Trigonometric Identities Question 13 Detailed Solution

Download Solution PDF

सूत्र:

\(\int {e}^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C\)

गणना:

माना  \(I = \int e^x . \frac{1 + sinx}{1 + cos x} dx\)

⇒ \(I = \int e^x . \frac{1 + 2sin\frac{x}{2}cos \frac{x}{2}}{ 2cos^2 \frac{x}{2}} dx\)

⇒ \(I = \int e^x . [\frac{1}{2 cos^2\frac{x}{2}} + \frac{2 sin\frac{x}{2} cos\frac{x}{2}}{2 cos^2\frac{x}{2}}] dx\)

⇒ \(I = \int e^x . [\frac{1}{2} sec^2 \frac{x}{2} + tan \frac{x}{2}] dx\)

उपर्युक्त समाकल \(\int {e}^x [f(x) + f'(x)] dx\) रूप का है 

\(f(x) = tan \frac{x}{2}\)

 \(f'(x) = \frac{1}{2} sec^2 \frac{x}{2}\)

 \(∴\ I = e^x f(x) + c\)

\(I = e^x tan \frac{x}{2} + c\)

मूल्यांकन करें\(\smallint \frac{{1 + \cos 2{\rm{x}}}}{{1 - {{\cos }^2}{\rm{x}}}}{\rm{\;dx}}\)

  1. -2 tan x – 2x + c
  2. 2 cot x – 2x + c
  3. -2 cot x + 2x + c
  4. -2 cot x – 2x + c

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : -2 cot x – 2x + c

Integration using Trigonometric Identities Question 14 Detailed Solution

Download Solution PDF

धारणा:

1 + cos 2x = 2 cos2 x

1 – cos2 x = sin2 x

\(\smallint {\rm{cose}}{{\rm{c}}^2}{\rm{xdx}} = - \cot {\rm{x}} + {\rm{c}}\)

गणना:

माना कि I = \(\smallint \frac{{1 + \cos 2{\rm{x}}}}{{1 - {{\cos }^2}{\rm{x}}}}{\rm{\;dx}}\)                         (∵ 1 + cos 2x = 2 cos2 x और 1 – cos2 x = sin2 x)

\(= \smallint \frac{{2{{\cos }^2}{\rm{x}}}}{{{{\sin }^2}{\rm{x}}}}{\rm{\;dx}}\)

\(= 2\smallint {\cot ^2}{\rm{xdx}}\)

\( = 2\smallint \left( {{\rm{cose}}{{\rm{c}}^2}{\rm{x}} - 1} \right){\rm{dx}}\)

= 2 [-cot x – x] + c

= -2 cot x – 2x + c

\(\rm \int{ {cos2x}\over {cosx} }dx\) का मान ज्ञात कीजिए।

  1. 2sinx - ln(sec x + tan x) + C
  2. 2sinx + ln(sec x - tan x) + C
  3. 2sinx + ln(sec x + tan x) + C
  4. 2sinx - ln(sec x - tan x) + C

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 2sinx - ln(sec x + tan x) + C

Integration using Trigonometric Identities Question 15 Detailed Solution

Download Solution PDF

अवधारणा:

कुछ उपयोगी सूत्र हैं:

∫cosx dx = sinx + c

∫ secx dx = ln(sec x + tan x) + c

cos2θ = 2cos2θ - 1

\(\rm 1\over cos θ \)= secθ 

गणना:

दिया गया समाकलन है, \(\rm ∫{ {cos2x}\over {cosx} }dx\)

\(\rm ∫{ {2cos^2x-1}\over {cosx} }dx\)

\(\rm ∫({ {{2cos^2x}\over {cosx}}-{{1}\over {cosx} }})dx\)

\(\rm ∫({ {{2cosx}}-{secx} })dx\)

= 2sinx - ln(sec x + tan x) + C, C = समाकलन का स्थिरांक

Get Free Access Now
Hot Links: teen patti sequence teen patti master golden india teen patti real cash teen patti all