Elementary Properties and Identities MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Elementary Properties and Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

फलन है $y=3{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$, और हमें y का अवकलज, अर्थात $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करना है। 

${\sin }^{-1}(u)$ का सामान्य अवकलज है:

$\frac{d}{dx}{\sin }^{-1}(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot \frac{du}{dx}$, जहाँ $u=\frac{x}{3}$

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{3}$

y का अवकलज ज्ञात करने के लिए श्रृंखला नियम लागू करने पर:

$\frac{dy}{dx}=3\times \frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{x}{3}\right)}^2}}\times \frac{1}{3}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}}=\frac{3}{\sqrt{9-x^2}}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

फलन $y={\sin }^{-1}(x-\frac{4x^3}{27})$है, और हमें इसे सरल करना है।

$y={\sin }^{-1}(x-\frac{4x^3}{27})$

हम देखते हैं कि हम व्यंजक को इस प्रकार गुणनखंडित कर सकते हैं:

$x-\frac{4x^3}{27}=\left(\frac{x}{3}\right)(3-4{\left(\frac{x}{3}\right)}^3)$

इस प्रकार, फलन बन जाता है:

$y={\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}(3-4{\left(\frac{x}{3}\right)}^3)\right)$

यह देखते हुए कि यह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए एक ज्ञात सर्वसमिका के अनुरूप है:

${\sin }^{-1}(3x)=3{\sin }^{-1}\left(x\right)$

इस प्रकार, हम व्यंजक को सरल कर सकते हैं:

$y=3{\sin }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।

गणना: 

दिया गया है:

$\sin ({\tan }^{-1}\frac{4}{5}+{\tan }^{-1}\frac{4}{3}+{\tan }^{-1}\frac{1}{9}-{\tan }^{-1}\frac{1}{7})$

हम जानते हैं कि ${\tan }^{-1}a+{\tan }^{-1}b={\tan }^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$ और ${\tan }^{-1}a-{\tan }^{-1}b={\tan }^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$

$\sin ({\tan }^{-1}\frac{4}{5}+{\tan }^{-1}\frac{4}{3}+{\tan }^{-1}\frac{1}{9}-{\tan }^{-1}\frac{1}{7})$ = $\sin [({\tan }^{-1}\frac{4}{3}+{\tan }^{-1}\frac{1}{9})+({\tan }^{-1}\frac{4}{5}-{\tan }^{-1}\frac{1}{7})]$

= $\sin [{\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{9}}{1-\frac{4}{27}}\right)+{\tan }^{-1}(\frac{\frac{4}{5}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{35}})]$

= $\sin ({\tan }^{-1}\left(\frac{39/27}{23/27}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{23/35}{39/35}\right))$

= $\sin ({\tan }^{-1}\left(\frac{39}{23}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{23}{39}\right))$

= $\sin ({\tan }^{-1}\left(\frac{39/23+23/39}{1-1}\right))$

= $\sin ({\tan }^{-1}\left(\frac{2050/897}{0}\right))$

= $\sin ({\tan }^{-1}\mathrm{\infty })$ = sin(π/2) = 1

∴ $\sin ({\tan }^{-1}\frac{4}{5}+{\tan }^{-1}\frac{4}{3}+{\tan }^{-1}\frac{1}{9}-{\tan }^{-1}\frac{1}{7})$ = 1

सही उत्तर विकल्प (4) है।

गणना:

दिया गया है: ${\cos }^{-1}\{\cot (\sum _{i=1}^3{\cot }^{-1}i)\}$

$\sum _{i=1}^3{\cot }^{-1}i={\cot }^{-1}1+{\cot }^{-1}2+{\cot }^{-1}3$

${\cot }^{-1}1=\frac{\pi }{4}$.

${\cot }^{-1}x+{\cot }^{-1}y={\cot }^{-1}\left(\frac{xy-1}{x+y}\right)$

${\cot }^{-1}2+{\cot }^{-1}3={\cot }^{-1}\left(\frac{2\cdot 3-1}{2+3}\right)={\cot }^{-1}\left(\frac{5}{5}\right)={\cot }^{-1}1=\frac{\pi }{4}$

$\sum _{i=1}^3{\cot }^{-1}i=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

${\cos }^{-1}\{\cot \left(\frac{\pi }{2}\right)\}=\frac{\pi }{2}$

अतः विकल्प 2 सही है।

गणना

${\displaystyle \cot (\sum _{n=1}^{23}{\cot }^{-1}(1+\sum _{k=1}^{n}2k))}$

$\Rightarrow {\displaystyle \cot (\sum _{n=1}^{23}{\cot }^{-1}(1+2\times {\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}))}$

$\Rightarrow {\displaystyle \cot (\sum _{n=1}^{23}{\cot }^{-1}\left(n^2+n+1\right))}$

$\Rightarrow {\displaystyle \cot (\sum _{n=1}^{23}{\tan }^{-1}\left(\frac{n+1-n}{1+n(n+1)}\right))}$

$\Rightarrow \cot \left(\sum _{n=1}^{23}{\tan }^{-1}(n+1)-{\tan }^{-1}n\right)$

$\Rightarrow \cot ({\tan }^{-1}24-{\tan }^{-1}1)$

$\Rightarrow \cot ({\tan }^{-1}\left(\frac{23}{25}\right))$

$\Rightarrow {\displaystyle \cot ({\cot }^{-1}\left(\frac{25}{23}\right))={\displaystyle \frac{25}{23}}}$

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

अवधारणा:

• ${\tan }^{-1}\mathrm{x}+{\tan }^{-1}\mathrm{y}={\tan }^{-1}\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1-\mathrm{x}\mathrm{y}}$
• $\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x}=\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}\mathrm{x}$
• $2\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\mathrm{x}=\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\frac{2\mathrm{x}}{1-{\mathrm{x}}^2})$

गणना:

S = $\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\frac{1}{3}-2{\tan }^{-1}\frac{2}{3}$

S = $[\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}\frac{1}{3}]-{\tan }^{-1}\frac{2\times \frac{2}{3}}{1-(\frac{2}{3}{)}^2}$

S = $[\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}\frac{1}{3}]-{\tan }^{-1}\frac{\frac{4}{3}}{1-\frac{4}{9}}$

S = $\frac{\pi }{2}-{\tan }^{-1}\frac{1}{3}-{\tan }^{-1}\frac{12}{5}$

S = $\frac{\pi }{2}-[{\tan }^{-1}\frac{12}{5}+{\tan }^{-1}\frac{1}{3}]$

S = $\frac{\pi }{2}-[{\tan }^{-1}\frac{\frac{12}{5}+\frac{1}{3}}{1-\frac{12}{5}\times \frac{1}{3}}]$

S = $\frac{\pi }{2}-[{\tan }^{-1}\frac{41}{3}]$

S = ${\cot }^{-1}\frac{41}{3}$

संकल्पना:

sin^-1 x + cos^-1 x = $\frac{\pi }{2}$  

गणना:

sin^-1 x + sin^-1 y = $\frac{3\pi }{4}$ 

⇒ $(\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{x})+(\frac{\pi }{2}-\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\mathrm{y})=\frac{3\pi }{4}$ 

⇒ π - ( cos^-1 x + cos^-1 y ) = $\frac{3\pi }{4}$

⇒ cos^-1 x + cos^-1 y = $\frac{\pi }{4}$ 

सही विकल्प 2 है।

धारणा:

sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

गणना:

दिया हुआ: 3 sin-1 x + cos-1 x = π 

 ⇒ 3 sin-1 x + cos-1 x = 2 sin-1 x + [sin-1 x + cos-1 x] = π 

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

⇒  2 sin-1 x + [π /2] = π

⇒ 2 sin-1 x = π - π/2

⇒ 2 sin-1 x = π/2

⇒ sin^-1 x = π/4

⇒ x = sin π/4 = 1/√2

दिया गया है:

AB = 20 सेमी

BC = 21 सेमी 

AC = 29 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

पाइथागोरस प्रमेय कहती है कि "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

गणना:

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,

AC² = AB² + BC²

⇒ 29² = 20² + 21²

ΔABC एक समकोण त्रिभुज है।

⇒ cot C = BC/AB = 21/20

⇒ cosec C = AC/AB = 29/20

⇒ tan A = BC/AB = 21/20

cot C + cosec C - 2tan A = 21/20 + 29/20 - 2 × 21/20

⇒ 8/20

⇒ 2/5

अतः cot C + cosec C - 2tan A का मान = 2/5

अवधारणा:

$\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{x})+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{y})$ = $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1-\mathrm{x}\times \mathrm{y}}$

$\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x}=$ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\frac{1}{\mathrm{x}})$

गणना:

दिया गया है, $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{t}}^{-1}\mathrm{x}=\frac{\pi }{2}$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{x})+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\frac{1}{\mathrm{x}})=\frac{\pi }{2}$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{x})+\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\frac{1}{\mathrm{x}})=\frac{\pi }{2}$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}{1-\mathrm{x}\times \frac{1}{\mathrm{x}}}=\frac{\pi }{2}$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}{0}=\frac{\pi }{2}$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}\frac{\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}}{0}=\frac{\pi }{2}$

⇒ $\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{-1}(\mathrm{\infty })=\frac{\pi }{2}$

यह सभी x ∈ R के लिए सत्य है

संकल्पना:

sin-1 x + cos-1 x = $\frac{\pi }{2}$  

गणना:

cos-1 x + cos-1 y = $\frac{3\pi }{5}$

⇒ $(\frac{\pi }{2}-\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\mathrm{x})+(\frac{\pi }{2}-\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\mathrm{y})=\frac{3\pi }{5}$ 

⇒ π - ( sin-1 x + sin-1 y ) = $\frac{3\pi }{5}$

⇒ sin-1 x + sin-1 y = $\frac{2\pi }{5}$

सही विकल्प 2 है। 

अवधारणा:

${\sin }^{-1}\mathrm{x}+{\cos }^{-1}\mathrm{x}=\frac{\pi }{2}$

${\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}=1$

गणना:

दिया गया है कि ${\sin }^{-1}\mathrm{x}+{\sin }^{-1}\mathrm{y}=\frac{\pi }{2}$

${\sin }^{-1}\mathrm{x}=\frac{\pi }{2}-{\sin }^{-1}\mathrm{y}$

sin-1 x = cos-1 y 

माना x = sin A

sin-1 (sin A) = cos-1 y 

A = cos-1 y 

y = cos A

y = $\sqrt{1-{\sin }^2\mathrm{A}}$

y2 = 1 - x2

x2 = 1 - y2 

दिया गया है:

2sin(3x -15)° = 1

गणना:

sin(3x - 15)° = 1/2

⇒ sin (3x - 15)° = sin 30° 

⇒ (3x - 15)° = 30° 

⇒ 3x = 30° + 15° = 45° 

⇒ x = $\frac{45}{3}$ = 15° 

तब,

cos²(2x +15)° + cot2 (x +15)°

cos2(2 × 15 +15)° + cot2 (15 +15)°

⇒ cos²(45)° + cot²(30)°

⇒ $(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2$ + $(\sqrt{3}{)}^2$

⇒ $\frac{1}{2}$ + 3 = $\frac{7}{2}$ 

∴ cos2(2x +15)° + cot2 (x +15)° = $\frac{7}{2}$

धारणा:

sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

गणना:

दिया हुआ: 3 sin-1 x + cos-1 x = π 

 ⇒ 3 sin-1 x + cos-1 x = 2 sin-1 x + [sin-1 x + cos-1 x] = π 

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin-1 x + cos-1 x = π/2, x ∈ [-1, 1]

⇒ 2 sin-1 x + [$\frac{\pi }{2}$] = π

⇒ 2 sin-1 x = π - $\frac{\pi }{2}$

⇒ 2 sin-1 x = $\frac{\pi }{2}$

⇒ sin-1 x = $\frac{\pi }{4}$

∴ x = sin $\frac{\pi }{4}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$

धारणा:

cos 2x = 1 - 2 sin² x

गणना:

दिया हुआ: cos (2 sin-1 x) = 1/9 जहाँ x > 0

माना कि sin-1 x = y

⇒ x = sin y

⇒ cos (2 sin-1 x) = cos 2y = 1/9

जैसा कि हम जानते हैं कि, cos 2x = 1 - 2 sin2 x

⇒ 1 - 2 sin² y = 1/9

⇒ 2sin² y = 8/9

⇒ x² = 4/9 --------(∵ x = sin y)

⇒ x = ± 2/3

लेकिन जैसा कि यह दिया गया है कि x > 0

⇒ x = 2/3