Cube Roots of Unity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Cube Roots of Unity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

इकाई के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ, ω = \(\frac{{ - \;1\; + \;i√ 3 }}{2}\)और ω2 = \(\frac{{ - \;1\; - \;i√ 3 }}{2}\)

इकाई के घनमूलों का गुण:

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω = 1 / ω 2 और ω2 = 1 / ω
• ω3n = 1

गणना​:

दिया गया है

 \(\left(\frac{i + \sqrt{3}}{-i + \sqrt{3}}\right)^{200}+ \left(\frac{i - \sqrt{3}}{-i + \sqrt{3}}\right)^{200}\)

दिए गए समीकरण के पहले भाग पर विचार करें

⇒ \((\frac{i +√{3}}{-i+√{3}})\times(\frac{i +√{3}}{i+√{3}})\)

⇒ \(\frac{(i+√{3})^2}{(√{3}-i)(√{3}+i)}\)

हम जानते हैं कि (a  - b)(a + b) = a2 - b2 और i² = √-1

⇒ \(\frac{2+2√{3}i}{4}\)    

⇒ \(\frac{1+√{3}}{2} = -(\frac{-1-√{3}}{2})=-ω^2\)       ----- (1)

दिए गए समीकरण के दूसरे भाग पर विचार करें

⇒ \((\frac{i -√{3}}{i+√{3}})\times(\frac{i -√{3}}{i-√{3}})\)

⇒ \(\frac{(i-√{3})^2}{(i^2-(√{3})^2)} = \frac{-1+i√{3}}{2}=ω\)         ----- (2)

दिए गए समीकरण में समीकरण (1) और (2) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

⇒ \((-ω^2)^{200} + ω^{200} +1\)

⇒ \(ω^{400}+ω^{200}+1\)

⇒ \(ω^{3\times133+1} + ω^{3\times66 +2}+1\)

हम जानते हैं कि \(\omega^3 =1\)

⇒ \(\omega^2+\omega +1 = 0\)

∴ \(\left(\frac{i + √{3}}{-1 + √{3}}\right)^{200}+ \left(\frac{i - √{3}}{-1 + √{3}}\right)^{200}+1\) का मान है

संकल्पना:

एकत्व के घनमूल are 1, ω और ω2 हैं

जहाँ,

 \(ω = \frac{{ - \;1 + i\sqrt 3 }}{2}\;and\;{ω ^2} = \frac{{ - \;1\; - \;i\;\sqrt 3 }}{2}\)

\(1 + {ω ^n} + {ω ^{2n}} = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,\;if\;n\;is\;not\;multiple\;of\;3}\\ {3,\;if\;n\;is\;multiple\;of\;3} \end{array}} \right.\)

ω3 = 1

1 + ω + ω2 = 0

ω3n = 1

​गणना:

दिया हुआ:

Δ = \(\begin{bmatrix} 1 &ω & ω^{2n} \\ ω^2 & ω^{2n} & 1 \\ ω^{2n}& 1 & ω^{n} \end{bmatrix} \)

सारणिक को हल करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

Δ = 1 (ω²ⁿ ωⁿ - 1) - ω (ω2 ωn - ω2n) + ω2n (ω2 - ω2n ω²n)

Δ = (ω³n - 1) - (ω3 ωn - ω2n ω) + (ω2 ω2n - ω⁶n )

चूँकि ω3 = 1, ω3n = 1, ω6n = 1

Δ = 0 - ωn + ω2n ω + ω2 ω2n - 1

Δ = -1 - ωn +ω2n (ω + ω2)

चूँकि 1 + ω + ω2 = 0 ⇒ ω + ω2 = - 1

Δ = -1 - ωn - ω2n 

यदि n 3 का गुणज नहीं है तो:

Δ = -1 - ωn - ω2n  = 0

अवधारणा:

ω³ = 1 जहाँ ω एकत्व का घनमूल है।

ω³ - 1³ = 0

(ω - 1)(1 + ω + ω²) = 0

∴ ω = 1 और 1 + ω + ω² = 0

गणना:

दिया हुआ:

\(1\;+\;ω\;+\frac{1}{ω}\)

हम जानते हैं कि;

1 + ω + ω2 = 0

\(1\;+\;ω\;+\frac{ω^2}{1}=0\)

\(1\;+\;ω\;+\frac{ω^2}{ω^3}=0\)      [∵ ω³ = 1]

\(\therefore 1\;+\;ω\;+\frac{1}{ω}=0\)

हम जानते हैं कि \(1 + {\rm{\omega }} + {{\rm{\omega }}^2} = 0{\rm{\;और \;}}{{\rm{\omega }}^3} = 1\) तो 

\(\begin{array}{l} \left( {1 - {{\rm{\omega }}^8}} \right)\left( {1 - {{\rm{\omega }}^4}} \right)\left( {1 - {{\rm{\omega }}^2}} \right)\left( {1 - {\rm{\omega }}} \right) = \left( {1 - {{\rm{\omega }}^2}} \right)\left( {1 - {\rm{\omega }}} \right)\left( {1 - {{\rm{\omega }}^2}} \right)\left( {1 - {\rm{\omega }}} \right)\\ = \left( {1 - {{\rm{\omega }}^2} - {\rm{\omega }} + {{\rm{\omega }}^3}{\rm{\;}}} \right)\left( {1 - {{\rm{\omega }}^2} - {\rm{\omega }} + {{\rm{\omega }}^3}} \right)\\ = \left( {2 - \left( {{\rm{\omega }} + {{\rm{\omega }}^2}} \right)} \right)\left( {2 - \left( {{\rm{\omega }} + {{\rm{\omega }}^2}} \right)} \right)\\ = \left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right)\left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right) = 9 \end{array}\)

संकल्पना:

एकत्व के घनमूल are 1, ω और ω2 हैं

जहाँ,

 \(ω = \frac{{ - \;1 + i\sqrt 3 }}{2}\;and\;{ω ^2} = \frac{{ - \;1\; - \;i\;\sqrt 3 }}{2}\)

\(1 + {ω ^n} + {ω ^{2n}} = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,\;if\;n\;is\;not\;multiple\;of\;3}\\ {3,\;if\;n\;is\;multiple\;of\;3} \end{array}} \right.\)

ω3 = 1

1 + ω + ω2 = 0

ω3n = 1

​गणना:

दिया हुआ:

Δ = \(\begin{bmatrix} 1 &ω & ω^{2n} \\ ω^2 & ω^{2n} & 1 \\ ω^{2n}& 1 & ω^{n} \end{bmatrix} \)

सारणिक को हल करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

Δ = 1 (ω²ⁿ ωⁿ - 1) - ω (ω2 ωn - ω2n) + ω2n (ω2 - ω2n ω²n)

Δ = (ω³n - 1) - (ω3 ωn - ω2n ω) + (ω2 ω2n - ω⁶n )

चूँकि ω3 = 1, ω3n = 1, ω6n = 1

Δ = 0 - ωn + ω2n ω + ω2 ω2n - 1

Δ = -1 - ωn +ω2n (ω + ω2)

चूँकि 1 + ω + ω2 = 0 ⇒ ω + ω2 = - 1

Δ = -1 - ωn - ω2n 

यदि n 3 का गुणज नहीं है तो:

Δ = -1 - ωn - ω2n  = 0

हम जानते हैं कि \(1 + {\rm{\omega }} + {{\rm{\omega }}^2} = 0{\rm{\;और \;}}{{\rm{\omega }}^3} = 1\) तो 

\(\begin{array}{l} \left( {1 - {{\rm{\omega }}^8}} \right)\left( {1 - {{\rm{\omega }}^4}} \right)\left( {1 - {{\rm{\omega }}^2}} \right)\left( {1 - {\rm{\omega }}} \right) = \left( {1 - {{\rm{\omega }}^2}} \right)\left( {1 - {\rm{\omega }}} \right)\left( {1 - {{\rm{\omega }}^2}} \right)\left( {1 - {\rm{\omega }}} \right)\\ = \left( {1 - {{\rm{\omega }}^2} - {\rm{\omega }} + {{\rm{\omega }}^3}{\rm{\;}}} \right)\left( {1 - {{\rm{\omega }}^2} - {\rm{\omega }} + {{\rm{\omega }}^3}} \right)\\ = \left( {2 - \left( {{\rm{\omega }} + {{\rm{\omega }}^2}} \right)} \right)\left( {2 - \left( {{\rm{\omega }} + {{\rm{\omega }}^2}} \right)} \right)\\ = \left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right)\left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right) = 9 \end{array}\)

संकल्पना:

एकत्व के घनमूल are 1, ω और ω2 हैं

जहाँ,

 \(ω = \frac{{ - \;1 + i\sqrt 3 }}{2}\;and\;{ω ^2} = \frac{{ - \;1\; - \;i\;\sqrt 3 }}{2}\)

\(1 + {ω ^n} + {ω ^{2n}} = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,\;if\;n\;is\;not\;multiple\;of\;3}\\ {3,\;if\;n\;is\;multiple\;of\;3} \end{array}} \right.\)

ω3 = 1

1 + ω + ω2 = 0

ω3n = 1

​गणना:

दिया हुआ:

Δ = \(\begin{bmatrix} 1 &ω & ω^{2n} \\ ω^2 & ω^{2n} & 1 \\ ω^{2n}& 1 & ω^{n} \end{bmatrix} \)

सारणिक को हल करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

Δ = 1 (ω²ⁿ ωⁿ - 1) - ω (ω2 ωn - ω2n) + ω2n (ω2 - ω2n ω²n)

Δ = (ω³n - 1) - (ω3 ωn - ω2n ω) + (ω2 ω2n - ω⁶n )

चूँकि ω3 = 1, ω3n = 1, ω6n = 1

Δ = 0 - ωn + ω2n ω + ω2 ω2n - 1

Δ = -1 - ωn +ω2n (ω + ω2)

चूँकि 1 + ω + ω2 = 0 ⇒ ω + ω2 = - 1

Δ = -1 - ωn - ω2n 

यदि n 3 का गुणज नहीं है तो:

Δ = -1 - ωn - ω2n  = 0

अवधारणा:

ω³ = 1 जहाँ ω एकत्व का घनमूल है।

ω³ - 1³ = 0

(ω - 1)(1 + ω + ω²) = 0

∴ ω = 1 और 1 + ω + ω² = 0

गणना:

दिया हुआ:

\(1\;+\;ω\;+\frac{1}{ω}\)

हम जानते हैं कि;

1 + ω + ω2 = 0

\(1\;+\;ω\;+\frac{ω^2}{1}=0\)

\(1\;+\;ω\;+\frac{ω^2}{ω^3}=0\)      [∵ ω³ = 1]

\(\therefore 1\;+\;ω\;+\frac{1}{ω}=0\)

अवधारणा:

इकाई के घन मूल 1, ω और ω2 हैं

यहाँ, ω = \(\frac{{ - \;1\; + \;i√ 3 }}{2}\)और ω2 = \(\frac{{ - \;1\; - \;i√ 3 }}{2}\)

इकाई के घनमूलों का गुण:

• ω3 = 1
• 1 + ω + ω2 = 0
• ω = 1 / ω 2 और ω2 = 1 / ω
• ω3n = 1

गणना​:

दिया गया है

 \(\left(\frac{i + \sqrt{3}}{-i + \sqrt{3}}\right)^{200}+ \left(\frac{i - \sqrt{3}}{-i + \sqrt{3}}\right)^{200}\)

दिए गए समीकरण के पहले भाग पर विचार करें

⇒ \((\frac{i +√{3}}{-i+√{3}})\times(\frac{i +√{3}}{i+√{3}})\)

⇒ \(\frac{(i+√{3})^2}{(√{3}-i)(√{3}+i)}\)

हम जानते हैं कि (a  - b)(a + b) = a2 - b2 और i² = √-1

⇒ \(\frac{2+2√{3}i}{4}\)    

⇒ \(\frac{1+√{3}}{2} = -(\frac{-1-√{3}}{2})=-ω^2\)       ----- (1)

दिए गए समीकरण के दूसरे भाग पर विचार करें

⇒ \((\frac{i -√{3}}{i+√{3}})\times(\frac{i -√{3}}{i-√{3}})\)

⇒ \(\frac{(i-√{3})^2}{(i^2-(√{3})^2)} = \frac{-1+i√{3}}{2}=ω\)         ----- (2)

दिए गए समीकरण में समीकरण (1) और (2) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

⇒ \((-ω^2)^{200} + ω^{200} +1\)

⇒ \(ω^{400}+ω^{200}+1\)

⇒ \(ω^{3\times133+1} + ω^{3\times66 +2}+1\)

हम जानते हैं कि \(\omega^3 =1\)

⇒ \(\omega^2+\omega +1 = 0\)

∴ \(\left(\frac{i + √{3}}{-1 + √{3}}\right)^{200}+ \left(\frac{i - √{3}}{-1 + √{3}}\right)^{200}+1\) का मान है

संकल्पना:

1 + ω + ω² = 0

ω³ = 1

गणना: 

हम दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं

⇒ \(\frac{\omega( a \ + \ b \omega \ + \ c\omega^2)}{(c\omega \ + \ a \omega^2 \ + \ b)} + \frac{a \ + \ b \omega \ + \ c\omega^2}{b \ + \ c \omega \ + \ a\omega^2} \)

⇒ \(\frac{( a \ + \ b \omega \ + \ c\omega^2) (\omega + 1)}{(c\omega \ + \ a \omega^2 \ + \ b)} \)

⇒ \(\frac{( a \ + \ b \omega \ + \ c\omega^2) (-\omega^2)}{(c\omega \ + \ a \omega^2 \ + \ b)} \)

⇒ \(-\frac{( a\omega^2 \ + \ b \ + \ c\omega)}{(c\omega \ + \ a \omega^2 \ + \ b)} \)

⇒ -1

∴ अभीष्ट मान -1 है।