Singularities MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Singularities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

फलन \(f(z) = \frac{\sin(z)}{z^3}\) पर विचार करते है

फलन sin(z) का z = 0 के आसपास निम्नलिखित मैकलॉरिन श्रेणी प्रसार है:

\(\sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots\)

अब, f(z) के लिए लॉरेंट श्रेणी प्राप्त करने के लिए इसे z³ से विभाजित करते हैं:

\(f(z) = \frac{\sin(z)}{z^3} = \frac{z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots}{z^3} \)

⇒ \(f(z) = \frac{1}{z^2} - \frac{1}{3!} + \frac{z^2}{5!} - \cdots\)

यहाँ, लॉरेंट श्रेणी में 1/z² (z की एक ऋणात्मक घात) का पद है, लेकिन इससे आगे कोई ऋणात्मक घात नहीं है।

यह इंगित करता है कि z = 0 कोटि 2 का ध्रुव है।

1) यदि लॉरेंट श्रेणी में z की कोई ऋणात्मक घात नहीं है, तो एक सुधार योग्य विलक्षणता होती है।

चूँकि, f(z) में 1/z² ऋणात्मक घात है, इसलिए यह कथन गलत है।

2) यदि लॉरेंट श्रेणी में 1/z के रूप का ठीक एक पद है, तो एक साधारण ध्रुव होता है।

चूँकि f(z) की लॉरेंट श्रेणी में 1/z² का पद है, इसलिए यह कथन गलत है।

3) यदि लॉरेंट श्रेणी में 1/z² का पद है और इससे अधिक ऋणात्मक घात वाले कोई पद नहीं हैं, तो कोटि 2 का ध्रुव होता है।

यह f(z) के लिए बिल्कुल सही है, इसलिए यह कथन सही है।

4) यदि लॉरेंट श्रेणी में z की अनंत ऋणात्मक घातें हैं, तो एक आवश्यक विलक्षणता होती है।

चूँकि f(z) की लॉरेंट श्रेणी में केवल 1/z² ऋणात्मक घात वाला एक पद है, इसलिए यह कथन गलत है।

इस प्रकार, सही उत्तर (3) है।

संप्रत्यय:

एक बिंदु \(z_0\) एक अनिवार्य विचित्रता है यदि f(z) का \(z_0\) के चारों ओर लॉरेंट श्रेणी प्रसार

अनंत रूप से कई ऋणात्मक घात पद रखता है | विशेष रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\( f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n\) जहाँ n < 0 के लिए \( a_n\) सभी शून्य नहीं हैं|

एक बिंदु \(z_0\) एक अपनेय विचित्रता है यदि \( \lim_{z \to z_0} f(z) = L \quad \text{(finite limit)}\)

जहाँ L एक सम्मिश्र संख्या है | यदि हम \( f(z_0) = L,\) को परिभाषित करते हैं, तो f(z) \(z_0\) पर वैश्लेषिक हो जाता है।

व्याख्या:

\( z \in \mathbb{C} \setminus \{0\} \) के लिए, मान लीजिए \(f(z) = \frac{1}{z} \sin\left(\frac{1}{z}\right)\) और g(z) = f(z)sin (z) है |

फलन \(f(z) = \frac{1}{z} \sin\left(\frac{1}{z}\right) \):

\(z \to 0 \) के रूप में \(f(z)\) के व्यवहार का विश्लेषण करने के लिए, \(\sin(x) \) के टेलर श्रेणी प्रसार पर विचार करें:

\(\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\)

\(x = \frac{1}{z}\) प्रतिस्थापित करने पर:

\( \sin\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{1}{z} - \frac{1}{6z^3} + \frac{1}{120z^5} - \cdots\)

इसलिए,

\( f(z) = \frac{1}{z} \left(\frac{1}{z} - \frac{1}{6z^3} + \frac{1}{120z^5} - \cdots\right) = \frac{1}{z^2} - \frac{1}{6z^4} + \frac{1}{120z^6} - \cdots\)
चूँकि \(z \to 0 \) है, f(z) अनंत रूप से दोलायमान व्यवहार प्रदर्शित करता है, यह दर्शाता है कि f(z) में z = 0 पर एक अनिवार्य विचित्रता है।

2. फलन \(g(z) = f(z) \sin(z) \):

z = 0 के पास, \(\sin(z)\) z की तरह व्यवहार करता है, इसलिए

\(g(z) = \left(\frac{1}{z} \sin\left(\frac{1}{z}\right)\right) \sin(z) \approx \left.(\frac{1}{z^2} - \frac{1}{6z^4} + \frac{1}{120z^6} - \cdots)\cdot \left(z - \frac{z^3}{6} + \cdots\right)\right)\)

चूँकि \(\frac{sinz}{z} \) लगभग 1 के बराबर है जब \(z \to 0 \)

इसलिए g(z) में z = 0 पर अनिवार्य विचित्रता है। 

विकल्प 1: f का 0 पर एक अनिवार्य विचित्रता है: सत्य है।

विकल्प 2: g का 0 पर एक अनिवार्य विचित्रता है: सत्य है।

विकल्प 3: f का 0 पर एक अपनेय विचित्रता है: असत्य है।

विकल्प 4: g का 0 पर एक अपनेय विचित्रता है: असत्य है।

सत्य कथन विकल्प 1) और 2) हैं।

संकल्पना:

किसी समिश्र फलन के विशिष्टता बिंदुओं के समुच्चय का सीमांत बिंदु फलन की एक अवियुक्‍त अनिवार्य अव्युत्क्रमणीय है।

स्पष्टीकरण:

f(z) = cot\(\frac{1}{z}\) = \({\cos \frac{1}{z}\over \sin \frac{1}{z}}\)

f(z) में अव्युत्क्रमणीय है,

sin\(\frac{1}{z}\) = 0 अर्थात, \(\frac{1}{z}\) = nπ अर्थात, z = \(1\over nπ\), n ∈ \(\mathbb Z\)

अब, \(\lim_{n\to\infty}{1\over nπ}\) = 0

चूँकि विशिष्टता बिंदुओं के समुच्चय का सीमांत बिंदु 0 है, इसलिए f(z) में z = 0 पर अनिवार्य अव्युत्क्रमणीय है। 

अतः (4) सही है। 

संकल्पना:

• एक समिश्र फलन f(z) है।  

(i) यदि \(\lim_{z\to a}f(z)\) विद्यमान है, तो z = a पर एक विस्थापनीय अव्युत्क्रमणीयता है। 

(ii) z = a पर कोटि m का एक ध्रुव यदि \(\lim_{z\to a}(z-a)^mf(z)\) ≠ 0 और \(\lim_{z\to a}f(z)\) = ∞

(iii) z = a पर एक अनिवार्य अव्युत्क्रमणीयता है, यदि \(\lim_{z\to a}f(z)\) विद्यमान नहीं है। 

• एक समिश्र फलन f(z) = f(z)/h(z) के ध्रुवों को मूल्यवर्ग h(z) के शून्य के बराबर करके प्राप्त किया जाता है।
• एक समिश्र फलन f(z) के सरल ध्रुवों का सीमा बिंदु एक अव्युत्क्रमणीयता है।

स्पष्टीकरण:

माना f(z) = \(\frac{\cot π z}{(z-a)^2}\) = \(\frac{\cos π z}{(z-a)^2\sinπ z}\)

f(z) के ध्रुव हर के शून्य के बराबर करके प्राप्त किए जाते हैं। अर्थात,

\((z-a)^2\sin π z\) = 0

⇒ (z - a)² = 0, sin πz = 0

⇒ z = a, πz = nπ, n ∈ \(\mathbb Z\)

⇒ z = a, z = n,  n ∈ \(\mathbb Z\)

इसलिए f(z) का z = a पर कोटि 2 का एक ध्रुव है और z = n, n ∈ A पर सरल ध्रुव हैं अर्थात, f(z) में z = 0, ± 1, ± 2, ... पर सरल ध्रुव हैं।

(1), (2), (3) असत्य है। 

अब, \(\lim_{n\to\infty}n\) = ∞

अतः z = ∞ एक अवियुक्‍त अनिवार्य अव्युत्क्रमणीयता है।

अतः (4) सही है। 

संकल्पना:

एक जटिल फलन f(z) है,

(i) यदि \(\lim_{z\to a}f(z)\) विद्यमान है तो z = a पर एक विस्थापनीय अव्युत्क्रमणीयता 

(ii) z = a पर कोटि m का एक ध्रुव यदि \(\lim_{z\to a}(z-a)^mf(z)\) ≠ 0 और \(\lim_{z\to a}f(z)\) = ∞

(iii) z = a पर एक अनिवार्य अव्युत्क्रमणीयता है, यदि \(\lim_{z\to a}f(z)\) विद्यमान नहीं है। 

स्पष्टीकरण:

f(z) = \(\frac{e^z+1}{e^z-1}\)

\(\lim_{z\to 0}f(z)\) = \(\lim_{z\to0}\frac{e^z+1}{e^z-1}\) = \(\frac{1+1}{1-1}\) = ∞

अतः f(z) का एक ध्रुव z = 0 पर है,

अतः (2) सही है। 

अवधारणा:

दिया गया है \(\mathop \oint \limits_C^\; \frac{1}{{5z - 4}}dz = A\pi i\) 

\(\mathop \oint \limits_C^\; \frac{1}{{5z - 4}}dz = \frac{1}{5}\mathop \oint \limits_C^\; \frac{1}{{z - \frac{4}{5}}}\)

यहाँ ध्रुव \(z = \frac{4}{5 }\) पर है।

इस प्रकार, \(\mathop \oint \limits_C^\; \frac{1}{{5z - 4}}dz = \frac{{2\pi i}}{5}\lim z \to \frac{4}{5}\left\{ {\frac{{z - \frac{4}{5}}}{{z - \frac{4}{5}}}} \right\}\)

दिया गया है,

\(A\pi i = \frac{{2\pi i}}{5} \times 1\)

\(A = \frac{2}{5}\)

संकल्पना:

ध्रुव:

वह मान जिसके लिए f(z) अस्तित्व में नहीं रहता है अर्थात वह मान जिस पर फलन का हर f(z) = 0 होता है।

जब किसी ध्रुव का क्रम 1 होता है, तो उसे साधारण ध्रुव के रूप में जाना जाता है।

वह बिंदु जहां फलन परिभाषित नहीं है, अर्थात वह मान जहां f(z) असंतत है, विचित्रताएं कहलाती हैं।

गणना:

दिया गया है:

विश्लेषिक फलन

\(\begin{array}{l} f\left( z \right) = \frac{{z - 1}}{{{z^2} + 1}}\\ f\left( z \right) = \frac{{z - 1}}{{\left( {z - i} \right)\left( {z + i} \right)}} \end{array}\)

फलन को z = i या z = -i पर परिभाषित नहीं किया गया है। 

अर्थात फलन की विचित्रताओं का बिंदु क्रमशः i और -i है।

संकल्पना:

1. z₀→ \(\left( z-{{z}_{0}} \right){{\left. f\left( z \right) \right|}_{z={{z}_{0}}}}=0\) पर विस्थापनीय अव्युत्क्रमणीयता

2. z₀ → \(\left( z-{{z}_{0}} \right)f(z{{\left. ) \right|}_{z\to {{z}_{0}}}}\) = परिमित मान पर सरल ध्रुव

3. अनिवार्य अव्युत्क्रमणीयताएँ → बहुत ऊँची कोटि का ध्रुव (या अपरिमित)

गणना:

दिया गया है \(f\left( z \right)=\frac{1}{\cos z-\sin z}=\frac{(\cos z+\sin z)}{{{\cos }^{2}}z-{{\sin }^{2}}z}\)

\(\Rightarrow f\left( z \right)=\frac{(\cos z+\sin z)}{\cos 2z}\) (चूँकि cos² θ – sin² θ = cos 2 θ)

\(z=t+\frac{\pi }{4}\) रखने पर इसलिए हम निम्न पर अव्युत्क्रमणीयता प्राप्त कर सकते हैं

\(z=\frac{\pi }{4}\) (t → 0)

\(f{{\left. \left( z \right) \right|}_{z=t+\frac{\pi }{4}}}=-g\left( t \right)\cdot \frac{1}{\left[ 2t-\frac{{{\left( 2t \right)}^{3}}}{3!}+\frac{{{\left( 2t \right)}^{5}}}{5!}+\ldots \right]}=-\frac{-g\left( t \right)}{\left( t \right)\left[ 2-\frac{{{\left( 2 \right)}^{3}}{{t}^{2}}}{3!}+\frac{{{2}^{8}}\cdot {{t}^{4}}}{5!} \right]}\)

उपरोक्त से यह स्पष्ट है कि

\(f({{\left. z) \right|}_{z=t+\frac{\pi }{4}}}\) का t = 0 पर एक सरल ध्रुव है।

संकल्पना:

1. z0 पर अपनेय विचित्रताएँ → \(\left( z-{{z}_{0}} \right)\) \(\\{{\left. f\left( z \right) \right|}_{z={{z}_{0}}}}=0\)

2. z0 पर सरल ध्रुव → \(\left( z-{{z}_{0}} \right)\) \(\\{{\left. f\left( z \right) \right|}_{z={{z}_{0}}}}\) = अनंत मान

3. अनिवार्य विचित्रताएँ → कोटि का ध्रुव बहुत उच्च (या अनंत)

गणना:

माना z – 1 = t;

तब फलन होगा

\(\left( {z - 1} \right)\sin \frac{1}{{z - 1}} = t\sin \frac{1}{t}\)

sin x के मानक विस्तार का उपयोग करने पर;

⇒ \(t\left[ {\frac{1}{t} - \frac{1}{{3!{t^3}}} + \frac{1}{{5!{t^5}}} - \frac{1}{{7!{t^7}}} + \ldots } \right]\)

⇒ \(1 - \frac{1}{{3!{t^2}}} + \frac{1}{{5!{t^4}}} - \ldots \)

⇒ \(\Rightarrow 1 - \frac{1}{{3!{{\left( {z - 1} \right)}^2}}} + \frac{1}{{5!{{\left( {z - 1} \right)}^4}}} - \ldots \) 

गणना:

\({\rm{f}}\left( {\rm{z}} \right) = \frac{{\sin {\rm{z}}}}{{{{\rm{z}}^3}}} = \frac{1}{{{{\rm{z}}^3}}}\left[ {{\rm{z}} - \frac{{{{\rm{z}}^3}}}{{3!}} + \frac{{{{\rm{z}}^5}}}{{5!}} \ldots .} \right]\)

\( = \frac{1}{{{{\rm{z}}^2}}} - \frac{1}{{3!}} + \frac{{{{\rm{z}}^2}}}{{5!}} - \frac{{{{\rm{z}}^4}}}{{7!}} + \ldots \)

\({\rm{z}} = 0\) कोटि 2 का एक ध्रुव है।

संकल्पना:

1. z0 पर स्थानान्तरणीय विलक्षणता → \(\left( z-{{z}_{0}} \right){{\left. f\left( z \right) \right|}_{z={{z}_{0}}}}=0\)

2. z0 पर साधारण ध्रुव → \(\left( z-{{z}_{0}} \right)f(z{{\left. ) \right|}_{z\to {{z}_{0}}}}\) = सीमित मान 

3. अनिवार्य विलक्षणता → कोटि का ध्रुव बहुत उच्च (या अनंत) है। 

गणना:

\(\begin{array}{l} \left( {z + 1} \right)\sin \frac{1}{{\left( {z - 1} \right)}} = \left( {t + 2} \right)\sin \left( {\frac{1}{t}} \right)\\ \left\{ {here\ {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}z - 1} \right\}\\ = \left( {t + 2} \right)\left\{ {\frac{1}{t} - \frac{1}{{3{t^3}}} + \frac{1}{{5{t^5}}} - \frac{1}{{7{t^7}}} \ldots .} \right\}\\ = \left\{ {1 - \frac{1}{{3{t^2}}} + \frac{1}{{5{t^4}}} \ldots .} \right\} + 2\left\{ {\frac{1}{t} - \frac{1}{{3{t^3}}} + \frac{1}{{5{t^5}}} \ldots .} \right\}\\ = 1 + \frac{2}{t} - \frac{1}{{3{t^2}}} - \frac{2}{{3{t^3}}} + \frac{1}{{5{t^4}}} \ldots .\\ = 1 + \frac{2}{{z - 1}} - \frac{1}{{3{{\left( {z - 1} \right)}^2}}} - \frac{2}{{3{{\left( {z - 1} \right)}^3}}} \ldots . \ldots . \end{array}\)

 (z-1) के ऋणात्मक घांतों की अनंत संख्या हैं, अतः z = 1 अनिवार्य विलक्षणता है। 

अवधारणा:

दिया गया है \(\mathop \oint \limits_C^\; \frac{1}{{5z - 4}}dz = A\pi i\) 

\(\mathop \oint \limits_C^\; \frac{1}{{5z - 4}}dz = \frac{1}{5}\mathop \oint \limits_C^\; \frac{1}{{z - \frac{4}{5}}}\)

यहाँ ध्रुव \(z = \frac{4}{5 }\) पर है।

इस प्रकार, \(\mathop \oint \limits_C^\; \frac{1}{{5z - 4}}dz = \frac{{2\pi i}}{5}\lim z \to \frac{4}{5}\left\{ {\frac{{z - \frac{4}{5}}}{{z - \frac{4}{5}}}} \right\}\)

दिया गया है,

\(A\pi i = \frac{{2\pi i}}{5} \times 1\)

\(A = \frac{2}{5}\)

संकल्पना:

ध्रुव:

वह मान जिसके लिए f(z) अस्तित्व में नहीं रहता है अर्थात वह मान जिस पर फलन का हर f(z) = 0 होता है।

जब किसी ध्रुव का क्रम 1 होता है, तो उसे साधारण ध्रुव के रूप में जाना जाता है।

वह बिंदु जहां फलन परिभाषित नहीं है, अर्थात वह मान जहां f(z) असंतत है, विचित्रताएं कहलाती हैं।

गणना:

दिया गया है:

विश्लेषिक फलन

\(\begin{array}{l} f\left( z \right) = \frac{{z - 1}}{{{z^2} + 1}}\\ f\left( z \right) = \frac{{z - 1}}{{\left( {z - i} \right)\left( {z + i} \right)}} \end{array}\)

फलन को z = i या z = -i पर परिभाषित नहीं किया गया है। 

अर्थात फलन की विचित्रताओं का बिंदु क्रमशः i और -i है।

संकल्पना:

किसी समिश्र फलन के विशिष्टता बिंदुओं के समुच्चय का सीमांत बिंदु फलन की एक अवियुक्‍त अनिवार्य अव्युत्क्रमणीय है।

स्पष्टीकरण:

f(z) = cot\(\frac{1}{z}\) = \({\cos \frac{1}{z}\over \sin \frac{1}{z}}\)

f(z) में अव्युत्क्रमणीय है,

sin\(\frac{1}{z}\) = 0 अर्थात, \(\frac{1}{z}\) = nπ अर्थात, z = \(1\over nπ\), n ∈ \(\mathbb Z\)

अब, \(\lim_{n\to\infty}{1\over nπ}\) = 0

चूँकि विशिष्टता बिंदुओं के समुच्चय का सीमांत बिंदु 0 है, इसलिए f(z) में z = 0 पर अनिवार्य अव्युत्क्रमणीय है। 

अतः (4) सही है। 

संकल्पना:

मान लीजिए f(z) = \(\frac{g(z)}{h(z)}\) एक समिश्र फलन है। तब f(z) का ध्रुव h(z) = 0 द्वारा दिया जाता है, जहाँ g(z) ≠ 0 और \(\lim_{z\to0}f(z)= \infty\) है

स्पष्टीकरण: 

f(z) = \(\frac{\sin (\frac{π z}{2})}{\sin π z}\)

f(z) के ध्रुव इस प्रकार दिए गए हैं

sin(πz) = 0 

⇒ sin(πz) = sin(nπ), n ∈ \(\mathbb Z\)  

⇒ πz = nπ, n ∈ \(\mathbb Z\)

⇒ z = n, n ∈ \(\mathbb Z\) 

अब, सभी सम पूर्णांकों के लिए, \(\sin (\frac{π z}{2})\) = 0

और सभी विषम पूर्णांकों के लिए \(\sin (\frac{π z}{2})\) ≠ 0

अतः f(z) में सभी विषम पूर्णांकों पर ध्रुव है। 

अतः (3) सही है।