Conditional Probability MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Conditional Probability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

$P(A)=\frac{1}{3}$

$P(B)=\frac{1}{2}$

$P(A\cap B)=\frac{1}{4}$

हमें $P(A^C\cap B^C)$ की गणना करने की आवश्यकता है, जिसकी प्रायिकता न तो A और न ही B घटित होती है।

पूरक नियम का उपयोग करने पर:

$P(A^C\cap B^C)=1-P(A\cup B)$

अब, $(P(A\cup B)$ ज्ञात करने के लिए समावेश-अपवर्जन सूत्र लागू करें:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$

सरल करने पर:

$P(A\cup B)=\frac{4}{12}+\frac{6}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

अब, $P(A^C\cap B^C)$ की गणना करने पर:

$P(A^C\cap B^C)=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

A, B और C के प्रबंधक बनने की प्रायिकताएँ हैं:

$P(A)=\frac{3}{10},P(B)=\frac{1}{2},P(C)=\frac{4}{5}$

अधिलाभ योजना लागू होने की सप्रतिबंध प्रायिकताएँ हैं:

$P(D|A)=\frac{4}{9},P(D|B)=\frac{2}{9},P(D|C)=\frac{1}{3}$

हमें बेज़ प्रमेय का उपयोग करके यह ज्ञात करने की आवश्यकता है कि अधिलाभ योजना लागू होने पर B प्रबंधक होने की प्रायिकता क्या है:

$P(B|D)=\frac{P(D|B)P(B)}{P(D)}$

सबसे पहले, कुल प्रायिकता P(D) की गणना करें कि अधिलाभ योजना लागू की गई है:

$P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)$

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$P(D)=(\frac{4}{9}\times \frac{3}{10})+(\frac{2}{9}\times \frac{1}{2})+(\frac{1}{3}\times \frac{4}{5})$

सरलीकरण करने पर:

$P(D)=\frac{12}{90}+\frac{2}{18}+\frac{4}{15}$

एक उभयनिष्ठ हर (LCD = 90) ज्ञात करें:

$P(D)=\frac{12}{90}+\frac{10}{90}+\frac{24}{90}=\frac{46}{90}=\frac{23}{45}$

अब, P(B|D) ज्ञात करने के लिए बेयस प्रमेय का उपयोग करने पर:

$P(B|D)=\frac{P(D|B)P(B)}{P(D)}=\frac{(\frac{2}{9}\times \frac{1}{2})}{\frac{23}{45}}$

सरलीकरण करने पर:

$P(B|D)=\frac{\frac{2}{18}}{\frac{23}{45}}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{23}{45}}=\frac{5}{23}$

यह प्रायिकता कि नियुक्त प्रबंधक B था, यह देखते हुए कि अधिलाभ योजना लागू की गई है, 5/23 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

A, B और C के प्रबंधक बनने की प्रायिकताएँ हैं:

$P(A)=\frac{3}{10},P(B)=\frac{1}{2},P(C)=\frac{4}{5}$

अधिलाभ योजना लागू होने की सप्रतिबंध प्रायिकताएँ हैं:

$P(D|A)=\frac{4}{9},P(D|B)=\frac{2}{9},P(D|C)=\frac{1}{3}$

अधिलाभ योजना लागू होने की कुल प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

$P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)$

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

$P(D)=(\frac{4}{9}\times \frac{3}{10})+(\frac{2}{9}\times \frac{1}{2})+(\frac{1}{3}\times \frac{4}{5})$

अब, पदों को सरल बनाने पर:

$P(D)=\frac{12}{90}+\frac{2}{18}+\frac{4}{15}$

लघुतम सार्व हर (LCD) 90 है। इसलिए:

$P(D)=\frac{12}{90}+\frac{10}{90}+\frac{24}{90}$

भिन्नों को जोड़ने पर प्राप्त होता है:

$P(D)=\frac{46}{90}=\frac{23}{45}$

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

A, B और C तीन परस्पर अपवर्जी एवं निश्‍शेष घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(B) = $\frac{3}{2}$P(A) और P(C) = $\frac{1}{2}$P(B) हैं। 

संकल्पना​:

यदि A, B और C तीन परस्पर अपवर्जी एवं निश्‍शेष घटनाएँ घटनाएँ हैं, तब-

P (A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1

हल:

प्रश्न के अनुसार,

A, B, और C तीन परस्पर अपवर्जी एवं निश्‍शेष घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(B) = $\frac{3}{2}$P(A) और P(C) = $\frac{1}{2}$P(B) हैं। 

P (A U B U C) = P(A) + $\frac{3}{2}P(A)$ + $\frac{1}{2}P(B)$

P (A U B U C) = P(A) + $\frac{3}{2}P(A)$ + $\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}P(A)$

P (A U B U C) = P(A) + $\frac{3}{2}P(A)$ + $\frac{3}{4}P(A)$

P (A U B U C) =  $\frac{13}{4}P(A)$

साथ ही,

P (A U B U C) = 1

$$\begin{gathered} \frac{13}{4}P(A)=1 \\ P(A)=\frac{4}{13} \end{gathered}$$

अतः विकल्प 4 सही है।

संप्रत्यय:

सप्रतिबंध प्रायिकता:

• सप्रतिबंध प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है, यह देखते हुए कि कोई अन्य घटना पहले ही घटित हो चुकी है। इसे P(A | B) से दर्शाया जाता है, जो घटना B के पहले ही घटित हो जाने पर घटना A के घटित होने की प्रायिकता को दर्शाता है।
• सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:
  • P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
• जहाँ:
  • P(A ∩ B) घटना A और B दोनों के घटित होने की प्रायिकता है।
  • P(B) घटना B के घटित होने की प्रायिकता है।
• इस समस्या में, हमें निम्नलिखित घटनाएँ दी गई हैं:
  • A: तीसरे उछाल पर 6।
  • B: पहले उछाल पर 4 और दूसरे उछाल पर 5।
• हमें घटना B के पहले ही घटित हो जाने पर घटना A के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है।

गणना:

चरण 1: सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र

हम सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हैं:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

चरण 2: P(B) ज्ञात करें

घटना B तब घटित होती है जब:

• पहले उछाल पर 4 आता है।
• दूसरे उछाल पर 5 आता है।

प्रत्येक घटना के घटित होने की प्रायिकता है:

• पहले उछाल पर 4 प्राप्त करने की प्रायिकता = 1/6
• दूसरे उछाल पर 5 प्राप्त करने की प्रायिकता = 1/6

चूँकि उछाल स्वतंत्र हैं, घटना B की प्रायिकता है:

P(B) = (1/6) x (1/6) = 1/36

चरण 3: P(A ∩ B) ज्ञात करें

घटना A ∩ B तब घटित होती है जब:

• पहले उछाल पर 4 आता है (घटना B के लिए)।
• दूसरे उछाल पर 5 आता है (घटना B के लिए)।
• तीसरे उछाल पर 6 आता है (घटना A के लिए)।

प्रत्येक घटना के घटित होने की प्रायिकता है:

• पहले उछाल पर 4 प्राप्त करने की प्रायिकता = 1/6
• दूसरे उछाल पर 5 प्राप्त करने की प्रायिकता = 1/6
• तीसरे उछाल पर 6 प्राप्त करने की प्रायिकता = 1/6

चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, A ∩ B की प्रायिकता है:

P(A ∩ B) = (1/6) × (1/6) × (1/6) = 1/216

चरण 4: P(A | B) की गणना करें

अब, हम सप्रतिबंध प्रायिकता की गणना कर सकते हैं:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) = (1/216) / (1/36) = 1/6

चरण 5: निष्कर्ष

यदि B पहले ही घटित हो चुकी है, तो A की प्रायिकता है:

P(A | B) = 1/6

∴ सही उत्तर विकल्प (1): 1/6 है। 

संकल्पना:

• $\mathrm{P}(\mathrm{A}|\mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$
• $\mathrm{P}(\mathrm{B}|\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}$
• A ⊂ B = उचित उपसमुच्चय: A का प्रत्येक अवयव B में है, लेकिन B में अधिक अवयव हैं।
• ϕ = रिक्त समुच्चय = {}

गणना:

दिया गया है: P(B/A) = 1

⇒ $\mathrm{P}(\mathrm{B}|\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=1$

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

इसलिए A का प्रत्येक अवयव B में है, लेकिन B में अधिक अवयव हैं।

∴ A ⊂ B

धारणा:

माना कि A और B को यादृच्छिक प्रयोग से जुड़ी कोई दो घटनाएँ हैं। फिर उस स्थिति, जहाँ B पहले ही हो चुकी हो जैसे कि P(B) ≠ 0, के तहत घटना A के घटन की प्रायिकता सप्रतिबन्ध प्रायिकता कहलाती है और P (A | B ) द्वारा दर्शायी जाती है|

यानी $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

उसी प्रकार, $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)},whereP\left(A\right)\ne 0$

गणना:

माना कि b लड़के का प्रतीक है और g लड़की का।

प्रतिचयन स्थान S =  {(b, b), (b, g), (g, g), (g, b)}

माना कि A = दोनों बच्चे लड़के हैं

माना कि B = बच्चों में से कम से कम एक लड़का है।

यानी A = {(b, b)}, B = {(b, b), (b, g), (g, b)} और A ∩ B = {(b, b)}

⇒ P (B) = 3/4 और P (A ∩ B) = 1/34जैसा कि हम जानते हैं कि $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

⇒ P (A | B) = 1/3

व्याख्या

यदि घटना B घटित होने से घटना A के घटित होने की प्रायिकता नहीं बदलती है, और घटना A और B स्वतंत्र घटना हैं तो

⇒ P(A I B) = P(A)

बेयस के प्रमेय के अनुसार यह A और B, P(A) और P(B) की संभावनाओं के बीच संबंध बताता है और A की सशर्त प्रयिकताएँ  B और B, A देता है।

⇒ P(A I B) और P(B I A)

⇒ P(A I B) = P(B I A).P(A)/P(B)

⇒ P(B I A) = P(A ∩ B)/P(A)

⇒ P(A ∩ B) = P(A).P(B)

⇒ P(A I B) = P(A ∩ B).P(A)/P(A). P(B)

⇒ P(A I B) = P(A). P(B).P(A)/P(A).P(B)

⇒ P(A I B) = P(A)

संकल्पना:

दो घटनाओं A और B के लिए:

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• B दी गई A की सप्रतिबन्ध प्रायिकता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:  P(B|A) = ${\displaystyle \frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}}$ , जब P(A)> 0

गणना:

P(B|A) = ${\displaystyle \frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}}$ हम प्राप्त करते हैं:

0.6 = ${\displaystyle \frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{0.4}}$

⇒ P(A ∩ B) = 0.24

अब P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) के संबंध का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

P(A ∪ B) = 0.4 + 0.8 - 0.24 = 0.96

अवधारणा:

$\mathrm{P}(\mathrm{A}|\mathrm{B})={\displaystyle \frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}}$

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

गणना:

दिया गया है कि P(A) = L और P(B) = M

यहाँ P(A ∪ B) ≤ 1 (∵ प्रायिकता का अधिकतम मान 1 है)

P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ≤ 1

L + M - P(A ∩ B) ≤ 1

P(A ∩ B) ≥ L + M - 1

अब $\mathrm{P}(\mathrm{A}|\mathrm{B})={\displaystyle \frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}}$

$\mathrm{P}(\mathrm{A}|\mathrm{B})\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{L}+\mathrm{M}-1}{\mathrm{M}}}$

दिया गया है:

केतली A में 3 नीली और 4 हरी गेंदें हैं

केतली B में 5 नीली और 6 हरी गेंदें होती हैं

एक केतली से यादृच्छया निकाली गई एक गेंद नीली थी

संकल्पना:

बेय की प्रमेय:

हल:

मान लीजिए कि निकाली गई गेंद के नीले होने की घटना B है और E₁ यह घटना है कि गेंद केतली 1 से निकाली गई है और E₂ घटना है कि गेंद केतली 2 से निकाली गई है।

∴ P(B) = P(B ∩ E1) + P(B ∩ E₂)

⇒ P(B) = $\frac{1}{2}\times \frac{3}{7}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{11}$

= 34/77

∴ P(E₂/B) = $\frac{P(E_1\cap B)}{P(B)}=\frac{P(E_2)P(B/E_2))}{P(B)}$

= $\frac{\frac{1}{2}\times \frac{5}{11}}{\frac{34}{77}}$

= 35/68

संकल्पना:

कुल संभव परिणाम N में से एक घटना A के घटित होने की प्रायिकता को: P(A) = $\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{N}}$ द्वारा ज्ञात किया गया है, जहाँ n(A) घटना A के घटित होने के तरीकों की संख्या है। 

गणना:

जब तीन पासों को एकसाथ उछाला जाता है, तो कुल प्रतिदर्श समष्‍टि में 216 तत्व हैं। 

माना कि हम घटना A को इस प्रकार परिभाषित करते हैं जिससे पासे पर संख्याओं का योग 6 है। 

A = (2,2,2), (2,1,3), (2,3,1), (1,3,2), (1,2,3), (3,1,2), (3,2,1), (1,1,4), (4,1,1), (1,4,1)

माना कि B सभी तीन पासों में संख्या 2 प्राप्त करने की घटना है ⇒ (2,2,2)

चूँकि यह दिया गया है कि घटना A पहले ही घटित हो चुकी है, अर्थात् प्रत्येक पासे पर संख्याओं का योग 6 है, हमारे पास 10 स्थितियां हैं जिसमें से केवल एक (2,2,2) अनुकूल परिणाम है। 

P(B) = $\frac{1}{10}$

दिया गया:

P(A नहीं) = $\frac{7}{10}$, और P(B नहीं) = $\frac{3}{10}$

P(A|B) = $\frac{3}{14}$

प्रयुक्त सूत्र:

• $\mathrm{P}(\mathrm{B}|\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}$
• $\mathrm{P}(\mathrm{A}|\mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$
• P(A) = 1 - P(A नहीं)
• P(B) = 1 - P(B नहीं)

गणना:

हमारे पास है

$\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=0.3,\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})=0.7$

⇒ P(B) = 1 - 0.3 = 0.7 और

P(A) = 1 - 0.7 = 0.3

⇒ P(A) = 0.3      ----(1)

हम जानते हैं कि,

$\mathrm{P}(\mathrm{A}|\mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$

⇒ $\frac{3}{14}$ = $\frac{P(A\cap B)}{0.7}$       (∵ P(A|B) = $\frac{3}{14}$)

⇒ $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})$ = 0.15      ----(2)   

हम जानते हैं कि,

$\mathrm{P}(\mathrm{B}|\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}$

⇒ P(B|A) = $\frac{0.15}{0.3}$        [समीकरण (1) और (2) से]

⇒ P(B|A) = 0.5 = $\frac{1}{2}$

∴  P(B|A), $\frac{1}{2}$ के बराबर है 

संकल्पना:

माना कि दो घटनाएं A और B है

$\mathrm{P}(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$

$\mathrm{P}(\mathrm{A})=1-\mathrm{P}({\mathrm{A}}^{\prime })$

$\mathrm{P}({\mathrm{A}}^{\prime }\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})$

गणना:

यहाँ, $\mathrm{P}({\mathrm{A}}^{\prime })=\frac{1}{3},\mathrm{P}({\mathrm{B}}^{\prime })=\frac{2}{3}$ और $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\frac{1}{5}$

$\mathrm{P}(\mathrm{B})=1-\mathrm{P}({\mathrm{B}}^{\prime })=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$                     (∵ $\mathrm{P}(\mathrm{A})=1-\mathrm{P}({\mathrm{A}}^{\prime })$)

$\mathrm{P}(\frac{\overline{\mathrm{A}}}{\mathrm{B}})=\frac{\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$                                              (∵ $\mathrm{P}(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$)

$=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$                                                 (∵ $\mathrm{P}({\mathrm{A}}^{\prime }\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})$)

$=\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}}$

$=\frac{2}{15}\times 3$

$=\frac{2}{5}$

अतः विकल्प (2) सही है।

धारणा:

कथन 1:

यदि A और B परस्पर अनन्य घटनाएँ हैं तो P (A ∩ B) = 0

हम जानते हैं कि P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) = 0.6 + 0.6 = 1.2 > 1

यह खंडन करता है ∵ किसी भी घटना A की प्रायिकता : 0 ≤ P (A) ≤ 1

इसलिए कथन 1 गलत है।

कथन 2:

दिया हुआ:  P(A|B) = 1

जैसा कि हम जानते हैं कि $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=1$

⇒ B ⊆ A

$\Rightarrow P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=\frac{P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=\frac{P\left(\overline{A\cup B}\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=\frac{P\left(\overline{A}\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=1$

इसलिए कथन 2 सत्य है।