Conditional Probability MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Conditional Probability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

\( P(A) = \frac{1}{3} \)

\( P(B) = \frac{1}{2} \)

\( P(A \cap B) = \frac{1}{4} \)

हमें \( P(A^C \cap B^C) \) की गणना करने की आवश्यकता है, जिसकी प्रायिकता न तो A और न ही B घटित होती है।

पूरक नियम का उपयोग करने पर:

\( P(A^C \cap B^C) = 1 - P(A \cup B) \)

अब, \(( P(A \cup B) \) ज्ञात करने के लिए समावेश-अपवर्जन सूत्र लागू करें:

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\( P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \)

सरल करने पर:

\( P(A \cup B) = \frac{4}{12} + \frac{6}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \)

अब, \(P(A^C \cap B^C) \) की गणना करने पर:

\( P(A^C \cap B^C) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

A, B और C के प्रबंधक बनने की प्रायिकताएँ हैं:

\( P(A) = \frac{3}{10}, \, P(B) = \frac{1}{2}, \, P(C) = \frac{4}{5} \)

अधिलाभ योजना लागू होने की सप्रतिबंध प्रायिकताएँ हैं:

\( P(D|A) = \frac{4}{9}, \, P(D|B) = \frac{2}{9}, \, P(D|C) = \frac{1}{3} \)

हमें बेज़ प्रमेय का उपयोग करके यह ज्ञात करने की आवश्यकता है कि अधिलाभ योजना लागू होने पर B प्रबंधक होने की प्रायिकता क्या है:

\( P(B|D) = \frac{P(D|B)P(B)}{P(D)} \)

सबसे पहले, कुल प्रायिकता P(D) की गणना करें कि अधिलाभ योजना लागू की गई है:

\( P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) \)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\( P(D) = \left( \frac{4}{9} \times \frac{3}{10} \right) + \left( \frac{2}{9} \times \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} \times \frac{4}{5} \right) \)

सरलीकरण करने पर:

\( P(D) = \frac{12}{90} + \frac{2}{18} + \frac{4}{15} \)

एक उभयनिष्ठ हर (LCD = 90) ज्ञात करें:

\( P(D) = \frac{12}{90} + \frac{10}{90} + \frac{24}{90} = \frac{46}{90} = \frac{23}{45} \)

अब, P(B|D) ज्ञात करने के लिए बेयस प्रमेय का उपयोग करने पर:

\( P(B|D) = \frac{P(D|B)P(B)}{P(D)} = \frac{\left( \frac{2}{9} \times \frac{1}{2} \right)}{\frac{23}{45}} \)

सरलीकरण करने पर:

\( P(B|D) = \frac{\frac{2}{18}}{\frac{23}{45}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{23}{45}} = \frac{5}{23} \)

यह प्रायिकता कि नियुक्त प्रबंधक B था, यह देखते हुए कि अधिलाभ योजना लागू की गई है, 5/23 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना:

दिया गया है,

A, B और C के प्रबंधक बनने की प्रायिकताएँ हैं:

\( P(A) = \frac{3}{10}, \, P(B) = \frac{1}{2}, \, P(C) = \frac{4}{5} \)

अधिलाभ योजना लागू होने की सप्रतिबंध प्रायिकताएँ हैं:

\( P(D|A) = \frac{4}{9}, \, P(D|B) = \frac{2}{9}, \, P(D|C) = \frac{1}{3} \)

अधिलाभ योजना लागू होने की कुल प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

\( P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) \)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\( P(D) = \left(\frac{4}{9} \times \frac{3}{10}\right) + \left(\frac{2}{9} \times \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} \times \frac{4}{5}\right) \)

अब, पदों को सरल बनाने पर:

\( P(D) = \frac{12}{90} + \frac{2}{18} + \frac{4}{15} \)

लघुतम सार्व हर (LCD) 90 है। इसलिए:

\( P(D) = \frac{12}{90} + \frac{10}{90} + \frac{24}{90} \)

भिन्नों को जोड़ने पर प्राप्त होता है:

\( P(D) = \frac{46}{90} = \frac{23}{45} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

ई ₁ : धूम्रपान करने वाले

⇒ \(\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1}\right)=\frac{1}{4}\)

ई ₂ : धूम्रपान न करने वाले

⇒ \(\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{2}\right)=\frac{3}{4}\)

ई: फेफड़े के कैंसर से पीड़ित

⇒ \(\mathrm{P}\left(\mathrm{E} / \mathrm{E}_{1}\right)=\frac{27}{28} \)

⇒ \(\mathrm{P}\left(\mathrm{E} / \mathrm{E}_{2}\right)=\frac{1}{28}\)

⇒ \(\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1} / \mathrm{E}\right)=\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{E}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} / \mathrm{E}_{1}\right)}{\mathrm{P}(\mathrm{E})} \)

\(=\frac{\frac{1}{4} \times \frac{27}{28}}{\frac{1}{4} \times \frac{27}{28}+\frac{3}{4} \times \frac{1}{28}}=\frac{27^{9}}{30_{10}}=\frac{9}{10}\)

के = 9

अतः सही उत्तर 9 है।

दिया गया है:

A, B और C तीन परस्पर अपवर्जी एवं निश्‍शेष घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(B) = \(\frac{3}{2}\)P(A) और P(C) = \(\frac{1}{2}\)P(B) हैं। 

संकल्पना​:

यदि A, B और C तीन परस्पर अपवर्जी एवं निश्‍शेष घटनाएँ घटनाएँ हैं, तब-

P (A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1

हल:

प्रश्न के अनुसार,

A, B, और C तीन परस्पर अपवर्जी एवं निश्‍शेष घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(B) = \(\frac{3}{2}\)P(A) और P(C) = \(\frac{1}{2}\)P(B) हैं। 

P (A U B U C) = P(A) + \(\frac{3}{2}P(A)\) + \(\frac{1}{2}P(B)\)

P (A U B U C) = P(A) + \(\frac{3}{2}P(A)\) + \(\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}P(A)\)

P (A U B U C) = P(A) + \(\frac{3}{2}P(A)\) + \(\frac{3}{4}P(A)\)

P (A U B U C) =  \(\frac{13}{4}P(A)\)

साथ ही,

P (A U B U C) = 1

\(\frac{13}{4}P(A)=1 \\ P(A)=\frac{4}{13}\)

अतः विकल्प 4 सही है।

संकल्पना:

• \(\rm P(A|B) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(B)}\)
• \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)}\)
• A ⊂ B = उचित उपसमुच्चय: A का प्रत्येक अवयव B में है, लेकिन B में अधिक अवयव हैं।
• ϕ = रिक्त समुच्चय = {}

गणना:

दिया गया है: P(B/A) = 1

⇒ \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)} = 1\)

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

इसलिए A का प्रत्येक अवयव B में है, लेकिन B में अधिक अवयव हैं।

∴ A ⊂ B

धारणा:

माना कि A और B को यादृच्छिक प्रयोग से जुड़ी कोई दो घटनाएँ हैं। फिर उस स्थिति, जहाँ B पहले ही हो चुकी हो जैसे कि P(B) ≠ 0, के तहत घटना A के घटन की प्रायिकता सप्रतिबन्ध प्रायिकता कहलाती है और P (A | B ) द्वारा दर्शायी जाती है|

यानी \(P\;\left( {A|\;B} \right) = \frac{{P\;\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

उसी प्रकार, \(P\left( {B\;|\;A} \right) = \frac{{P\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( A \right)}},\;where\;P\left( A \right) \ne 0\)

गणना:

माना कि b लड़के का प्रतीक है और g लड़की का।

प्रतिचयन स्थान S =  {(b, b), (b, g), (g, g), (g, b)}

माना कि A = दोनों बच्चे लड़के हैं

माना कि B = बच्चों में से कम से कम एक लड़का है।

यानी A = {(b, b)}, B = {(b, b), (b, g), (g, b)} और A ∩ B = {(b, b)}

⇒ P (B) = 3/4 और P (A ∩ B) = 1/34जैसा कि हम जानते हैं कि \(P\;\left( {A|\;B} \right) = \frac{{P\;\left( {A\; ∩ B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)

⇒ P (A | B) = 1/3

व्याख्या

यदि घटना B घटित होने से घटना A के घटित होने की प्रायिकता नहीं बदलती है, और घटना A और B स्वतंत्र घटना हैं तो

⇒ P(A I B) = P(A)

बेयस के प्रमेय के अनुसार यह A और B, P(A) और P(B) की संभावनाओं के बीच संबंध बताता है और A की सशर्त प्रयिकताएँ  B और B, A देता है।

⇒ P(A I B) और P(B I A)

⇒ P(A I B) = P(B I A).P(A)/P(B)

⇒ P(B I A) = P(A ∩ B)/P(A)

⇒ P(A ∩ B) = P(A).P(B)

⇒ P(A I B) = P(A ∩ B).P(A)/P(A). P(B)

⇒ P(A I B) = P(A). P(B).P(A)/P(A).P(B)

⇒ P(A I B) = P(A)

संकल्पना:

दो घटनाओं A और B के लिए:

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• B दी गई A की सप्रतिबन्ध प्रायिकता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:  P(B|A) = \(\rm \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\) , जब P(A)> 0

गणना:

P(B|A) = \(\rm \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\) हम प्राप्त करते हैं:

0.6 = \(\rm \dfrac{P(A\cap B)}{0.4}\)

⇒ P(A ∩ B) = 0.24

अब P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) के संबंध का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

P(A ∪ B) = 0.4 + 0.8 - 0.24 = 0.96

अवधारणा:

\(\rm P(A|B)=\dfrac{P(A∩ B)}{P(B)}\)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

गणना:

दिया गया है कि P(A) = L और P(B) = M

यहाँ P(A ∪ B) ≤ 1 (∵ प्रायिकता का अधिकतम मान 1 है)

P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ≤ 1

L + M - P(A ∩ B) ≤ 1

P(A ∩ B) ≥ L + M - 1

अब \(\rm P(A|B)=\dfrac{P(A∩ B)}{P(B)}\)

\(\rm P(A|B)\geq\dfrac{L+M-1}{M}\)

दिया गया है:

केतली A में 3 नीली और 4 हरी गेंदें हैं

केतली B में 5 नीली और 6 हरी गेंदें होती हैं

एक केतली से यादृच्छया निकाली गई एक गेंद नीली थी

संकल्पना:

बेय की प्रमेय:

हल:

मान लीजिए कि निकाली गई गेंद के नीले होने की घटना B है और E₁ यह घटना है कि गेंद केतली 1 से निकाली गई है और E₂ घटना है कि गेंद केतली 2 से निकाली गई है।

∴ P(B) = P(B ∩ E1) + P(B ∩ E₂)

⇒ P(B) = \(\frac{1}{2}\times\frac{3}{7} + \frac{1}{2}\times\frac{5}{11} \)

= 34/77

∴ P(E₂/B) = \(\frac{P(E_1 \cap B)}{P(B)} = \frac{P(E_2) P(B/E_2))}{P(B)}\)

= \(\frac{\frac{1}{2}\times \frac{5}{11}}{\frac{34}{77}}\)

= 35/68

संकल्पना:

कुल संभव परिणाम N में से एक घटना A के घटित होने की प्रायिकता को: P(A) = \(\rm \frac{n(A)}{N}\) द्वारा ज्ञात किया गया है, जहाँ n(A) घटना A के घटित होने के तरीकों की संख्या है। 

गणना:

जब तीन पासों को एकसाथ उछाला जाता है, तो कुल प्रतिदर्श समष्‍टि में 216 तत्व हैं। 

माना कि हम घटना A को इस प्रकार परिभाषित करते हैं जिससे पासे पर संख्याओं का योग 6 है। 

A = (2,2,2), (2,1,3), (2,3,1), (1,3,2), (1,2,3), (3,1,2), (3,2,1), (1,1,4), (4,1,1), (1,4,1)

माना कि B सभी तीन पासों में संख्या 2 प्राप्त करने की घटना है ⇒ (2,2,2)

चूँकि यह दिया गया है कि घटना A पहले ही घटित हो चुकी है, अर्थात् प्रत्येक पासे पर संख्याओं का योग 6 है, हमारे पास 10 स्थितियां हैं जिसमें से केवल एक (2,2,2) अनुकूल परिणाम है। 

P(B) = \(\frac{1}{10}\)

संकल्पना:

माना कि दो घटनाएं A और B है

\(\rm P(\frac{A}{B})=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

\(\rm P(A)=1-P(A')\)

\(\rm P(A'\cap B)=P(B)-P(A\cap B)\)

गणना:

यहाँ, \(\rm P(A')=\frac13, P(B')=\frac23\) और \(\rm P(A\cap B)=\frac15\)

\(\rm P(B)=1-P(B')=1-\frac23=\frac13\)                     (∵ \(\rm P(A)=1-P(A')\))

\(\rm P(\frac{\bar A}{B})=\frac{P(\bar A\cap B)}{P(B)}\)                                              (∵ \(\rm P(\frac{A}{B})=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\))

\(\rm =\frac{P(B)-P(A\cap B)}{P(B)}\)                                                 (∵ \(\rm P(A'\cap B)=P(B)-P(A\cap B)\))

\(=\rm \frac{\frac13-\frac15}{\frac13}\)

\(=\rm {\frac{2}{15}}\times3\)

\(=\rm {\frac{2}{5}}\)

अतः विकल्प (2) सही है।

दिया गया:

P(A नहीं) = \(\rm \frac{7}{10}\), और P(B नहीं) = \(\rm \frac{3}{10}\)

P(A|B) = \(\rm \frac{3}{14}\)

प्रयुक्त सूत्र:

• \(\rm P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
• \(\rm P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
• P(A) = 1 - P(A नहीं)
• P(B) = 1 - P(B नहीं)

गणना:

हमारे पास है

\(\rm P(\bar{B}) = 0.3, P(\bar{A}) = 0.7\)

⇒ P(B) = 1 - 0.3 = 0.7 और

P(A) = 1 - 0.7 = 0.3

⇒ P(A) = 0.3      ----(1)

हम जानते हैं कि,

\(\rm P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)

⇒ \(\frac{3}{14} \) = \(\frac{P(A\cap B)}{0.7}\)       (∵ P(A|B) = \(\rm \frac{3}{14}\))

⇒ \(\rm P(A\cap B)\) = 0.15      ----(2)   

हम जानते हैं कि,

\(\rm P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)

⇒ P(B|A) = \(\rm \frac{0.15}{0.3}\)        [समीकरण (1) और (2) से]

⇒ P(B|A) = 0.5 = \(\rm \frac{1}{2}\)

∴  P(B|A), \(\rm \frac{1}{2}\) के बराबर है 

\(\rm P \left( {\frac{{\bar A}}{{\bar B}}} \right) = \frac{{P\left( {\bar A \cap \bar B} \right)}}{{P\left( {\bar B} \right)}}\)

\( {{P\left( {\bar A \cap \bar B} \right)}}\)  = \(P({\overline {A \cup B}})\)