Complex Variables MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Complex Variables - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 2, 2025
Latest Complex Variables MCQ Objective Questions
Complex Variables Question 1:
যদি w= f(z) একটি ডোমেন D-এর কনফর্মাল ম্যাপিংকে উপস্থাপন করে, তাহলে f(z) হল
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Variables Question 1 Detailed Solution
প্রয়োজনীয় ধারণা:-
কনফর্মাল ম্যাপিং হল একটি অপেক্ষক যা জটিল সমতলে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে এটি সমতলে একটি প্রদত্ত বক্ররেখা বা বিন্দুকে রূপান্তরিত করে, এবং এটি সেই প্রদত্ত বক্ররেখার প্রতিটি কোণ সংরক্ষণ করে।
ধরা যাক একটি জটিল অপেক্ষক f(z) আছে এবং এটি C-তে প্রতিটি z-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, এবং w = f(z)। এখানে, এই অপেক্ষক f-কে একটি রূপান্তর বলা হবে এবং এটি z-সমতলে z = x + iy বিন্দুকে w-সমতলে w = u + iv-তে রূপান্তরিত করে।
এখন ধরা যাক এই রূপান্তরটি বক্ররেখাগুলির মধ্যে কোণগুলিকে মাত্রা এবং দিক (ঘড়ির কাঁটার দিকে বা ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে) উভয় ক্ষেত্রেই সংরক্ষণ করে, তাহলে এই ধরনের ম্যাপিংকে কনফর্মাল ম্যাপিং বলা হয়।
Key Points
- যখন একটি অপেক্ষক w = f(z) z-সমতলের ডোমেন D থেকে w-সমতলের ডোমেন D’-এর কনফর্মাল রূপান্তরকে উপস্থাপন করে, তখন ফাংশন f(z) ডোমেন D’-এর z-এর একটি বিশ্লেষণী ফাংশন হবে।
- যখন একটি অপেক্ষক f(z) z-সমতলের ডোমেন D-এর z-এর একটি বিশ্লেষণী ফাংশন হয় এবং D ডোমেনের ভিতরে f’(z) ≠ 0 শর্ত পূরণ করে। তখন ম্যাপিং w = f(z) ডোমেন D-এর প্রতিটি বিন্দুতে কনফর্মাল হিসাবে বিবেচিত হতে পারে।
ব্যাখ্যা:-
প্রদত্ত অপেক্ষকটি হল w = f(z)। এই অপেক্ষকটি একটি ডোমেন D-এর কনফর্মাল ম্যাপিংকে উপস্থাপন করে।
কনফর্মাল ম্যাপিংয়ের জন্য দুটি প্রধান শর্ত রয়েছে, যা নিচে দেওয়া হল।
- যখন একটি অপেক্ষক f(z) z-সমতলের ডোমেন D-এর z-এর একটি বিশ্লেষণী ফাংশন হয় এবং D ডোমেনের ভিতরে f’(z) ≠ 0 শর্ত পূরণ করে। তখন ম্যাপিং w = f(z) ডোমেন D-এর প্রতিটি বিন্দুতে কনফর্মাল হিসাবে বিবেচিত হতে পারে।
- যখন একটি অপেক্ষক w = f(z) z-সমতলের ডোমেন D থেকে w-সমতলের ডোমেন D’-এর কনফর্মাল রূপান্তরকে উপস্থাপন করে, তখন ফাংশন f(z) ডোমেন D’-এর z-এর একটি বিশ্লেষণী ফাংশন হবে।
সুতরাং, এই শর্তাবলী অনুসারে, এটি সিদ্ধান্ত করা যায় যে যখন একটি অপেক্ষক w= f(z) একটি ডোমেন D-এর কনফর্মাল ম্যাপিংকে উপস্থাপন করে, তখন f(z) D-তে বিশ্লেষণী হয়।
সুতরাং, সঠিক বিকল্প হল 1।
Complex Variables Question 2:
যেকোনো বিন্দুতে f(a)-এর জন্য কশির ইন্টিগ্রাল ফর্মুলা পোলার ফর্মে হল:
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Variables Question 2 Detailed Solution
কশির সমাকল সূত্র
যদি একটি জটিল অপেক্ষক f(z) একটি সরল-সংযুক্ত ডোমেইনের মধ্যে একটি বদ্ধ কন্টুর c-এর ভিতরে এবং তার উপর বিশ্লেষণাত্মক হয়, এবং যদি zo C-এর মাঝখানে কোনো বিন্দু হয়, তাহলে z = zo -তে f(z) এর মান দেওয়া আছে:
পোলার ফর্মে:
(z = x + iy) কে (z = reiθ) রূপে রূপান্তরিত করা হয়, যেখানে:
এবং
Top Complex Variables MCQ Objective Questions
Complex Variables Question 3:
Which of the following function f(z), of the complex variable z, is NOT analytic at all the points of the complex plane?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Variables Question 3 Detailed Solution
Concept:
The complex function f(z) = u (x, y) + iv (x, y) is to be analytic if it satisfy the following two conditions of Cauchy-Reiman theorem.
f(z) = log z
Here, the function f(z) is analytic except z = 0. Since the function is not defined for these two values.
But in question it is asked at all points hence f(z) = log z is not analytic at all points.Complex Variables Question 4:
The contour C given below is on the complex plane z = x + jy, where
The value of the integral
Answer (Detailed Solution Below) 2
Complex Variables Question 4 Detailed Solution
Calculation:
Given: integral:
From residue theorem:
Residue at z = 1
Residue at z = -1 (Here the contour is traveled in a clockwise sense, hence extra Negative sign will come)
Sum of residues
Complex Variables Question 5:
For the function of a complex variable W=lnZ (where, W=u+jv and Z=x+jy), the u=constant, lines get mapped in Z-plane as
Answer (Detailed Solution Below)
Set of concentric circles
Complex Variables Question 5 Detailed Solution
or
So lines map into concentric circle with radius C1
Complex Variables Question 6:
The Taylor series expansion of sin x/(x - π) at x = π is given by:
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Variables Question 6 Detailed Solution
Explanation:
We have:
Substituting
Substituting
Complex Variables Question 7:
If the following integral is evaluated using Cauchy’s Integral formula
Then the value of integral
Answer (Detailed Solution Below) 0
Complex Variables Question 7 Detailed Solution
Concept:
Calculation:
Residue
Substitute
z = eiθ
z = cos θ + i sin θ
dz = i eiθ
Equating the real and imaginary part
Complex Variables Question 8:
if u = sinhxcosy then the analytic function f(z) = u + jv is
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Variables Question 8 Detailed Solution
u = sinhxcosy
By Milne’s method
On integrating f(z) = sinhz + constant
f(z) = w = sinhz + ic
(as u does not contain any constant,the constant c is in the function x and hence i.e. in w).
Complex Variables Question 9:
Let p(z) = z3 + (1 + j) z2 + (2 + j) z + 3, where z is a complex number.
Which one of the following is true?
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Variables Question 9 Detailed Solution
Concept:
The general form of a cubic equation is ax3 + bx2 + cx + d = 0.
Where a, b, c, and d are constants and a ≠ 0.
Let the roots be p, q, and r
- The sum of the roots (p + q + r) = - b/a
- The product of the roots (pqr) = - d/a
- The sum of the product of any two roots (pq + qr + rp) = c/a
Calculation:
Given p(z) = z3 + (1 + j) z2 + (2 + j) z + 3
Sum of the roots (p + q + r) = - (1 + j)
Product of the roots (pqr) = - 3
Sum of the roots is complex, so all the roots cannot be real.
Complex Variables Question 10:
If a complex number ω satisfies the equation ω3 =1, then the value of
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Variables Question 10 Detailed Solution
Concept:
ω3 = 1 where ω is the cube root of unity.
ω3 - 13 = 0
(ω - 1)(1 + ω + ω2) = 0
∴ ω = 1 and 1 + ω + ω2 = 0
Calculation:
Given:
We know that;
1 + ω + ω2 = 0
Complex Variables Question 11:
In the Laurent expansion of
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Variables Question 11 Detailed Solution
Concept:
Laurent series of f(z) is given by:
Calculation:
Given:
The given region is 1 < |z| < 2
Co-efficient of
Complex Variables Question 12:
The value of ‘b’ for which u(x, y) = ebx cos 5y is harmonic
Answer (Detailed Solution Below)
Complex Variables Question 12 Detailed Solution
Concept:
If u(x, y) is harmonic function, then it must satisfy Laplace’s equation uxx + uyy = 0
Calculation:
Given:
u(x, y) = ebx cos 5y
∴ ux = bebx cos 5y
∴ uxx = b2ebx cos 5y
∴ uy = -5ebx sin 5y
∴ uyy = -25ebx cos 5y
∵ for harmonic function, uxx + uyy = 0
∴ b2 ebx cos 5y – 25ebx cos 5y = 0
∴ ebx cos 5y (b2 - 25) = 0
∴ b2 – 25 = 0
∴ b = ± 5